INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS REAL

Transcripción

1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS REAL ANTONIO TINEO CARLOS UZCÁTEGUI Deprtmento de Mtemátics Fcultd de Ciencis Universidd de los Andes Versión: Mrzo Est es un versión no termind de este libro. Los comentrios son bienvenidos; si dese hcer lguno, por fvor escríble l segundo utor l dirección: uzc@ul.ve.

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3 Índice generl 1. Conjuntos y Funciones Conjuntos Funciones Relciones Sistems Numéricos Leyes de composición Cuerpos ordendos Los números nturles Los números enteros y los números rcionles Los números reles y el xiom de completitud Propieddes del supremo y del ínfimo L rect extendid Vlor bsoluto Un ejemplo de un cuerpo ordendo no rquimedino Definiciones Recursivs y Conjuntos Infinitos Definiciones por recursión Potencición y rdicción Equipotenci Numerbilidd R no es numerble Sucesiones y Series Sucesiones y convergenci de sucesiones Operciones lgebrics entre sucesiones Propieddes de ls sucesiones convergentes Sucesiones monótons Límites l infinito iii

4 iv ÍNDICE GENERAL 4.6. Subsucesiones Límites superior e inferior Sucesiones de Cuchy Series Series bsolutmente convergentes Criterios de convergenci de series Redes Topologí de l Rect Intervlos Conjuntos biertos Conjuntos cerrdos y clusur de un conjunto El teorem de Bolzno-Weierstrss Conjuntos compctos Los subgrupos ditivos de R Límites y Continuidd Límites Límites lterles y l infinito Funciones continus Funciones continus definids sobre compctos y sobre intervlos Funciones monótons Continuidd uniforme Funciones exponenciles y logrítmics Diferencición Definición de l derivd Algebr de derivds y l regl de l cden Teorems de vlor medio Derivds de orden superior L fórmul de Tylor Extremos reltivos y convexidd Construcción de un función diferencible que no es C Integrción Prticiones de un intervlo L definición de l integrl de Riemnn Propieddes básics de l integrl de Riemnn

5 ÍNDICE GENERAL v 8.4. El teorem fundmentl del cálculo Integrbilidd y continuidd Integrles impropis Un definición lterntiv de l integrl de Riemnn Sucesiones de Funciones Convergenci puntul y uniforme Intercmbio de límites con derivds Intercmbio de límites con integrles Series de funciones Series de potencis Ls funciones trigonométrics Un función continu que no es diferencible en ningún punto L integrl de Riemnn-Stieljes

6 vi ÍNDICE GENERAL

7 Cpítulo 1 Conjuntos y Funciones Además de fijr lgun terminologí, referente l teorí de conjuntos, este cpítulo tiene por objeto estblecer el concepto fundmentl de función y estudir sus propieddes elementles, sber: composición de funciones, funciones inyectivs, sobreyectivs y biyectivs. Uns breves plbrs serán dichs cerc de ls relciones de orden y de equivlenci Conjuntos. Culquier teorí mtemátic debe tener un punto de prtid; es decir, se deben ceptr (sin definición lgun), un serie de términos primitivos y cierts relciones entre ellos, llmds xioms. En el cso que nos ocup, los términos primitivos (que ceptremos como intuitivos) son quellos de conjunto, elemento y pertenenci. A continución mencionremos lgunos de los xioms de l teorí de conjuntos (el lector interesdo puede consultr [6] donde encontrrá un presentción más complet de esos xioms). En generl, se usrán letrs myúsculs A, B,..., X, Y,... pr denotr conjuntos. Los elementos de un conjunto serán denotdos generlmente por letrs minúsculs tnto del lfbeto griego como ltino. Ddos un elemento x y un conjunto A pondremos x A (lése: x pertenece A ) pr indicr que x es un elemento de A. En cso contrrio se utiliz el símbolo x / A, que se lee: x no pertenece A. Sen A y B conjuntos. El símbolo A = B (lése: A igul B ) se usrá pr indicr que A y B son el mismo conjunto. En cso contrrio, usremos el símbolo A B que se lee: A distinto (o diferente) de B. Uno de los xioms de l teorí de conjuntos dice que: A = B si y sólo si A y B poseen los mismos elementos. Sen A, B conjuntos. Diremos que A está contenido en B o que A es un subconjunto de B, denotdo A B, si todo elemento de A es elemento de B. Si A B tmbién pondremos B A, que se lee: B contiene A. Si A B y A B diremos que A es un subconjunto propio de B. Note que culesquier sen los conjuntos A, B, C, se tiene: 1

8 2 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS Y FUNCIONES i) A A. ii) A = B si y sólo si A B y B A. iii) Si A B y B C, entonces A C. Se A un conjunto y se P (x) un orción que tiene x como sujeto, esto es, P describe un propiedd. El xiom de seprción informlmente dice que: Los elementos x de A pr los cules P (x) es verdder, es un conjunto. Ese conjunto será denotdo por {x A : P (x)}. El símbolo {x A :... } se lee: El conjunto de los x en A tles que.... A fin de clrr un poco más el xiom nterior dremos continución lgunos ejemplos. 1) El conjunto vcío. En el cpítulo siguiente dmitiremos, como un xiom más, l existenci del conjunto de los números reles. En prticulr, tendremos l existenci de l menos un conjunto A. Consideremos hor l orción P (x) = x no pertenece A. Por el xiom de seprción se tiene un conjunto definido por {x A : x / A} que denotremos por y que llmremos conjunto vcío. Note que es el único conjunto que no tiene elementos. Note tmbién que pr culquier conjunto X se tiene X (porque no hy elementos en que no pertenezcn X). 2) Conjunto singulr. Se A un conjunto y se A. Considerndo l orción x es igul obtenemos el conjunto {x A : x = } que se denot por {} y se llm el conjunto singulr de. Note que {} posee como único elemento. 3) Intersección de conjuntos. Sen A y B conjuntos y consideremos l orción P (x) = x pertenece B. Entonces {x A : x B} es un conjunto que se denot por A B y que se llm l intersección de A con B. Cundo A B = decimos que A y B son disjuntos. 4) Diferenci de conjuntos. Sen A y B conjuntos. L diferenci A \ B se define como {x A : x / B}. Si B A, el conjunto A \ B se llm el complemento de B respecto A y se denot tmbién por B c, si ello no crre confusión. Sen A y B conjuntos. El xiom de l unión dice que: Existe un (único) conjunto cuyos elementos son exctmente quellos que están en A o que están en B.

