Colegio Agave Matemáticas I

Transcripción

1 Derivadas y aplicaciones de la derivada (con solución) Problema 1: Se considera la función definida por a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f(x) b) Estudia la posición de la gráfica de f(x) respecto de sus asíntotas. Problema 2: Resuelve las siguientes cuestiones: a) Calcula el valor de a y b para que la función sea continua para todo valor de x b) Estudia la derivabilidad de f(x) para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior. Problema 3: Contesta a las siguientes cuestiones: a) Obtén la derivada de la función f(x) = ax + b + sen x. Calcula a y b si O(0, 0) es un punto de la curva y = ax + b + sen x, cuya recta tangente en O(0, 0) es el eje X b) Justifica que la función se anula en dos puntos del intervalo [0, π] Problema 4: Calcula Problema 5: Determina los valores de a y b R para que la función f(x) = x 3 + ax 2 6x + b pase por el origen de coordenadas y su recta tangente en x = 1 tenga pendiente 3 Problema 6: Existen máximo y mínimo absolutos de la función f(x) = cos (x) + 1 en el intervalo [0, π]? Justifica la respuesta y calcúlalos.

2 Problema 7: Estudia si la función es continua en los puntos x = 1 y x = 2. Representa gráficamente dicha función. Problema 8: Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica f(x) con el eje X en el punto de corte de Problema 9: De entre todos los triángulos rectángulos con hipotenusa 10 cm, calcula las longitudes de los catetos que corresponden al de área máxima. Problema 10: Calcula Problema 11: Sea la función a) Estudia su continuidad en toda la recta real en función de a b) Estudia su derivabilidad en toda la recta real en función de a c) Para a = 4, haz un dibujo aproximado de su gráfica Problema 12: Se dispone de una tela metálica de 100 metros de longitud para vallar una región rectangular. Cuáles son los valores x e y, dimensiones del rectángulo, que hacen que el área del romboide, formado por la unión de los puntos medios de los lados sea máxima?

3 Problema 13: Sea la función. Calcula las asíntonas de la función. Problema 14: Una persona camina a la velocidad constante de 3 m/s alejándose horizontalmente en línea recta desde la base de un farol cuyo foco luminoso está a 10 m de altura. Sabiendo que la persona mide 1,70 m, calcula: a) La longitud de la sombra cuando la persona está a 5 m de la base del farol. b) La velocidad de crecimiento de la sombra a los t segundos de comenzar a caminar. Problema 15: Dada la función donde ln significa logaritmo neperiano, definida para x > 1, halla un punto (a, f(a)) tal que la recta tangente a la gráfica de f(x) en ese punto sea paralela al eje X Problema 16: La función continua en ese punto. no está definida para x = 0. Definir f(0) para que la función sea Problema 17: Dada la función en el intervalo 0 < x < 2π, calcula su derivada, simplificándola en lo posible. Es constante esta función f(x)? Problema 18: Descomponer el número 8 en dos sumandos positivos de manera que la suma del cubo del primer sumando más el cuadrado del segundo sea mínima.

4 Problema 19: Calcula: Problema 20: Sea f: R R la función definida por f(x) = x 2 x ; estudia la derivabilidad de f Problema 21: De la función definida por f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d se sabe que tiene un máximo en x = 1, que su gráfica corta al eje X en el punto de abscisa x = 2 y tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa x = 0. Calcula a, b, c y d sabiendo, además, que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene pendiente 9 Problema 22: Se considera la función definida por para x 1 a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f(x) b) Estudia la posición de la gráfica de f(x) respecto de sus asíntotas. Problema 23: Resuelve las siguientes cuestiones: i) Calcula la recta tangente a la curva f(x) = ln x 2 en el punto x = 2 ii) Calcula el punto de corte de dicha recta con el eje Y Problema 24: Calcula el valor de Problema 25: Halla el valor de la constante k sabiendo que la curva de ecuación una asíntota que pasa por el punto (1, 3) posee

5 Soluciones Problema 1: a) Asíntotas verticales: x 2 2x = 0 x = 0; x = 2 Asíntotas horizontales: Asíntotas oblicuas: no tiene b) Posición relativa de f respecto de las asíntotas verticales: Posición relativa de f respecto de la asíntota horizontal: Problema 2: Las funciones definidas en los tres trozos son continuas y derivables en cada uno de los intervalos de definición, solo tenemos que estudiar los puntos x = 0, x = π

6 Problema 3: a) f (x) = a + cos x Como f(0) = 0 b = 0 Como f (0) = 0 a + 1 = 0 a = 1 La función es: f(x) = x + sen x b) La función es continua en [0, π] Se calculan los valores de la función en los extremos del intervalo: g(0) = 0; g(π) = 2 Se estudia el crecimiento de la función en el origen: Como la función es continua, g(x) debe tener un máximo y pasar, en ése valor, a ser decreciente con lo que la función debe cortar al eje de nuevo. Luego la función se anula para x = 0 y al menos en un valor de (0, π) Problema 4: Problema 5: Si pasa por el origen de coordenadas f(0) = 0 b = 0 Si la recta tangente en x = 1 tiene de pendiente 3 f (1) = 3 f (x) = 3x 2 + 2ax 6, f (1) = 3 + 2a 6 = 2a 3 2a 3 = 3 a = 3 Se obtiene: a = 3, b = 0 Problema 6: La función es continua en [0, π]. Se calculan los máximos y mínimos relativos: f (x) = sen x; sen x = 0 x = 0, x = π f(0) = 2 A(0, 2); f(π) = 0 B(π, 0) f (x) = cos x f (0) = 1 < 0 A(0, 2) es un máximo relativo de la función. f (π) = 1 > 0 B(π, 0) es un mínimo relativo de la función. Como estos valores coinciden con los extremos del intervalo, el máximo absoluto se alcanza en A(0, 2) y el mínimo absoluto en B(π, 0) en el intervalo [0, π]

