C/ Fernando Poo 5 Madrid (Metro Delicias o Embajadores).

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1 Ejercicio 1 AÑO 013- OPCIÓN A mx + y + z = m 1 m 1 x + my = 1 } (A) = ( 1 m 0 ) (A ) = ( 1 m 0 1 ) 6y z = 1 1 Calculamos el det(a) e igualamos a cero para sacar los valores en los que el determinante se anula y por tanto ran(a)<3 - Si m=-, ran(a)<3 m 1 A = 1 m 0 = m + 4 Cogemos el menor 1 = 6 0 ran(a) = Calculamos ahora el rango de A m = m = A = 1 1 = 34 0 ran(a ) = 3 ran(a) ran(a ), se trata de un sistema incompatible - Si m=, ran(a)<3 Con el mismo menor que en el caso anterior sabemos que ran(a)= Calculamos el rango de A A = 1 1 = 0 ran(a ) = 3 ran(a) ran(a ), se trata de un sistema incompatible - Si m - y m, ran(a)=ran(a )=3=nº de incógnitas, en este caso tenemos un sistema compatible determinado. x + y + z = 1 1 x + y = 1 } A = = 3 6y z = 1 Para resolver este sistema vamos a utilizar el método de los determinantes. Para calcular la incógnita x del sistema de ecuaciones lineales, se sustituye la columna x de la matriz de

2 coeficientes por los términos independientes, se obtiene el determinante de la matriz resultante y se divide este valor por el del determinante de la matriz de los coeficientes. Ejercicio P(x) = (x + 1) (3 x) Buscamos los puntos en los que la derivada es igual a cero P (x) = (x + )(3 x) + (x + 1) ( 1) = 3x + 60x + 63 = 0 x = 60 ± = 60 ± 66 6 Para saber cuál es el máximo utilizamos la segunda derivada x = 1 x = 1 P (x) = 6x + 60 P ( 1) = 60 > 0 mínimo P (1) = 66 < 0 máximo Por lo tanto, la temperatura a mantener para obtener la producción máxima de tomates es 1ºC Para x = 1ºC P(1) = (1 + 1) (3 1) = 534 kilogramos Ejercicio 3 P(B) = 1 P(B ) = 1 0,65 = 0,35 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A B) = 0,55 + 0,35 0,65 = 0,5 Apartado c) P(A B) = Apartado d) P(A B) P(B) P(B A ) = P(A B ) P(A ) = 0,5 0,35 = 5 7 = P(A ) B P(A ) = 1 P(A B) 1 P(A) = 1 0,65 1 0,55 = 0,35 0,45 = 7 9

3 Ejercicio 4 Según el enunciado, la variable aleatoria X: días de permanencia en hospital, se distribuye como una normal de media μ = 8 y desviación típica σ = 10, N (8, 10). Las muestras de tamaño n obtenidas en una población N(μ, σ), se distribuyen según una normal de media X = μ y desviación típica σ X = σ, N (µ, σ ), que se tipifica a una distribución N(0, 1), cuyos valores están tabulados, mediante el cambio: Z = X X σ Para n = 800, la distribución de la media muestral se distribuye según N (8, tanto: ). Por P(X < 9) = P (Z < 9 8 ) = P(Z <,83) = 0, Sabemos que el error admitido viene dado por E = Z α/ σ, siendo Z α/ el valor crítico correspondiente para un nivel de confianza 1 α ó nivel de significación α (el valor de la abscisa que deja a su derecha un área igual a α/). De la expresión se deduce: n = (Z α/ ) σ En este caso, para E < 1día con un nivel de confianza del 95%: σ n (Zα) E = 1,96 10 = 384,16 Esto es un tamaño mínimo de la muestra de 385. E 1 α = 0,95 α = 0,05 α = 0,05 En la tabla de la distribución normal se busca Z α/, tal que: P ( Zα < Z < Zα = 1 ) α = 0,9750 Zα = 1,96

4 AÑO 013- OPCIÓN B Ejercicio 1 Representación gráfica x + y 4 3x y 1 6x y y 8 Representamos las rectas y vemos en que puntos se cortan: x + y = 4 6x y = A(0,) x + y = 4 3x y = 1 B(4,0) 3x y = 1 y = 8 C( 8 3, 8) y = 8 6x y = D(1,8) Máximo y mínimos de f(x,y)=-1,x+y en la región dada: Calculamos los valores que toma f(x,y) en los puntos de corte A, B, C y D F(A) = 4; F(B) = 4,8; F(C) = 4,8; F(D) = 14,8 La función de f(x,y)=-1,x+y es máxima en el punto D y mínima en el punto B. Ejercicio f(x) = x 3 4x + 4x - Cortes con el eje y x = 0 y = 0 Punto (0,0) - Cortes con el eje x y = 0 x 3 4x + 4x = 0 x(x 4x + 4) = 0 x 1 = 0 Punto (0,0) x 4x + 4 = 0 x = Los puntos de corte con los ejes son (0,0) y (,0) 4 ± x = Punto (,0)

5 Máximos y mínimos relativos: buscamos los puntos en los que la derivada es cero. f (x) = 3x 8x + 4 = 0 x = 8 ± = 8 ± 4 6 x 1 = x = 3 Damos valores a f (x) y vemos cómo se comporta en los intervalos, antes de /3 es creciente, entre /3 y es decreciente y a partir de es creciente. Se puede deducir que x= es un mínimo y x=/3 es un máximo. Máximo ( 3, 3 7 ) Mínimo (,0) Los valores de y se calculan sustituyendo x en la función f(x). Apartado c) Recta tangente a f en x=1 Sustituimos x=1 en f y obtenemos que y=1, ya tenemos un punto de la recta tangente. Calculamos la pendiente de la recta tangente, que es la derivada de la función f en x=1. f (x) = 3x 8x + 4 f (1) = = 1 Con estos datos construimos la ecuación de la recta tangente: y = 1 1(x 1) Operando obtenemos: y = x, ecuación de la recta tangente Ejercicio 3 Se forma la tabla: L i L s x i f i F i x i f i x i f i N =

6 Histograma de frecuencias absolutas (f i ): El consumo medio es: X = n i=1 x if i N = = 58 kg La mitad de los datos es 100 = 50. La primera frecuencia acumulada (F i) mayor que 50 le corresponde a la clase (40, 60]. Por tanto, la clase mediana es (40, 60] y la mediana: M = L i + Apartado c) N F i 1 f i a i = = 5kg 5 Del intervalo [0,40] hay que restar a las personas que consuman entre 0 y 35. Suponemos que los datos se distribuyen de forma uniforme. La frecuencia correspondiente al intervalo (35,40] se estima en: 35 (40 35) (40 0) = 8,75 Análogamente, únicamente interesa la frecuencia del intervalo (80,81): 15 (81 80) (100 80) = 0,75 El número de personas que consumen entre 35 y 81 kg son: 8, ,75 = 49,5 49,5 = 0,495 El 49,5% de las personas 100 Ejercicio 4 P(X = ) = ( ) 4 3 = 3!! 1! = = 0,3755 P(X = 0) = = = 0,00

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