9 1.1. CONJUNTOS. 3 Dicho conjunto se denot por A B y se llm l unión de A con B. En relidd, el xiom de ls unión dice que si P es un conjunto y cd elemento de P es su vez un conjunto, entonces existe un único conjunto A tl que x A si y sólo si x X pr lgún X P. Sen x, y elementos de un conjunto A. El conjunto {x} {y} se denotrá por {x, y}. Un xiom dicionl de l teorí de conjuntos (llmdo el xiom del conjunto potenci) dice que: Si A es un conjunto, entonces hy un conjunto cuyos elementos son exctmente los subconjuntos de A. Este conjunto lo denotmos por P(A) y lo llmmos el conjunto de prtes de A o conjunto potenci. Ejercicios. 1. Sen A, B, C conjuntos. Pruebe que: ) A B = B A. b) A (B C) = (A B) C, lo que permite escribir A B C en lugr de A (B C) o de (A B) C. c) A B = A si y sólo si A B. d) Si A B, entonces A C B C. 2. Sen A, B, C conjuntos. Pruebe que ) A B = B A y A (B C) = (A B) C. b) A (B C) = (A B) (A C) y A (B C) = (A B) (A C). c) A B A si y sólo si B A. d) A B = A (B \ A) y A (B \ A) =. 3. Se A un conjunto. Pr X A denotremos con X c el complemento de X en A. Pruebe que ddos X, Y P(A) se tiene que: ) (X c ) c = X. b) (X Y ) c = X c Y c. c) (X Y ) c = X c Y c. d) X Y si y sólo si X c Y c.

10 4 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS Y FUNCIONES 4. Pruebe que no existe ningún conjunto U que conteng culquier otro conjunto. Ayud. Supong que tl U existe y defin V = {A P(U) : A / A}. Y que U contiene culquier conjunto, debe tenerse que V U. Observe hor que culquier de ls dos siguientes posibiliddes V V, V / V, llev contrdicción Funciones. En est sección A y B denotn conjuntos. Ddos x A, y B definimos el pr ordendo (x, y) como el conjunto {{x}, {x, y}}. Dejmos como un ejercicio l lector mostrr l siguiente propiedd importnte de los pres ordendos: (, b) = (x, y) si y sólo si = x y b = y. El producto crtesino de A por B, denotdo A B, se define como el conjunto de todos los pres ordendos (x, y) tles que x A e y B. (Note que (x, y) es un elemento de P(P(A B))). Un función o plicción de A en B es un tern ordend (A, f, B) donde f es un subconjunto de A B con l siguiente propiedd: Pr cd x A existe un único elemento y B tl que (x, y) f. Este único elemento y se denot por f(x) y se llm l imgen de x por f. El conjunto A es llmdo el dominio de f y el conjunto f(a) := {f(x) : x A} se conoce como el rngo de f. El conjunto f se conoce tmbién como el gráfico de l función (A, f, B). En l csi totlidd de los csos y cundo esto no cuse confusión, diremos l función f, en vez de l función (A, f, B). En l litertur corriente, un función (A, f, B) se denot por el símbolo f : A B y se le piens como un ley o regl que cd elemento x A soci un único elemento f(x) de B. Ejemplos ) Sen A, B conjuntos no vcíos y fijemos b B. Entonces (A, f, B) := (A, A {b}, B) es un función de A en B tl que f(x) = b, pr todo x A. Est función es llmd función constnte (de vlor b). b) Asocid con cd conjunto no vcío A se tiene un plicción id A : A A definid por id A (x) = x pr cd x A. Dich plicción se denomin identidd de A y como subconjunto de A A no es otr cos que {(x, y) A A : x = y}. Enunciremos continución el xiom de elección o escogenci; uno de los más fmosos de l teorí de conjuntos. Se X un conjunto y se P un subconjunto de P(X) \ { }. Entonces existe un función S : P X tl que S(Z) Z pr cd Z P. Informlmente hblndo, este xiom dice que dd culquier fmili P de subconjuntos no vcíos de X, es posible escoger un elemento en cd uno de los miembros de es fmili. Cundo

11 1.2. FUNCIONES. 5 l fmili en cuestión es pequeñ esto prece obvio. Sin embrgo no es nd clro cundo l fmili es muy grnde. Sen A, B, C conjuntos. Dds plicciones f : A B, g : B C, se define l composición o compuest de f con g como l función g f : A C dd por g f(x) = g(f(x)). Proposición Dd un plicción f : A B se tiene id B f = f y f id A = f. El resultdo que sigue dice que l composición de funciones es socitiv Proposición Sen A, B, C, D conjuntos y sen f : A B, g : B C, h : C D funciones. Entonces (h g) f h (g f). Demostrción: De l definición de composición de funciones se tiene: [(h g) f](x) = (h g)(f(x)) = h(g(f(x))). De mner nálog, [h (g f)](x) = h((g f)(x)) = h(g(f(x))), lo cul termin l prueb. Estudiremos hor lgunos tipos prticulres de funciones. Definición Un función f : A B se dice biyectiv si existe un función g : B A tl que g f id A y f g id B. Note que, en este cso, g tmbién es biyectiv. Proposición Se f : A B un función biyectiv. Entonces existe un únic plicción g : B A stisfciendo ls condiciones de l Definición Demostrción: Supongmos que g 1, g 2 : B A son funciones que stisfcen ls condiciones de l Definición Entonces g 1 f = id A y f g 2 = id B, y usndo ls dos proposiciones nteriores obtenemos g 2 = id A g 2 = (g 1 f) g 2 = g 1 (f g 2 ) = g 1 id B = g 1. Observciones ) Se f : A B un biyección. L únic plicción g : B A dd por l Definición y l proposición se llm l invers de f y se denot por f 1. De l definición result que f 1 es un biyección cuy invers es f. Es decir, (f 1 ) 1 = f. b) L función id A es un biyección cuy invers es ell mism. Proposición Si f : A B y g : B C son funciones biyectivs, entonces l composición g f tmbién lo es y (g f) 1 = f 1 g 1.

12 6 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS Y FUNCIONES Demostrción: De ls proposiciones y de l Definición se tiene: [(g f) (f 1 g 1 )] = g [f (f 1 g 1 )] = g [(f f 1 ) g 1 ] = g [id B g 1 ] = g g 1 = id C. De mner semejnte, (f 1 g 1 ) (g f) = id A, lo cul complet l prueb. Diremos que un función f : A B es inyectiv si pr todo pr de elementos distintos x, x en A se cumple que f(x) f(x ). Note que si f es inyectiv e y f(a), entonces existe un único x A tl que f(x) = y. Proposición Un función f : A B es inyectiv si y sólo si existe un función g : B A tl que g f = id A. Demostrción: Supongmos primero que existe un función g : B A tl que g f = id A. Si f(x) = f(x ), entonces g(f(x)) = g(f(x )) de donde, id A (x) = id A (x ). De quí, x = x, lo cul prueb que f es inyectiv. Supongmos hor que f es inyectiv y fijemos 0 A. Definiremos g : B A como sigue: g(y) = 0 si y / f(a). g(y) = x si y f(a) e y = f(x). De l definición de g se tiene g(f(x)) = x, culquier se x A, de modo que g f = id A. Se f : A B un plicción. Ddo b B definimos l contrimgen de b por f como el conjunto f 1 (b) = {x A : f(x) = b}. (Note que el símbolo f 1 (b) está definido unque f no se biyectiv). Cundo f 1 (b), pr cd b B, decimos que f es sobre ó sobreyectiv. Es decir, f es sobreyectiv si y sólo si pr cd b B existe A tl que f() = b. En otrs plbrs, f es sobreyectiv si y sólo si f(a) = B. Proposición Un plicción f : A B es sobreyectiv si y sólo si existe un plicción g : B A tl que f g = id B. Demostrción: Supongmos primero que existe g : B A tl que f g = id B. Fijemos b B y pongmos = g(b). Entonces, f() = f g(b) = id B (b) = b, lo cul muestr que f es sobreyectiv. Supongmos hor que f es sobreyectiv. Por el xiom de elección existe un función S : {f 1 (b) : b B} A tl que S(f 1 (b)) f 1 (b) pr cd b B. Definmos hor g : B A medinte g(b) = S(f 1 (b)). Y que g(b) f 1 (b), se sigue de l definición de contrimágen, que f(g(b)) = b = id B (b).

