EXAMEN DE MATRICES Y DETERMINANTES

Transcripción

1 EXAMEN DE MATRICES Y DETERMINANTES Ejercicio 1. Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta: A: kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas. B: kg de peras, kg de manzanas y 4 kg de naranjas. C: 1 kg de peras, kg de manzanas y 3 kg de naranjas. En el pueblo en el que viven hay dos fruterías, F 1 y F. En F 1, las peras cuestan 1,5 /kg, las manzanas 1 /kg, y las naranjas /kg. En F, las peras cuestan 1,8 /kg, las manzanas 0,8 /kg, y las naranjas /kg. a) [0 5 puntos] Expresa matricialmente la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que quiere comprar cada persona (A, B, C). b) [0 5 puntos] Escribe una matriz con los precios de cada tipo de fruta en cada una de las dos fruterías. c) [1 punto] Obtén una matriz, a partir de las dos anteriores, en la que quede reflejado lo que se gastaría cada persona haciendo su compra en cada una de las dos fruterías. 0 a Ejercicio. Considera las matrices A = a 0 4 a) [1 punto] Calcula A y A n b) [1 punto] Calcula A 3 0 λ Ejercicio 3.- Dada la matriz A = 5 λ 5 λ 0 3 a) [1 punto] Calcula los valores de λ para los que A I no tiene inversa, siendo I la matriz identidad de orden 3. b) [1 punto] Calcula la inversa de A I para λ =. Ejercicio 4.- [ puntos] Halla una matriz X, tal que AX = B, siendo A = B = x y z Ejercicio 5.- Sabiendo que A = a b c =, calcula, indicando las propiedades que utilices, los p q r siguientes determinantes: a x b y c z z x + y + z 3x a) [1 punto] a b c b) [1 punto] c a + b + c 3a p q r r p + q + r 3p

2 RECUPERACIÓN DE MATRICES Y DETERMINANTES Ejercicio 1. [ puntos] Una empresa tiene tres factorías, F 1, F, F 3, en las que se fabrican diariamente tres tipos diferentes de productos, A, B y C, como se indica a continuación: F 1 : 00 unidades de A, 40 de B y 30 de C. F : 0 unidades de A, 100 de B y 00 de C. F 3 : 80 unidades de A, 50 de B y 40 de C. Cada unidad de A que se vende proporciona un beneficio de 5 euros; por cada unidad de B, se obtienen 0 euros de beneficio; y por cada una de C, 30 euros. Sabiendo que la empresa vende toda la producción diaria, obtén matricialmente el beneficio diario obtenido con cada una de las tres factorías. Ejercicio. Sea I la matriz identidad de orden y A = 1 m 1 1 a) [1 punto] Encuentra los valores de m para los cuales se cumple que (A I) = O, donde O es la matriz nula de orden b) [1 punto] Para m =, halla la matriz X tal que AX A T = O, donde A T denota la matriz traspuesta de A. Ejercicio 3.- Sea A una matriz de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices: a) [0,5 puntos] El determinante de A 3 b) [0,5 puntos] El determinante de A -1 c) [0,5 puntos] El determinante de A d) [0,5 puntos] El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son respectivamente 3C 1 C 3, C 3 y C. Siendo C 1, C y C 3 las columnas de A Ejercicio 4.- [ puntos] Sean las matrices A =, B = y C = Calcula la matriz X que cumpla la ecuación AXB = C Ejercicio 5.- Considera las matrices A = y B = x y 0 0 a) [1 punto] Calcula A 17 y A 18 b) [1punto] Determina x e y tal que AB = BA

3 EXAMEN DE SISTEMAS DE ECUACIONES Ejercicio 1. Dado el sistema de ecuaciones lineales 3x + y z = 0 3x + y + kz = 0 x y 4z = 0 (a) [1 5 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro k. (b) [1punto] Resuélvelo en el caso en que sea compatible indeterminado Ejercicio. Considera el sistema de ecuaciones x y = a ax + 3y = 4 3x y = (a) [1 75 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro a (b) [0 75 puntos] Resuelve para a = 1 Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones 1 1 xx bb bb yy = bb 1 bb 1 + bb zz 1 (a) [1 5 puntos] Discútelo según los valores del parámetro b. (b) [1 punto] Resuelve para b = - 1 Ejercicio 4. ['5 puntos] Un individuo compra 34 litros de aguamiel de tres calidades distintas por 14 euros. Los precios de cada tipo son de 7, 6 y 5 respectivamente. Sabiendo que la que la cantidad de aguamiel de mejor calidad es el doble que la de peor calidad, cuántos litros de cada tipo ha comprado?

