Cálculo Simbólico y Numérico en ED: sobre formulaciones variacionales. Método de Galerkin / Elementos Finitos.

Transcripción

1 Cálculo Simbólico y Numérico en ED: sobre formulciones vricionles. Método de Glerkin / Elementos Finitos. Mrtínez meperez@unicn.es ETSI Cminos, Cnles y Puertos Universidd de Cntbri. Curso

2 Problem de contorno: Formulción vricionl Ddo un problem de contorno regulr: { (p(x)y (PC) ) + q(x)y = r(x), x (, b), y() =, y(b) =, p(x), p (x), q(x), r(x) funciones continus en [, b], p(x) >, x [, b], < < b <, (PC) Admite un formulción vricionl o formulción débil equivlente: Encontrr y(x) verificndo y() = y(b) = y (FV) p(x)y (x)ϕ (x)dx + q(x)y(x)ϕ(x)dx = r(x)ϕ(x)dx ϕ continu en [, b]/ ϕ continu trozos en [, b], ϕ() = ϕ(b) =. L solución de (PC) es solución de (FV) L solución de (FV) regulr es solución de (PC)

3 Pr condiciones de contorno más generles: y () = αy(), y (b) = βy(b) cmbi (FV): p(x)y (x)ϕ (x)dx p()y ()ϕ() + p(b)y (b)ϕ(b) + q(x)y(x)ϕ(x)dx = r(x)ϕ(x)dx ϕ continu en [, b]/ ϕ continu trozos en [, b]. α o β rrib pueden ser cero; tmbién fectr sólo un punto: e.g., y () =, y(b) = tomr ϕ(b) =. Extensión otrs condiciones de contorno (homogénes y no homogénes) pr y(x) y/o y (x) sobre y/o sobre b.

4 Método de Glerkin Dds ls funciones {ϕ i (x)} N i=1 suficientemente regulres tl que ϕ i () = ϕ i (b) =. Buscr l proximción de l solución y(x) de (PC): y N (x) = N c i ϕ i (x) i=1 pr cierts constntes c i determinr tles que [(p(x)y N) + q(x)y N r(x)]ϕ i (x) dx =, i = 1, 2,, N L determinción de los coeficientes c i resolución de un sistem de ecuciones pr un mtriz simétric: A c = f A = ( i,j ) i,j=1,2,,n, c = (c 1, c 2,, c N ) T, f = (f 1, f 2,, f N ) T i,j = p(x)ϕ i (x)ϕ j (x) dx + f i = r(x)ϕ i (x) dx q(x)ϕ i (x)ϕ j (x) dx

5 Necesidd de: estimr el error y(x) y N (x) pr N grnde integrciones numérics resolver numéricmente un sistem con muchs ecuciones un bse {ϕ i (x)} i=1 decud de funciones pr reducir cálculos numéricos Esquem pr un progrm: Introducir dtos p, q, r y N, y ls funciones de bse {ϕ i (x)} N i=1 (e.g., {ϕ i (x)} ls funciones propis de un problem regulr de vlores propios en (, b) ) i=1 Clculr ls integrles pr introducir el sistem Resolver el sistem de N ecuciones con N incógnits A c = f (pr cd i = 1, 2, N, c i proximrí l i-ésimo coeficiente del desrrollo en serie de Fourier de l solución exct y(x)) Dibujr l proximción de l solución y N (x) = N c i ϕ i (x) Comprr si se puede y N (x) l solución exct y(x) y c i con los coeficientes de Fourier α i i=1

6 Un ejemplo pr el Método de Glerkin: { y y = x 2, x (, 1) y() =, y(1) = y(x) l solución se proxim por y N (x) = ls funciones propis del problem de vlores propios: { y + λy =, x (, 1) y() =, y(1) = Pr i, j = 1, 2, 3, 4..., N i,j = N c i ϕ i (x). Tomr pr proximr i=1 {ϕ k (x)} k=1 {sin (kπx)} k=1. ijπ 2 cos (iπx) cos (jπx)dx f i = x 2 sin (iπx) dx, sin (iπx) sin (jπx)dx

7 Ejemplo: método de Glerkin (continu) De ls crcterístics de los dtos p(x) = 1, q(x) = 1, y r(x) = x 2, se tiene: - un mtriz digonl A - cálculos explícitos de ls integrles - resolución del sistem: c i = f i 1 i,i - comprción de l solución con l solución proximd y de los c i con los coeficientes de Fourier de l solución - Los primeros coeficientes c i son los más significtivos -error pequeño en l proximción De mner generl, pr (PC): i,j = (p(x)y ) + q(x)y = r(x) x (, 1) y() =, y(1) = ijπ 2 cos (iπx) cos (jπx)p(x) dx + f i = r(x) sin (iπx) dx sin (iπx) sin (jπx)q(x) dx

8 Esquem del progrm: Introducir dtos p, q, r y N, y clculr ls integrles i,j = ijπ 2 cos (iπx) cos (jπx)p(x) dx + f i = r(x) sin (iπx) dx, sin (iπx) sin (jπx)q(x) dx i, j = 1, 2, N Resolver el sistem de N ecuciones con N incógnits A c = f Pr cd i = 1, 2, N, c i proxim l i-ésimo coeficiente de Fourier de l solución exct y(x): α i = y(x) sin(iπx) dx (sin(iπx))2 dx Dibujr l proximción de l solución y N (x) = N c i sin (iπx) Comprr si se puede y N (x) con l solución exct y(x) y c i con los coeficientes de Fourier α i i=1