13 1.2. FUNCIONES. 7 Proposición Un plicción f : A B es biyectiv si y sólo si f es inyectiv y sobreyectiv l mismo tiempo. Demostrción: Si f es biyectiv existe g : B A tl que g f = id A y f g = id B, y de ls proposiciones , f es inyectiv y sobreyectiv. Recíprocmente, si f es inyectiv y sobreyectiv, entonces por ls proposiciones y existen funciones g, h : B A tles que g f = id A y f h = id B. Usndo el rgumento de l proposición se prueb (hcerlo) que h = g y en consecuenci, g stisfce ls condiciones de l Definición Luego, f es biyectiv. Dd un función f : A B y subconjuntos X A, Y B, definimos f(x) = {f(x) : x X}, f 1 (B) = {x A : f(x) B}. El primero de ellos se llm l imgen de X por f, mientrs que el segundo se conoce como l contrimgen de Y por f. Sen A e I conjuntos. Tod plicción F : I P(A) es llmd un fmili de subconjuntos de A. L notción usul pr un tl fmili es {X i } i I, donde X i = F (i). Se dice tmbién que l fmili {X i } i I est indizd por I. Se define l unión de l fmili {X i } i I, denotd I X i (o i I X i), como el conjunto de quellos elementos x A tles que x X i pr lgún i I. Es decir, I X i = {x A : x X i pr lgún i I}. Si I, se define l intersección de l fmili {X i } i I, denotd I X i, como el conjunto de los elementos de A que son comunes todos los X i. Es decir, I X i = {x A : x X i, i I}. El símbolo se lee: pr todo. Cundo I es vcío, se define X i =. Sin embrgo, no puede definirse el símbolo X i, porque esto drí un conjunto U que contiene culquier elemento x. Por el ejercicio 4 de l sección 1.1, esto resultrí imposible. Se dice que l fmili {X i } i I es disjunt si X i X j =, cundo i j. Un subconjunto A de P(A) tmbién puede ser considerdo como un fmili de subconjuntos de A; trvés de l plicción de inclusión F : A P(A); F (X) = X. Ejercicios. 1. Sen, x A y b, y B. Pruebe que (, b) = (x, y) si y sólo si = x y b = y. 2. Defin l tern ordend (x, y, z) como el conjunto {{x}, {x, y}, {x, y, z}} y pruebe un resultdo nálogo l nterior. Defin tmbién l noción de cutern ordend. 3. Sen A, B, C, D conjuntos. Pruebe que dos funciones (A, f, B), (C, g, D) son igules si y sólo si A = C, B = D y f(x) = g(x) pr cd x A. En este cso tmbién se suele escribir f g y se dice que f y g son idéntics.

14 8 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS Y FUNCIONES 4. Se (A, f, B) un función y se X un subconjunto de A. Pruebe que (A, f X B, B) es un función que denotremos por f X y que llmremos l restricción de f X. 5. Pruebe que ddo un subconjunto X de A y un función g : X B, existe un función f : A B tl que f X = g. Est función f es llmd un extensión o prolongmiento de g. 6. Sen, b elementos de un conjunto A. Muestre que existe un biyección f : A \ {} A \ {b}. 7. Pruebe que l composición de funciones inyectivs (resp. sobreyectivs) es inyectiv (resp. sobreyectiv). 8. Se f : A B un función inyectiv (resp. sobreyectiv). Pruebe que ddos A, b B, existe un función inyectiv (resp. sobreyectiv) de A \ {} en B \ {b}. 9. Dd un función f : A B, pruebe que l función g : A f(a), definid por g(x) = f(x), es sobreyectiv. Concluy que g es biyectiv si y sólo si f es inyectiv. 10. Se B un subconjunto de un conjunto A. Construy un función sobreyectiv de A en B. 11. Se f : A B un función sobreyectiv y se b B. Pruebe que l función g : A \ f 1 (b) B \ {b} definid por g(x) = f(x) es sobreyectiv. 12. Se f : A B un función. Ddos X 1, X 2 A e Y 1, Y 2 B pruebe que: ) f 1 (Y 1 Y 2 ) = f 1 (Y 1 ) f 1 (Y 2 ). b) f 1 (Y 1 Y 2 ) = f 1 (Y 1 ) f 1 (Y 2 ). c) f 1 (Y 1 \ Y 2 ) = f 1 (Y 1 ) \ f 1 (Y 2 ). d) f(x 1 X 2 ) = f(x 1 ) f(x 2 ). e) f(x 1 X 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ). Dr un ejemplo donde l contención se estrict. 13. (Leyes de De Morgn). Se {X i } i I un fmili de subconjuntos de A. Pruebe que ) ( i X i) c = i Xc i. b) ( i X i) c = I Xc i.

15 1.3. RELACIONES Relciones. Los tems trtdos en este libro no requieren del uso explícito de l noción de relción. Sin embrgo, ls relciones de orden y de equivlenci son tn importntes en mtemátics, que un mención ells se hce necesri. En lo que rest del cpítulo, A y B denotn conjuntos. Todo subconjunto R A B será llmdo un relción (entre A y B). Si (x, y) R decimos que x está en l relción R con y y escribimos x R y. Ls relciones más importntes en mtemátic (prte de l noción de función) ocurren cundo A = B. En este cso un relción R A B se llmrá intern en A. Se R un relción intern en A. Diremos que: 1) R es reflexiv, si x R x pr cd x A. 2) R es trnsitiv, si ls condiciones x R y, y R z implicn x R z. 3) R es simétric si l condición xry implic yrx. 4) R es ntisimétric si ls condiciones xry e yrx implicn x = y. Un orden (u orden prcil) en A es un relción intern en A l cul es reflexiv ntisimétric y trnsitiv. Un conjunto ordendo es un pr (A, ) donde A es un conjunto y es un orden en A. Ejemplo Se X un conjunto. Entonces l relción de contención Y Z; Y, Z P(X); define un relción de orden en P(X). Así, (P(X), ) es un conjunto ordendo. Un relción intern en A se dice de equivlenci, si es relción es reflexiv, simétric y trnsitiv. En lo que rest de l sección, denotrá un relción de equivlenci en A. Diremos que α A es un clse de A según (o simplemente un clse de equivlenci) si: i) α. ii) x y culesquier sen x, y α. iii) y α si x y y x α. El conjunto {α P(A) : α es un clse de A según } se llm el conjunto cociente de A por y se denot por A/. Ejercicios. 1. Se (A, ) un conjunto ordendo. Diremos que A es cot superior (resp. inferior) de un subconjunto B de A si x (resp. x ) pr cd x B. En este cso se dice que B está cotdo superiormente (resp. inferiormente) en A. Se dice que B tiene supremo en A si B posee un cot superior mínim ; es decir, si existe un cot superior c A de B tl que c pr culquier otr cot superior de B. Pruebe que

