Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC Definición e interpretación geométrica

Transcripción

1 Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. L Integrl.-. Definición e interpretción geométric Dd un función continu f :[, b] R ynonegtiv (f (), [, b]), vmos considerr l región del plno bjo l gráfic de f, R = {(, y) : b y f ()}. L siguiente gráfic corresponde f () = 4 +,. 4 Problem.- Cómo clculr el áre de l región R? L ide generl consiste en proimr l región R por un región formd por rectángulos tl como se muestr en l siguiente figur: Podemos clculr el áre de cd rectángulo y medinte l sum de ests áres proimr el áre de l región R. Es intuitivmente clro que cunto myor se l cntidd de rectángulos considerdos, mejor será l proimción obtenid. Finlmente, medinte un proceso de límite que se eplicráenldefinición más generl del concepto de integrl se define el áre de R.

2 Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. Definición Un prtición del intervlo [, b] es un conjunto de n + puntos tles que P = {,,,..., n } = < <...< n = b L prtición P divide l intervlo [, b] en n subintervlos [ k, k ],con k n, cd uno de longitud k = k k Ahor tommos un prtición P del intervlo [, b] y pr l función continu f :[, b] R considermos: sobre cd subintervlo [ k, k ], m k = min{f () : k k } M k = m{f () : k k } Los productos m k k y M k k representn ls áres de los rectángulos de bse [ k, k ] ylturm k y M k respectivmente. Con estos elementos podemos definir los conceptos de sum inferior y sum superior de f. L sum inferior de f socid l prtición P es nx (f,p) = m k k S k= ylsumsuperiordef socid P es nx S (f,p) = M k k k= Los siguientes gráficos representn un sum inferior y un sum superior pr f () = 4 +, Sum inferior de f socid P.5.5 Sum superior de f socid P

3 Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 3 Es evidente que S (f,p) Are (R) S (f,p) Un propiedd importnte de ests sums es el efecto que se produce l gregrle puntos l prtición P, oselrefinr l prtición. Considere por ejemplo que gregmos un punto ˆ ] k, k [ lprtición P, pr obtener un nuev prtición Q. Es fácil demostrr que S (f,p) S (f,q). Ose,lsuminferiorcreceylomismoocurresigregmos un número finito de puntos l prtición P. Qued de ejercicio demostrr que l sum superior decrece, l refinr un prtición. En resumen, si P y Q son dos prticiones del intervlo [, b], conp Q (Q refin P), entonces S (f,p) S (f,q) S (f,q) S (f,p) Theorem Si f :[, b] R es continu, entonces eiste único número rel I tl que prtición P de [, b] :S (f,p) I S (f,p) Este número I define el áre de l región R, como tmbién el concepto de integrl de f en el intervlo [, b]. Se escribe Are (R) =I = f () d Medinte los conceptos de Sum Inferior y de Sum Superior hemos llegdo l definición de f()d donde f :[, b] R es un función continu. El símbolo R b f()d represent l Integrl de f sobre el intervlo [, b]. Observe que l letr es sólo un referenci los elementos del dominio de l función, por lo tnto puede ser reemplzdo por culquier otro símbolo. Así, podemos escribir f()d f(t)dt (los tres símbolos representn lo mismo). f(ξ)dξ

4 Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 4 Emple 3 Use l definición pr demostrr que d = b Se P : = < <...< n = b un prtición de [, b]. Pr f () = se tiene, en cd subintervlo [ k, k ] ydemás m k = k,m k = k Luego, yenformsimilr k < ( k + k ) < k nx S (f,p) = m k k = k= nx k ( k k ) k= nx < ( k + k )( k k ) k= = nx k k = b k= Esto muestr que b < S (f,p) d = b Usndo l definición del concepto de integrl se pueden DEDUCIR sus propieddes más básics:. R b cd= c(b ). Obs.- R b d =

5 Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 5. Pr f continu sobre un intervlo cerrdo que contiene los puntos, b y c se tiene: c f()d = f()d + c b f()d Ejemplo.- Pr f() = tiene ½ si 3 3 si 3 < 6 (continu sobre [, 6]) se 6 f()d = = 3 3 f()d + d d f()d = 3 +3(6 3) = 3 3. (Monotoní) Si f,g :[, b] R son continus con entonces [, b] :g() f() g()d f()d En prticulr, f() R b f()d 4. Teorem del vlor medio pr integrles.- Dd f :[, b] R continu, eiste c [, b] tl que: Obs.- El vlor sobre [, b]. b f()d = f(c)(b ) R b f()d = f(c) se denomin vlor promedio de f