9 Método de los Elementos Finitos Tomr como funciones de bse ls funciones lineles trozos, {ϕ i } N i=1, socids los nodos de l prtición en [, b]: x i = + i h, = x < x 1 < x 2 < x N < x N+1 = b h = b, i =, 1, 2,, N + 1 N + 1 {ϕ i } N i=1 funciones de bse de elementos finitos {ϕ i } N i=1, ϕ i polinomio de grdo 1 en [x j, x j+1 ] ϕ i (x j ) = δ ij, i = 1, 2,, N, j =, 1, 2,, N + 1 x x i 1 h si x [x i 1, x i ] ϕ i (x) = x x i+1 h si x [x i, x i+1 ] si x > x i+1 o x < x i 1

10 Propieddes importntes L mtriz A es tridigonl: i,j = si i j > 1 L mtriz A es simétric: i,j = j,i Integrciones sobre cd segmento [x j, x j+1 ] Integrles fectndo ϕ i no nuls en [x i 1, x i+1 ]. L resolución del sistem A c = f nos d c i = y N (x i ): l proximción de l solución exct de (PC) en los puntos de l prtición y(x i ). Estimción del error, supuesto q(x); r(x) continus en [, 1], pr l ecución y + q(x)y = r(x), x (, 1): y(x i ) c i Ch, i = 1, 2,, N Extensión de l estimción del error otros problems bjo condiciones de regulridd de l solución.

11 Ejemplo y fórmuls pr el Método de los Elementos Finitos Pr q(x), se consider el problem: { y + q(x)y = r(x), x (, 1), y() =, y(1) =, (FV) y (x)ϕ (x)dx + q(x)y(x)ϕ(x)dx =, r(x)ϕ(x)dx ϕ continu en [, 1]/ ϕ continu trozos en [, 1], ϕ() = ϕ(1) = y(x) y N (x) = N c i ϕ i (x), ϕ i () = ϕ i (1) = i=1 resolución del sistem: A c = f A = ( i,j ) i,j=1,2,,n, c = (c 1, c 2,, c N ) T, f = (f 1, f 2,, f N ) T i,j = ϕ i (x)ϕ j (x) dx + f i = r(x)ϕ i (x) dx q(x)ϕ i (x)ϕ j (x) dx

12 Ejemplo: método de los elementos finitos (continu) Ls integrles y definiciones de {ϕ i } N i=1 : i,j = si i j > 1 i,i = 1 h 2 ( 2h + Q i + R i ), i = 1, 2,, N, donde R i = f i = 1 h xi+1 i,i+1 = 1 h 2 (h S i+1), i = 1, 2,, N 1, i,i 1 = 1 h 2 (h S i), i = 2, 3,, N, x i q(x)(x x i+1 ) 2 dx, Q i = xi S i = xi xi x i 1 q(x)(x x i 1 )(x x i ) dx, x i 1 r(x)(x x i 1 ) dx + 1 h xi+1 x i 1 q(x)(x x i 1 ) 2 dx, x i r(x)( x + x i+1 ) dx, GRÁFICA l solución proximd: unir por rects los puntos (, ), (x 1, c 1 ), (x 2, c 2 ),..., (x N, c N ), (1, ). Comprr si se puede con l gráfic solución exct

13 Ejemplo: método de los elementos finitos (continu) L mtriz A es tridigonl y simétric Integrciones sobre cd segemento [x j, x j+1 ] Integrciones fectndo ϕ i no nuls en [x i 1, x i+1 ]. L resolución del sistem A c = f nos d c i = y N (x i ) y(x i ). Error (con q(x), r(x) continus en [, 1]): y(x i ) c i Ch, Myor error con integrción numéric: e.g., fórmul del punto centrl χ(x)dx (b )χ( + b 2 ) f i = hr(x i ), Q i = q( (x i + x i 1 ) h3 2 4, R i = q( (x i + x i+1 ) h3 2 4, S i = q( (x i + x i 1 ) h3 2 4 Mtrices con muchos ceros ventjs de lmcenmiento L mtriz del sistem A, obtenid con el método de elementos finitos, se denomin mtriz de rigidez, y en generl, suele obtenerse como sum o ensmblje de mtrices de rigidez elementles en cd segmento (elemento finito) Extensiones problems de contorno plntedos con EDP

14 Elementos finitos pr un problem de contorno en Ω R 2 - Aproximción del dominio Ω por un dominio con fronter poligonl - Introducción de un ciert tringulrizción regulr...con tmño de los triángulos - Numerción conveniente de los vértices / nodos mtriz tridigonl por bloques

15 Formulción vricionl / elementos finitos pr un problem de Dirichlet: esquem { u = f, en Ω (PC) y = sobre Ω. Pr cierts funciones ϕ j (x, y) lineles trozos, ϕ i tomndo el vlor 1 en el nodo j y en el resto de los nodos ( ϕ j (x, y) = j x + b j y + c j sobre cd triángulo, pr ciertos coeficientes j, b j, c j determinr ), ϕ j = sobre Ω, N se busc u(x, y) c j ϕ j (x, y) tl que Ω j=1 u. ϕ i dx dy = Ω Sistem : f ϕ i dxdy, A c = f i = 1, 2, N donde A mtriz simétric y definid positiv, A = ( ) N i,j, f = (f i,j=1 1, f 2, f N ) T, i,j = ϕ i. ϕ j dx dy, f j = f ϕ j dx dy, Ω y c = (c 1, c 2, c N ) T, con c j l proximción de u en el nodo j. Ω