16 10 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS Y FUNCIONES existe lo sumo un elemento c A con est propiedd. Cundo tl c exist, será llmdo el supremo de B en A y será denotdo por sup A (B) (ó por sup(b), si no hy peligro de confusión). 2. Se X un conjunto. Pruebe que todo subconjunto de P(X) posee supremo con respecto l orden ddo por contención. 3. Se (A, ) un conjunto ordendo y supong que el conjunto {, b} posee supremo en A, culesquier sen, b A. Defin b = sup({, b}) y muestre que b = b y (b c) = ( b) c, culesquier sen, b, c A. 4. Sen α, β A dos clses de A según. Pruebe que si α β, entonces α = β. En otrs plbrs, dos clses de A según ó son disjunts ó son igules. 5. Pruebe que pr cd A, el conjunto [] := {x A : x } es un clse de A según, que llmremos l clse de según. 6. Se α A un clse de A según. Pruebe que si α, entonces α = []. 7. Por un división de A entendemos un fmili P de subconjuntos no vcíos de A, dos dos disjuntos cuy reunión es A. Pruebe que A/ es un división de A. Recíprocmente, pruebe que si P es un división de A, entonces P = A/ pr lgun relción de equivlenci en A.

17 Cpítulo 2 Sistems Numéricos El objeto de este cpítulo es introducir, de mner xiomátic, el cuerpo de los números reles y estudir lgunos de sus subconjuntos más importntes, sber: números nturles, enteros, rcionles e irrcionles. Hy otr form de introducir los números reles, llmd constructiv. Est ví comienz con l ceptción de los números nturles y después se construyen sucesivmente, los enteros, los rcionles y, finlmente, los números reles. L construcción de los enteros y rcionles es summente lgebric y no port mucho l estudio del nálisis mtemático. Pr l construcción de los números reles, prtir de los rcionles, se presentn dos lterntivs: Ls cortdurs de Dedekind (ver por ejemplo [9]) o ls sucesiones de Cuchy. L primer de ells es un método que tmbién sirve pr completr conjuntos ordendos más bstrctos (ver por ejemplo [3]). L construcción con sucesiones de Cuchy tiene importnci posterior, como es l completción de un espcio métrico [11, 7]. Sin embrgo, debido ls sutilezs y tecnicismos de estos métodos, es preferible, nuestro criterio, dejrlos pr un curso más vnzdo Leyes de composición. En est sección, A denot un conjunto no vcío. Tod plicción : A A A será llmd un ley de composición en A. L imgen de (x, y) medinte tl ley, será denotd por x y en vez de ((x, y)). En lo que rest de est sección, denotrá un ley de composición en A. Diremos que: i) es socitiv, si x (y z) = (x y) z, culesquier sen x, y, z A. ii) es conmuttiv, si x y = y x, culesquier sen x, y A. iii) e A es elemento neutro pr, si x e = e x = x, pr cd x A. 11

18 12 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Supongmos que es un ley de composición en un conjunto A, l cul posee un elemento neutro e. Se dice que x A es simetrizble ó invertible respecto si existe y A tl que x y = y x = e. Ejemplo Se X un conjunto y se A el conjunto de tods ls funciones f : X X, entonces l composición de funciones es un ley de composición en A. De mner más precis, se tiene un ley de composición en A definid por f g = g f. Note que por l proposición 1.2.2, id A es el elemento neutro de. Además, por l proposición 1.2.3, es socitiv. Es más, de l definición 1.2.4, se tiene que los elementos invertibles de A son ls biyecciones de X en si mismo. Ejemplo Se X un conjunto. L unión de conjuntos define un ley de composición en P(X). El lector comprobrá que es conmuttiv y socitiv. Además, es el elemento neutro de est ley de composición. Qué puede usted decir cerc de l ley de composición dd por A B = A B?. Un grupo es un pr (G, ), donde es un ley de composición en un conjunto G, l cul es socitiv, posee un elemento neutro y todo elemento de G es invertible. Si demás es conmuttiv, se dice que (G, ) es conmuttivo ó belino. En este cso, l ley suele denotrse por +, el elemento neutro de G por 0 y el simétrico de x G por x. Ejemplo Se X un conjunto no vcío y se G el conjunto de tods ls biyecciones de X en si mismo. Entonces (G, ) es un grupo, donde es l ley de composición de funciones definid en el ejemplo Ejercicios. 1. Pruebe que si e, e A son elementos neutros pr entonces e = e. 2. Supong que es socitiv y que posee elemento neutro e. Pruebe que si x A es simetrizble entonces existe un único elemento y A tl que x y = y x = e. Este elemento y será llmdo el simétrico ó inverso de x y será denotdo por x 1. Ayud. Imite l prueb de l proposición Se X un conjunto de tres elementos. Pruebe que el grupo G ddo en el ejemplo no es belino. 4. Se (G, ) un grupo y sen x, y, z elementos de G. Pruebe que (x 1 ) 1 = x y que (x y) 1 = y 1 x 1. Muestre que, si x y = x z, entonces y = z. Concluy que, si x y = y, entonces x = e (elemento neutro). Enuncie estos resultdos con l notción usd pr grupos belinos.

19 2.2. CUERPOS ORDENADOS * Ddos conjuntos Y, Z se define l diferenci simétric Y Z como el conjunto (Y \ Z) (Z \ Y ). Pruebe que (P(X), ) es un grupo belino, culquier se el conjunto X. (L socitividd es l requiere myor tención) Cuerpos ordendos Un cuerpo es un tern (K, +, ) donde +, son leyes de composición en K llmds dición y multiplicción respectivmente, tles que: i) (K, +) es un grupo belino (cuyo elemento neutro denotmos por 0). ii) (K \ {0}, ) es un grupo belino cuyo elemento neutro denotmos por 1. iii) x (y + z) = x y + x z, culesquier sen x, y, z K. Observciones: ) Note que 1 0 y que 1 K\{0}. El simétrico de un elemento x K respecto + será denotdo por x mientrs que el simétrico de x 0 respecto l multiplicción, será denotdo por x 1. Así, x + ( x) = 0 y x x 1 = 1 si x 0. b) El producto x y, de dos elementos en K, será denotdo menudo por xy. Si demás y 0, el producto xy 1 tmbién será denotdo por x/y ó x. y Un cuerpo ordendo es un cutern (K, +,, P ) donde (K, +,.) es un cuerpo y P es un subconjunto de K con ls siguientes dos propieddes: O 1 ) Si x K, entonces ocurre un y sólo un de ls siguientes posibiliddes: x P, x = 0, x P. O 2 ) Si x, y P, entonces x + y, x y P. Observción: Ddo un subconjunto A de K pondremos, en todo lo que sigue, A = { x : x A}. Con est notción, O 1 ) es equivlente decir que K es l unión de P, {0} y P y que estos tres conjuntos son dos dos disjuntos. Vemos porque (K, +,, P ) es un cuerpo ordendo. Considere l siguiente relción binri, denotd por <, x < y si y x P Extendemos est relción de l mner siguiente. Ddos x, y K definimos x y, si x < y o x = y