6 Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 6 Teorem fundmentl del Cálculo. Si considermos l función identidd f() = sobre un intervlo I yelegimos I, podemosdefinir F : I R por R F () = f(t)dt f(t)dt es l integrl de l función f sobre el intervlo [, ] (de etremos y ). Así F () = f(t)dt = = = donde es un constnte. Qué relción hy entre ls funciones f() = y F () =? Theorem 4 (Teorem fundmentl del Cálculo). Se f : I R un función continu y c I un vlor fijo. Se define l función F : I R por F () = c f(t)dt Se tiene entonces que F es derivble y I : F () d f(t)dt = f() d c Dem.- Pr I tenemos: F F () F ( ) ( ) = lim R = lim f(t)dt R f(t)dt c c R = lim f(t)dt = lim f(c()),dondec() es un punto entre y = f( ) tdt

7 Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 7 Obs.- El TFC indic que tod función continu posee un ANTIDERIVADA. (F : I R es un ntiderivd de f cundo I : F () =f()). Aplicción.- Con l función f() =,>se define F : (, ) R 7 F () = t dt Est función es derivble con: F () = F () = Luego, F es creciente y su gráfico cóncvo hci bjo. Además, F () = y se puede probr que lim F () = + lim F () + = lo que indic que RecF = R. Est función F se denomin Logritmo Nturl y se denot ln. Así, con d d (ln ) =. Gráfico de ln. ln : (, ) R ln = t dt ln En términos más generles, un consecuenci del TFC es el siguiente corolrio.

8 Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 8 Corollry 5 Se f :[, b] R un función continu. Si F es culquier ntiderivd de f,entonces f()d = F (b) F () Dem.- L función G() = R f(t)dt del TFC es un ntiderivd de f, l igul que F. Luego, l diferenci entre mbs es un constnte. Así, yevlundoen = G() =F ()+C =G() =F ()+C C = F () y G() =F () F (). Finlmente evlundo en = b G(b) = Notción: F () b = F (b) F (). f(t)dt = F (b) F () A l vist de este resultdo, el problem de clculr un integrl se trnsform en l determinción de un ntiderivd (culquier) de l función integrndo. 3 Integrl indefinid.- d f()d = F ()+C [F ()] = f() d Est equivlenci determin ls siguientes propieddes de l integrl:. [f()+g()] d = f()d + g()d. cf()d = c f()d Obs.- Ambs propieddes determinn que el Operdor Integrl : un Operdor Linel (trnsformción linel). es

9 Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 9 Ests dos propieddes tmbién son válids pr integrles definids (con límites de integrción). Tmbién mbs propieddes se generlizn (un combinción linel) [c f ()+c f () c n f n ()] d = c f ()d + c f ()d c n f n ()d Como cso prticulr, se tiene pr un polinomio: n n + n n d n = n + n+ + n n n C Por ejemplo,.- (4 3 + π +5)d (4 3 + π +5)d 5 + 4cos d π 5 + 4cos d 5.- Encontrr el áre de l región encerrd por l curv y = +4 yel eje 3. Método de sustitución.- Según el TFC pr evlur R b f()d bst encontrr un ntiderivd de l función integrndo f. En todos los csos mostrdos nteriormente l determinción de l ntiderivd es csi direct. Sin embrgo, hy situciones en que esto puede ser bstnte más complicdo. Piense, por ejemplo, en el cálculo de 3 π/4 +d tn d,ode

10 Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. No es fácil encontrr ojo un ntiderivd de l función integrndo. Veremos cómo el método de sustitución permite resolver ests integrles. Este método es consecuenci de l regl de l cden: d d [G(f())] = G (f()) f () Si en l fórmul nterior considermos un función g con ntiderivd G, est qued d d [G(f())] = g(f()) f () lo que puede escribirse g(f())f () d = G(f()) + C Observe que est fórmul puede deducirse con el siguiente procedimiento: Usndo l sustitución u = f() du = f ()d se tiene g(f())f () d = g(u)du Ejemplos.-.- R 3 +4d.- R +d = G(u)+C = G(f()) + C 3.- R 3 +d Obs.- El método de sustitución puede usrse pr clculr intergrles definids, de hecho: g(f())f () d = G (f()) b f(b) f() = G (f(b)) G (f()) g(u)du = G(u) f(b) f() = G (f(b)) G (f())

11 Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. Luego g(f())f () d = f(b) f() g(u)du fórmul que se conoce como Teorem del cmbio de vrible. Ejemplo.- 5 ( 6 +) 3 d