4 RECUPERACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES Ejercicio 1. Dado el sistema de ecuaciones lineales x my + z = 1 x + y + z = m + x + y + mz = 4 (a) [1 5 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro m. (b) [1punto] Resuélvelo en el caso en que m = 0 Ejercicio. Considera el sistema de ecuaciones x + 3y + z = 0 x 13y + z = 0 ( a + ) x 1y + 1z = 0 (a) [1 puntos] Determina el valor a para que tenga soluciones distintas de la solución trivial (b) [1 5 puntos] Resuélvelo para dicho valor de a. Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones 3x + y 5z = 1 4x + y z = 3 x 3y + az = b (a) [1 5 puntos] Determina a y b sabiendo que el sistema tiene infinitas soluciones. (b) [1 punto] Resuelve para dichos valores Ejercicio 4. ['5 puntos] En el sector de las aceitunas sin hueso, tres empresas A, B y C, se encuentran en competencia. Calcula el precio por unidad dado por cada empresa sabiendo que verifican las siguientes relaciones: - El precio de la empresa A es 0 6 menos que la media de los precios establecidos por B y C. - El precio dado por B es la media de los precios de A y C. - El precio de la empresa C es igual a más /5 del precio dado por A más 1/3 del precio dado por B.

5 EXAMEN DE LA UNIDAD 3: VECTORES, RECTAS Y PLANOS Ejercicio 1 Sean los vectores uu = (1, - 1, 3), vv = (1, 0, - 1) y ww = (λ, 1, 0) a) [0 5 puntos] Calcula los valores de λ que hacen que uu y ww sean ortogonales. b) [0 75 puntos] Calcula los valores de λ que hacen que uu, vv y ww sean coplanarios. c) [0 75 puntos] Para λ = 1 escribe el vector rr = (3, 0, 7) como combinación lineal de uu, vv y ww Ejercicio Considera los puntos A(1,,1) y B( 1,0,3). a) [1 punto] Calcula las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales. b) [1 punto] Halla la ecuación del plano perpendicular al segmento AB y que pasa por A. Ejercicio 3 Sean A( 3,4,0), B(3,6,3) y C( 1,,1) los vértices de un triángulo. a) [1 punto] Halla la ecuación del plano π que contiene al triángulo. b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta que es perpendicular a π y pasa por el origen de coordenadas. Ejercicio 4 Sean los puntos A(0,1,1), B(,1, 3), C( 1,,0) y D(,1,m) a) [1 punto] Calcula m para que A, B, C y D estén en un mismo plano. b) [1 punto] Determina la ecuación de la recta que contiene al segmento BC Ejercicio 5 Considera el plano π de ecuación x + y + 3z 6 = 0. a) [1 punto] Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano π con los ejes coordenados. b) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro determinado por el plano π y los planos coordenados.

6 RECUPERACIÓN DE LA UNIDAD 3: VECTORES, RECTAS Y PLANOS Ejercicio 1. Sean A( 3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C ( 1,, 1) los vértices de un triángulo. (a) [0 75 puntos] Halla la ecuación del plano π que contiene al triangulo. (b) [0 75 puntos] Halla la ecuación de la recta que es perpendicular a π y pasa por el origen de coordenadas. (c) [1 punto] Calcula el área del triángulo ABC. x + z = 1 Ejercicio.- Dados el punto P(1,1,-1) y la recta r: y + z = 0 a) [1,5 puntos] Halla la ecuación del plano que contiene a r y pasa por P. (b) [1,5 puntos] Halla la ecuación de la recta contenida en el plano de ecuación y + z = 0, que es perpendicular a r y pasa por P. Ejercicio 3.- Considera los puntos A(-1,k,3), B(k+1,0,), C(1,,0) y D(,0,1). (a) [1,5 puntos] Existe algún valor de k para que A, B, C y D sean coplanarios? (b) [1,5puntos] Calcula los valores de k para que los puntos A, B, C y D formen un tetraedro de volumen 1. Ejercicio 4.- Considera los vectores uu = (1,1, m), vv = (0,m, 1) y ww = (1, m,0) a) [1,5 puntos] Determina el valor de m para que los vectores uu, vv y ww sean linealmente dependientes. b) [1,5 puntos] Para el valor de m obtenido en el apartado anterior, expresa el vector ww como combinación lineal de los vectores uu y vv