20 14 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS L relción binri (lése x menor o igul y) es reflexiv, ntisimétric y trnsitiv, es decir, es un relción de orden sobre K (ver ejercicio 10). Usremos tmbién l notción y > x e y x pr significr, respectivmente, x < y y x y. El conjunto P debe pensrse como los elementos positivos de K. Ls propieddes O 1 )-O 2 ) se expresn hor de l siguiente form: P 1 ) Si x K entonces ocurre un y sólo un de ls siguientes posibiliddes: x > 0, x = 0, x > 0. P 2 ) Si x, y K y x, y > 0, entonces x + y, x y > 0. Es por est rzón que llmmos (K, +,, P ) un cuerpo ordendo. Ls propieddes más importntes del orden son ls siguientes (ver ejercicio 10): x K, y K, z K (x y x + z y + z) x K, y K, z P (x y z x z y). En lo que rest de este cpítulo (K, +,, ) denotrá un cuerpo ordendo. Es decir, (K, +, ) es un cuerpo y es l relción de orden en K socid un conjunto P que stisfce P 1 ) y P 2 ). De l propiedd P 1 ) se tiene que ocurre un y sólo un de ls siguientes lterntivs: x > y; x = y; x < y. Est propiedd se conoce con el nombre de ley de tricotomí. En lo que sigue pondremos 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, etc. Note que 1 > 0 (ver ejercicio 8), luego 2 = > 1, 3 = > 2 etc, es decir, 1 < 2 < 3 < 4 etc. Ddos x, y K pondremos x y = x + ( y). Terminremos est sección mostrndo un resultdo que es clve en muchs pruebs del nálisis mtemático y que será usdo repetids veces en este texto. Es un buen ejercicio pr el lector observr durnte el desrrollo de este curso l frecuenci con l que se us este sencillo resultdo. Proposición Se K y supongmos que < ɛ, pr cd ɛ > 0. Entonces 0. Demostrción: Supongmos que el resultdo no es cierto, entonces de l propiedd P 1 ), se tiene que > 0. Como 1 < 2, entonces 1/2 < 1 (ver ejercicio 9). Luego multiplicndo por mbos ldos de l desiguldd obtenemos que /2 < (ver ejercicio 5). Pero es fácil ver que /2 > 0 (hcerlo!) y esto contrdice nuestr hipótesis. Ejercicios.

21 2.3. LOS NÚMEROS NATURALES 15 Sen, b, c K. 1. Pruebe que 0 = 0. Ayud. 0 = (0 + 0). 2. Pruebe que ( ) b = b = ( b), ( ) ( b) = b y ( 1) =. 3. Pruebe que si b = 0, entonces = 0 ó b = Pruebe que (b c) = b c. 5. Pruebe que, si < b, entonces + c < b + c. Si demás c > 0, muestre que c < b c. 6. Pruebe que > 0 si y sólo si < 0. De mner similr, > 0 si y sólo si 1 > b < 0 si > 0 > b. 8. Denotremos por 2. Muestre que 2 > 0, si 0. Concluy que 1 > Pruebe que si > b > 0, entonces 1 < b 1. Si, demás, c > d > 0, entonces c > b d. 10. Ddos x, y K defin x y, si x < y o si x = y. Pruebe que es un orden en K y que demás posee ls siguientes propieddes, donde x, y, z denotrán elementos e K: ) Si x y, entonces x + z y + z. b) Si x y y 0 z, entonces z x z y. 11. Se (K, +, ) un cuerpo y un relción de orden sobre K. Supong que es totl, es decir, que pr todo x, y K se tiene que x y o y x. Supong tmbién que stisfce () y (b) del ejercicio nterior. Se P el conjunto {x K : x > 0}. Muestre que (K, +,, P ) es un cuerpo ordendo Los números nturles Diremos que un subconjunto I de K es inductivo si I 1 ) 1 I. I 2 ) Si x I, entonces x + 1 I. Es clro que K es inductivo. Además, l intersección de culquier fmili no vcí de subconjuntos inductivos de K, es un conjunto inductivo (dejmos l lector como ejercicio probr ests firmciones). Por consiguiente, l intersección de todos los subconjuntos inductivos de K está bien definid y es un subconjunto inductivo de K, que denotremos por N y que llmremos conjunto de los números nturles o enteros positivos. Es clro que N es el más pequeño subconjunto inductivo de K. Es decir,

22 16 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Teorem (Principio de Inducción). Si I K es inductivo, entonces N I. En otrs plbrs, si I N es inductivo, entonces I = N. Proposición ) Si n N y n 1, entonces n 1 N. b) Pr cd n N, n 1. Demostrción: ) Supongmos que el resultdo es flso. Es decir, que existe n N tl que n 1 y n 1 / N. Dejmos l lector verificr que el conjunto N \ {n} es inductivo (ver ejercicio 3). Pero esto contrdice el teorem y termin l prueb de ). L prueb de b) es consecuenci direct del hecho que el conjunto {m K : m 1} es inductivo (ver ejercicio 1) y de l definición de N. Proposición Si m, n N, entonces: i) m + n N, ii) m n N y iii) m n N si m > n. Demostrción: i) Fijemos m N y definmos A = {n N : m + n N}. Y que N es inductivo se tiene que m + 1 N, sí, 1 A. Por otr prte, si x A, entonces m + x N y como N es inductivo, (m + x) + 1 N. Pero, (m + x) + 1 = m + (x + 1), de donde, x + 1 A. Esto prueb que A es inductivo y por el 2.3.1, N A. Pero, por definición, A N, y sí, A = N. Es decir, m + n N, pr todo n N. Ls pruebs de ii) y iii) serán dejds l lector, quien mostrrá que cd uno de los siguientes conjuntos es inductivo: {n N : m n N}, {n N : si m N y m > n, entonces m n N}. Proposición Si n, x N y n < x, entonces n + 1 x (en otrs plbrs, si n N, entonces entre n y n + 1 no hy otro nturl). Demostrción: Por l proposición 2.3.3, x n N y por l prte b) de l proposición 2.3.2, x n 1. De quí, x n + 1. Teorem Todo subconjunto no vcío A de N posee un primer elemento. Esto signific, por definición, que existe A tl que, x, pr todo x A. Demostrción: Por l proposición sbemos que, n 1, pr todo n N (3.1) de modo que 1 es el primer elemento de N.

23 2.3. LOS NÚMEROS NATURALES 17 Supongmos que A no tiene primer elemento y definmos B = {n N : n < x pr todo x A}. Y que A no tiene primer elemento, entonces 1 / A y por (3.1), x > 1, pr todo x A. De quí, 1 B. Supongmos que n B. Por l definición de B tenemos que n < x pr todo x A y por proposición 2.3.4, n + 1 x, pr todo n A. (3.2) Si pr lgún A se tuvier = n + 1, entonces serí el primer elemento de A, lo que contrdirí nuestr suposición de que A no tiene primer elemento. De quí y de (3.2) obtenemos n + 1 < x; pr todo x A; lo cul prueb que n + 1 B. De est mner tenemos que B es inductivo y por el teorem 2.3.1, B = N. Fijemos hor A (recuerde que A no es vcío). Entonces N = B y, de l definición de B, <. Est contrdicción termin l demostrción. Ejercicios. 1. Pruebe que el conjunto {x K : x 1} es inductivo. 2. Pruebe que l intersección de culquier fmili no vcí de subconjuntos inductivos de K, es un conjunto inductivo. 3. Se I un subconjunto inductivo de K y se I. Pruebe que si 1 y 1 / I, entonces I \ {} es inductivo. 4. Sen x, y N. Pruebe que x + y N, x y N. 5. Fije p N y construy un plicción inyectiv f : N N \ {p}. 6. Se B N no vcío y supong que existe N tl que x ; pr todo x B. Pruebe que existe b B tl que, x b pr cd x B. Este número b se llm el máximo de B. Ayud. Se b el primer elemento del conjunto {n N : x n pr todo x B}. 7. Pr cd n N pondremos; en lo que sigue; I n = {i N : 1 i n}. Diremos que A I n es n-inductivo si 1 A e i + 1 A cundo i A e i n. Pruebe que si A I n es n-inductivo, entonces A = I n. Ayud. Supong que B := I n \ A y se b el primer elemento de B. Otr mner lterntiv de demostrr que A = I n es mostrndo que el conjunto A {i N : i > n} es inductivo. 8. Pruebe que no existen funciones inyectivs de N en I n. Ayud. Defin F n como el conjunto de tods ls funciones inyectivs de N en I n y pruebe que el conjunto {n N : F n = } es inductivo.

24 18 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 9. Sen, b N. Diremos que divide b si existe c N tl que b = c. En este cso se dice que es un divisor o fctor de b. Denote por D b l conjunto de divisores de b y pruebe que D b y que b es cot superior de D b. El máximo común divisor de y b se define como el máximo del conjunto D D b y se denot por MCD(, b). Se M = MCD(, b), entonces = Mx, b = My pr ciertos x, y N. Pruebe que MCD(x, y) = 1. En este cso se dice que x, y no tienen fctores comunes o que son coprimos. 10. Pruebe que pr culquier N, existe b N tl que = 2b ó = 2b 1. En en primer cso se dice que es pr, mientrs que en el segundo, decimos que es impr. 11. Se N. Pruebe que si 2 es pr, entonces es pr. 12. Se f : N N un función tl que f(n + 1) > f(n) pr cd n N. Pruebe que f es inyectiv Los números enteros y los números rcionles Definimos el conjunto Z de los números enteros como l unión de los conjuntos N, {0} y N (recordemos que pr un conjunto A K hemos definido A como el conjunto { x : x A}). Obvimente, 0, 1 Z. Proposición Si x, y Z, entonces x + y, x, xy Z. Demostrción: Probremos únicmente que x + y Z. (El resto de l demostrción es precid y será dejd crgo del lector). Si x = 0 ó y = 0 no hy nd que mostrr. Si x, y N ó si x, y N, el resultdo se sigue de lo expuesto en l sección nterior. Supongmos hor que x N y que y N. Podemos escribir y = z pr lgún z N y se presentn los tres csos siguientes: i) z < x. Por l proposición tenemos que x z N, de mner que x + y = x z Z. ii) z = x. En este cso, x + y = x z = 0 Z. iii) z > x. En este cso, z x N, de modo que x + y = x z = (z x) N Z. El conjunto de los números rcionles, que denotremos por Q, lo definimos como l colección de tods ls frcciones de l form m/n, donde m, n Z y n 0. Note que N Z Q K. Diremos que F K es un subcuerpo de K si F es un nillo tl que x 1 F cundo x F y x 0.

25 2.4. LOS NÚMEROS ENTEROS Y LOS NÚMEROS RACIONALES 19 Proposición Q es un subcuerpo de K. Demostrción: Sen x, y Q y escribmos x = /b, y = c/d con, b, c, d Z y b, d 0. Entonces x + y = b 1 + cd 1 = (d + bc)b 1 d 1 = (d + bc)/bd, de modo que x + y Q. El resto de l prueb será dejd crgo del lector. Ejercicios. 1. Diremos que un subconjunto R de K es un nillo si 0, 1 R y si x+y, x, xy si x, y R cundo x, y R. (Con este lenguje, l proposición dice que Z es un nillo). Pruebe que todo nillo de K contiene Z, de modo que Z puede crcterizrse como el nillo más pequeño de K. 2. Se A un subconjunto de Z cotdo inferiormente en Z. Pruebe que existe A tl que x pr cd x A. (Es decir, A tiene primer elemento). Ayud. Se b Z un cot inferior de A y note que {z Z : z = x b + 1 pr lgún x A} está contenido en N. 3. Se R un nillo de K tl que todo subconjunto no vcío de R, cotdo inferiormente en R, posee primer elemento. Pruebe que R = Z. Ayud. Se el primer elemento de R := {x R : x > 0}. Muestre que N R, de modo que 1. Concluy que = 1, porque 2 R y 2. Supong por el bsurdo que R + N y se b el primer elemento de R + \ N. Pruebe que b 1 R + \ N. Not. Los ejercicios 2 y 3, dicen que Z puede crcterizrse como el nillo de K donde todo subconjunto no vcío y cotdo inferiormente en Z, tiene primer elemento. 4. Pruebe que, pr cd x R existe un único n Z tl que n x < n + 1. Este número n, se conoce como l prte enter de x y se le denot por [x]. Ayud. Use el ejercicio Pruebe que [x + m] = [x] + m, si x R y m Z. Concluy que l función f : R R; f(x) = x [x]; stisfce f(x + 1) = f(x). 6. Se b > 0. Pruebe que, pr cd x R, existe un único n Z tl que, nb x < (n+1)b. 7. Sen, b, m, n, M Z con n, b no nulos, tles que m = M y n = Mb. Pruebe que m/n = /b y deduzc que Q es el conjunto de tods ls frcciones /b donde, b no tienen fctores comunes. 8. * Pruebe que si F es un subcuerpo de K, entonces (F, +,., ) es un cuerpo ordendo. Pruebe demás que Q F, de modo que Q puede ser crcterizdo como el subcuerpo ordendo más pequeño de K.