7 EXAMEN DE LA UNIDAD 4: PROBLEMAS GEOMÉTRICOS Ejercicio 1.- Considera el plano π: x - y + 1 = 0 y la recta x 3y + z = 0 r. x y + az + = 0 (a) [1'5 puntos] Halla el valor de a sabiendo que la recta está contenida en el plano. (b) [1'5 puntos] Calcula el ángulo formado por el plano π y la recta x 3y + z = 0 s x y + z + = 0 Ejercicio. ['5 puntos] Considera los puntos A (1,-1,), B (1, 3,0) y C (0, 0,1). Halla el punto simétrico de A respecto de la recta que pasa por B y C. z Ejercicio 3. Considera un plano π: x + y + mz = 3 y la recta r x = y 1 = a) [0,75 puntos] Halla m para que r y π sean paralelos. b) [0,75 puntos] Halla m para que r y π sean perpendiculares. c) [1 punto] Existe algún valor de m para que la recta r esté contenida en el plano π? Ejercicio 4. [ 5 puntos] Determina los puntos de la recta r de ecuaciones x = 0 s z 3 que equidistan del plano π: x + z = 1 y del plano π : y z = 3. y 1 =

8 RECUPERACIÓN DE PROBLEMAS GEOMÉTRICOS Ejercicio 1.- ['5 puntos] Calcula el punto simétrico de A (1,, 3) respecto al plano π x z + = 0 Ejercicio. ['5 puntos] Considera el plano de ecuación π x + y z + = 0 y la x 5 z 6 recta de ecuación r = y = 3 (a) [1'5 puntos] Halla la posición relativa de π y r. (b) [1'5 puntos] Calcula el ángulo que forman x + 3 y + 5 z + 4 Ejercicio 3. Determina un punto P de la recta r = = que 3 3 equidista del origen de coordenadas y del punto A(3,, 1). Ejercicio 4. [ 5 puntos] Calcula de manera razonada la distancia del eje OX a la recta x 3y = 4 r : x 3y z = 0

9 EXAMEN DE LA UNIDAD 5: LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADA 1. Calcula los siguientes límites: x 9 a) [1 5 puntos] lim x 3 x 6x + 9 b) [1 5 puntos] lim 0 x 1+ x x 1 x. calcula la derivada de las siguientes funciones: x 3 a) [1 5 puntos] f ( x) = arctg x b) [1 5 puntos] g ( x) = Ln( x 4) 3. Calcula la recta tangente y la recta normal a la función en x = 0. f ( x) + 1 = x 4. Se sabe que la función f : [0, 5] R definida por ax + bx 0 x < f ( x) = 4 + x 1 x 5 es derivable en el intervalo (0, 5). (a) [1 75 puntos] Calcula las constantes a y b. (b) [0 75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x =.

10 RECUPERACIÓN DE LA UNIDAD 5: LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADA 5. Calcula los siguientes límites: 3 x + 5x a) [1 5 puntos] lim x 3 x + 7x b) [1 5 puntos] lim x + 3x x x x 4 6. calcula la derivada de las siguientes funciones: a) [1 5 puntos] f ( x) = 4 cos x b) [1 5 puntos] f ( x) = arcsen( x ) 7. Calcula la recta tangente y la recta normal a la función en x = ( 3) g( x) = Ln x 8. Considera la función derivable f : R R definida por x x e e x < 0 f ( x) = ax + x b x 0 (c) [1 75 puntos] Calcula las constantes a y b. (d) [0 75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x = -1.

11 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II EXAMEN DE LA UNIDAD 6: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 3 Ejercicio 1. ['5 puntos] Sea f : R R la función definida por f ( x) = x + ax + bx + c. Halla los coeficientes a, b, c y d sabiendo que la recta tangente a la gráfica de f tiene tangente horizontal abscisa x = 1 y un punto de inflexión en (-1, 5). Ejercicio. [ 5 puntos] Calcula el valor de a sabiendo que el límite es finito. Calcula dicho límite ln( x + 1) asenx + x cos(3x) lim x 0 x Ejercicio 3. ['5 puntos] Se quiere construir un bote de conservas cilíndrico, con tapa, de un litro de capacidad. Calcula las dimensiones del bote para que en su construcción se utilice la menor cantidad posible de hojalata. x Ejercicio 4. Considera la función f : R R definida por f ( x) = x + 1 (a) [0'5 puntos] Halla las asíntotas de la gráfica de f. Calcula los puntos de corte de las asíntotas con la gráfica de f(x) (b) [1'5 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (c) [0'5 puntos] Esboza la gráfica de f.

12 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS II EXAMEN DE LA UNIDAD 7: INTEGRALES Ejercicio 1. ['5 puntos] Calcula π 0 x sen( x) dx Ejercicio. [ 5 puntos] Calcula realizando el cambio de variable t = x x + 1 x + 1+ x Ejercicio 3. Sea f : (0,+ ) la función dada por f (x) = ln x. a) [0'75 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. b) [1'75 puntos] Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de f, y = x 1 y la recta x = 3. Calcula su área. x Ejercicio 4. ['5 puntos] De la función f :R R definida por f ( x) = a e b x, se sabe que su 1 3 gráfica tiene tangente horizontal en x = 0, y que f ( x) dx = e. Halla los valores de a y b. 0 dx