26 20 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.5. Los números reles y el xiom de completitud En est sección presentremos l definición de los números reles. Este es sin dud uno de los conceptos más importntes de tod l mtemátic. Pr fcilitr l lectur de est sección, recordremos lguns definiciones dds en l sección 1.3. Diremos que un subconjunto A de K está cotdo superiormente (resp. inferiormente) si existe b K tl que x b (resp. b x) pr cd x A. En este cso se dice que b es un cot superior (resp. inferior) de A. Se dice que A es cotdo si ese conjunto dmite cots inferiores y superiores. Se A K no vcío. Se dice que A tiene supremo en K si existe un cot superior b K de A tl que b c pr culquier otr cot superior c de A. En otrs plbrs, el supremo (cundo exist!) es l menor de ls cots superiores y se denot por sup(a). De mner semejnte, se dice que A tiene ínfimo en K si existe un cot inferior b de A tl que b c pr culquier otr cot inferior c de A. El ínfimo (cundo exist) será denotdo por inf(a). Es de observr que el ínfimo es l myor de ls cots inferiores. Diremos que un cuerpo ordendo K es completo si posee l siguiente propiedd: todo subconjunto de K no vcío y cotdo superiormente tiene supremo en K. Est propiedd se conoce como propiedd del supremo o xiom de completitud. Asumiremos l existenci de un cuerpo ordendo completo, denotdo por (R, +,, ) (o, simplemente, R); llmdo cuerpo de los números reles. Observción: L definición que hemos ddo de R puede (y quizá debe) precer extrñ, pues nd indic que exist un cuerpo ordendo con l propiedd del supremo. En este texto no dremos un prueb forml de l existenci R, sino que estudiremos sus propieddes bsdos solmente en el hecho que es un cuerpo ordendo completo. En csos como este, usulmente se dice que se trbj xiomticmente. Este enfoque xiomático es prticulrmente efectivo en el cso de R pues existe un sólo cuerpo ordendo completo. El significdo preciso de est firmción se escp de los objetivos de este libro, pero en términos informles, podemos decir que no hy mner de diferencir o distinguir dos cuerpos ordendos completos trvés de propieddes lgebrics o de propieddes expresds en términos del orden. Comenzremos el estudio del orden de R introduciendo un concepto importnte. Se dice que K es rquimedino, si ddo x K existe n N tl que n > x. Tmbién se dice que K tiene l propiedd rquimedin. Proposición Q y R son rquimedinos. Demostrción: Dejmos como ejercicio mostrr que Q es rquimedino. Supongmos, por reducción l bsurdo, que R no es rquimedino. Entonces existe x R tl que, n x pr todo n N, y en consecuenci, N está cotdo superiormente en R.

27 2.5. LOS NÚMEROS REALES Y EL AXIOMA DE COMPLETITUD 21 Pongmos b = sup(n). Entonces, n + 1 b, pr todo n N; y de quí, n b 1; pr todo n N. Es decir, b 1 es un cot superior de N menor que el supremo. Est contrdicción termin l prueb. Y hemos dicho que Q es un cuerpo ordendo (ver proposición y ejercicio 8 de l sección 2.4), mostrremos continución que Q no es completo, y por consiguiente Q no es igul R. Comenzremos mostrndo que no existe un solución rcionl pr l ecución x 2 = 2. Como segurmente conoce el lector, sí existe un solución en R, precismente l ríz cudrd de 2. Esto será demostrdo más delnte. Proposición Pr cd x Q se tiene que x 2 2. Demostrción: Supongmos por el bsurdo que existe x Q tl que x 2 = 2 y escribmos x = /b, donde, b Z, b 0 y, b no tienen fctores comunes. Como 2 /b 2 = x 2 = 2, entonces 2 = 2b 2, de modo que 2 es pr. Por el ejercicio 11 de l sección precedente, es pr y por consiguiente = 2c pr lgún c Z. De quí, 2b 2 = 4c 2 y se concluye fácilmente que b es pr. Esto muestr que 2 es un fctor común de y b y est contrdicción termin l prueb. L siguiente proposición muestr que Q no es completo y demás que existe un rel t tl que t 2 = 2, en prticulr, t R \ Q. Todo elemento de R \ Q será llmdo irrcionl. Proposición El conjunto A := {x Q : x > 0 y x 2 < 2} no es vcío, está cotdo superiormente en Q pero no tiene supremo en Q. Si t es el supremo (en R) de A, entonces t 2 = 2. Demostrción: Note que A no es vcío porque 1 A. Además, 2 es cot superior de A porque si hubier un x Q tl que x > 2 se tendrí x 2 > 4 > 2, contrdiciendo l definición de A. Se t el supremo de A. Mostrremos que ls relciones t 2 < 2 y t 2 > 2 llevn contrdicción y por l ley de tricotomí se tiene que t 2 = 2. Supongmos que t 2 < 2. Y que 2t + 1, 2 t 2 Q y Q es rquimedino, existe n N tl que n(2 t 2 ) > 2t + 1. De quí, t 2 + (2t + 1)/n < 2 y en consecuenci ( t + 1 ) 2 = t 2 + 2t n n + 1 n 2 t2 + 2t n + 1 n = t2 + 2t + 1 < 2. n Esto dice que t + 1/n A y contrdice el hecho que t es cot superior de A. Luego, no puede ser t 2 < 2. Supongmos que t 2 > 2. Y que Q es rquimedino, existe n N tl que nt > 1 y n(t 2 2) > 2t (justificr). En prticulr, t 2 2t/n > 2, de donde (t 1/n) 2 > 2. De quí, pr

28 22 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS cd x A se tiene (t 1/n) 2 > x 2 y como t 1/n > 0, concluímos que t 1/n > x. Es decir, t 1/n es un cot superior de A contrdiciendo el hecho que t er l menor de tles cots. Est contrdicción dice que l relción t 2 > 2 no puede suceder y termin l demostrción. Teorem (Densidd de Q en R). Ddos, b R con < b, existe r Q tl que < r < b. Demostrción: Considerremos primero el cso en que 0. Y que b > 0 y R es rquimedino, existe p N tl que p(b ) > 1. Por el mismo rgumento, el conjunto A := {n N : n > p} no es vcío y en consecuenci posee un primer elemento que denotremos por m. Afirmmos que m 1 p. En efecto, si m = 1, entonces m 1 = 0 p (porque 0) y si m > 1, entonces m 1 N y como m es el primer elemento de A se tiene que m 1 / A; sí m 1 p. En culquier cso (m = 1 ó m > 1), se que m 1 p. Luego p < m 1 + p < pb (recuerde que p(b ) > 1 y que m A). Finlmente, tenemos que r = m/p stisfce l conclusión del teorem. Consideremos hor el cso < 0. Si b > 0 tommos r = 0. Si b 0, entonces 0 b < y por el primer cso, existe s Q tl que b < s <. L prueb se termin tomndo r = s. L proposición que sigue muestre que existen irrcionles entre dos reles culesquier. Proposición Si, b R y < b, entonces < x < b, pr lgún x R \ Q. Demostrción: Considerremos tres csos: Cso = 0, b Q. Fijemos r R \ Q (recuerde que este conjunto no es vcío). Podemos sumir que r > 0 (porque si r < 0, entonces r > 0 y r R \ Q). Como R es rquimedino (proposición 2.5.1), existe n N tl que n > rb 1, de modo que, b > rn 1 > 0, y bst tomr x = r/n. Cso, b Q. Tenemos que b Q es positivo y por el cso nterior, existe un irrcionl z tl que 0 < z < b. Ahor bst tomr x = + z. Cso Generl. Por el teorem 2.5.4, existe s Q tl que < s < b, y por el mismo rgumento, existe r Q tl que s < r < b. Por el cso nterior existe un irrcionl x tl que s < x < r y l prueb es complet. Ejercicios.

29 2.6. PROPIEDADES DEL SUPREMO Y DEL ÍNFIMO Se A = {n/(n + 1) : n N}. Pruebe que sup(a) = 1 si y sólo si K es rquimedino. 2. Sen s, t R con s rcionl y t irrcionl. Pruebe que s + t es irrcionl y que lo mismo vle pr st si s Pruebe que K es rquimedino si y sólo si ddos x, y K con x > 0, existe n N tl que nx > y. Pruebe tmbién que Q es rquimedino. 4. * Un subconjunto propio y no vcío α de Q es llmdo cortdur (de Dedekind) si: i) Si x < y e y α, entonces x α. ii) Pr cd x α existe y α tl que x < y. Pruebe que si α Q es un cortdur y Q \ α, entonces es un cot superior de α. Pruebe tmbién que, pr cd z R, el conjunto α z := {x Q : x < z} es un cortdur cuyo supremo es z. En fin, se R el conjunto de tods ls cortdurs. Muestre que l plicción S : R R dd por S(α) = sup(α) es biyectiv. Not. El ejercicio 4 dice que el cuerpo de los números reles puede ser construído prtir del cuerpo de los números rcionles trvés de ls cortdurs de Dedekind (pr un trtmiento completo de este tem ver, por ejemplo, [9]) Propieddes del supremo y del ínfimo En est sección presentremos lgunos resultdos generles reltivos l supremo y l ínfimo. El primero de ellos será usdo con frecuenci y le recomendmos l lector que le preste prticulr tención. Proposición Se A R no vcío y cotdo superiormente y se b R un cot superior de A. Son equivlentes: ) b es supremo de A (en símbolos, b = sup(a)). b) Pr cd ɛ > 0 existe x A tl que b ɛ < x. c) Pr cd < b; R; existe x A tl que < x. Demostrción: ) b). Si ɛ > 0, entonces b ɛ < b y en consecuenci, b ɛ no es cot superior de A. Por lo tnto, b ɛ < x, pr lgún x A. b) c). Se R con < b y pongmos ɛ = b. Entonces ɛ > 0 y por lo tnto existe x A tl que, = b ɛ < x. c) ). Se d un cot superior de A. Por c), no puede ser que d < b, y en consecuenci, d b. Luego, b = sup(a).

30 24 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS L siguiente proposición es l versión nálog l nterior pr el ínfimo. Su demostrción se dej como ejercicio. Proposición Se A R no vcío y cotdo inferiormente y se b R un cot inferior de A. Son equivlentes: ) b es el ínfimo de A (en símbolos, b = inf(a)). b) Pr cd ɛ > 0 existe x A tl que x < b + ɛ. c) Pr cd > b; R; existe x A tl que > x. Ddos subconjuntos no vcíos A, B de R y γ R definimos A + B = {x + y : x A, y B} γa = {γx : x A} A B = {xy : x A, y B}. Proposición Sen A, B R no vcíos y cotdos superiormente y γ R. Entonces ) sup(a + B) = sup(a) + sup(b). b) sup(a B) = sup(a) sup(b) si x, y 0 pr todo x A y todo y B. c) sup(γa) = γ sup(a), si γ 0. d) Si γ 0, entonces γa es cotdo inferiormente y inf(γa) = γ sup(a). Demostrción: Pongmos = sup(a), b = sup(b) y recordemos que x e y b pr todo x A, y B. (6.1) ) De l relción nterior, x + y + b pr cd x A y cd y B, lo cul dice que + b es cot superior de A + B. Por otr prte, ddo ɛ > 0 existen, por l proposición 2.6.1, x 0 A e y 0 B tles que ɛ/2 < x 0 y b ɛ/2 < y 0. De quí, + b ɛ < x 0 + y 0. Por l proposición se concluye que sup(a + B) = + b. b) Si = 0, entonces A = {0} (pues por hipótesis A no contiene elementos negtivos). De suerte que A B = {0} y en consecuenci sup(a B) = 0 = b. Análogmente, el resultdo tmbién vle si b = 0. Supongmos hor que, b > 0. Por (6.1) se tiene xy b, lo cul dice que b es cot superior de A B. Fijemos hor ɛ > 0 y escojmos δ > 0 tl que δ < mín{, b, ɛ/( + b)}. Por l proposición 2.6.1, existen x 0 A, y 0 B tles que δ < x 0 y b δ < y 0, de donde x 0 y 0 > ( δ)(b δ) = b ( + b)δ + δ 2 > b ( + b)δ > b ɛ De nuevo por l proposición concluimos que b es el supremo de A B.

31 2.6. PROPIEDADES DEL SUPREMO Y DEL ÍNFIMO 25 c) Se deduce de l prte b) con B = {γ}. d) Como γ 0, de (6.1) se tiene que γx γ, pr todo x A. De modo que γ es cot inferior de γa. Poniendo µ = γ, se tiene, del ejercicio 1 de est sección, que inf(γa) = inf( µa) = sup(µa) = µ sup(a), lo cul complet l prueb de d). Ejercicios. 1. Bjo ls misms hipótesis de l proposición pruebe que b = sup(a)) si y sólo si pr cd n N existe x A tl que b 1/n < x. Enuncie y demuestre un resultdo nálogo pr el ínfimo. 2. ) Muestre que y que { } 7x sup 3x : x R = 7/3 inf { } 7x x : x R = 8/5. b) Qué puede decir cerc del supremo y del ínfimo de { 7x2 +4x+8 3x 2 +4x+5 : x R}? c) Muestre que inf{ 2q2 +5q+3 3q 2 q+8 : q Q, q 1} = 2/3. d) Qué puede decir cerc de sup{ 2q2 +5q+3 3q 2 q+8 : q Q, q 1}? e) Sen, b reles con b positivo. Qué puede decir, en términos de y b, cerc del supremo y del ínfimo de { 7x2 + 3x 2 +b : x R}? 3. Determinr si los siguientes subconjuntos de R son cotdos superiormente y/o cotdos inferiormente, en cso que lo sen, hllr su supremo y/o su ínfimo. Determinr si tienen máximo y/o mínimo. { 3n+5 7n+8 { 3 x 1 : n N} { 3n+5 7n+12 : n N} {7 ( 1)n n 2 +1 : n N} : x > 1, x R} { 1 2 n : n N} {8 2 2 n+1 1 : n N} {5 x : x Z} {( 5) x : x Z} {n n : n N} { 1 n n : n N} { 3n+( 1)n 5 7n+8 : n N} 4. Pruebe que A K está cotdo superiormente si y sólo si A está cotdo inferiormente. Si demás A no es vcío, muestre que A tiene supremo si y sólo si A tiene ínfimo. En este cso pruebe que inf( A) = sup(a).