7 Problema 7: Se estudian los límites laterales: Problema 8: Se resuelve la ecuación (x + 1)e x = 0 x = 1, el punto es A( 1, 0) Ecuación de la recta tangente: y y 1 = f (x 1 )(x x 1 ) f (x) = xe x f ( 1) = e y 0 = e(x + 1) y = ex + e Problema 9: a) Datos, incógnitas y dibujo. b) Función que hay que maximizar: c) Se escribe la función con una sola variable

8 d) Se calculan los máximos y los mínimos e) Se comprueba en la 2ª derivada f) Solución El área máxima se alcanza en un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden Problema 10: Problema 11: Las funciones definidas en los tres trozos son continuas y derivables en cada uno de los intervalos de definición, solo tenemos que estudiar los puntos de abscisas x = 2, x = 0 a) Para que la función sea continua los límites laterales deben existir y ser iguales al valor de la función: Cuando a = 4, la función es continua, si a 4 la función es discontinua en x = 0 b) Para que exista la derivada, las derivadas laterales deben ser iguales.

9 Para todos los valores de a R la función no es derivable en x = 0 c) El primer trozo es una parábola con el eje en x = 3 y vértice V( 3, 1); en el segundo trozo es una recta y el tercer trozo es la función cos x multiplicada por 4 Problema 12: a) Datos, incógnitas y dibujo. b) Función que hay que maximizar c) Se escribe la función con una sola variable d) Se calculan los máximos y los mínimos f (x) = 25 x; 25 x = 0 x = 25 e) Se comprueba en la 2ª derivada f (x) = 1 f (25) = 1 < 0 ( ) Para x = 25 se alcanza el máximo. f) Solución El área máxima se alcanza para un cuadrado de lado 25 m Problema 13: Asíntotas verticales: x 2 4 = 0 x = 2, x = 2 Asíntotas horizontales: no tiene. Asíntotas oblicuas: se realiza la división

10 y se obtiene y = 3x Problema 14: a) Aplicamos el teorema de Thales. b) En primer lugar calculamos la longitud de la sombra s cuando lleva andado 3t segundos, aplicando de nuevo el teorema de Thales se tiene: Problema 15: La pendiente de la recta tangente a la curva en x = a es f (a). Como la recta tangente es paralela al eje X, se tiene f (x) = 0 f (x) = 0 x 2 = 0 x = 2 El punto es: (2, ln 4) Problema 16:

11 Problema 17: La derivada es cero siempre, por tanto la función es constante. Problema 18: a) Datos e incógnitas. Primer sumando: x Segundo sumando: y b) Función que hay que minimizar: f(x, y) = x 3 + y 2, sujeta a la restricción: x + y = 8 y = 8 x c) Se escribe la función con una sola variable f(x) = x 3 + (8 x) 2 = x 3 + x 2 16x + 64 d) Se calculan los máximos y los mínimos f (x) = 3x 2 + 2x 16; 3x 3 + 2x 16 = 0 x = 2, x = 8/3 (no es válido por ser negativo) e) Se comprueba en la 2ª derivada f (x) = 6x + 2 f (2) = 14 > 0 (+) Para x = 2 se alcanza el mínimo. f) Solución Para x = 2, y = 6 se alcanza el mínimo. Problema 19: Problema 20: Escribimos la función como si estuviese definida a trozos: Primero tenemos que estudiar la continuidad de la función en x = 0. Para que la función f sea continua, los límites laterales deben existir y ser iguales al valor de la función. f(0) = 0 En segundo lugar tenemos que estudiar la derivabilidad. Para que exista la derivada de f, las derivadas laterales deben ser iguales.

12 f (0 ) f (0 + ) La función no es derivable en x = 0 Problema 21: f (x) = 3ax 2 + 2bx + c f (x) = 6ax + 2b a) f ( 1) = 0 3a 2b + c = 0 b) f( 2) = 0 8a + 4b 2c + d = 0 c) f (0) = 0 2b = 0 d) f (2) = 9 12a + 4b + c = 9 Resolviendo el sistema: a = 1, b = 0, c = 3, d = 2 Problema 22: a) Asíntotas verticales: x 1 = 0; x = 1 Asíntotas horizontales: no tiene. Asíntotas oblicuas: se realiza la división se obtiene y = x 1 b) Posición relativa de f respecto de la asíntota vertical: Posición relativa de f respecto de la asíntota oblicua: Problema 23: i) Para x = 2 f(2) = ln 4 Ecuación de la recta tangente: y y 1 = f (x 1 )(x x 1 ) f (x) = 2/x f (2) = 1 y ln 4 = 1 (x 2) y = x 2 + ln 4 ii) Para x = 0 y = 2 + ln 4, el punto es P(0, 2 + ln 4)

13 Problema 24: Problema 25: La función no tiene asíntotas verticales ya que x para todo valor de x. Tampoco tiene asíntotas horizontales ya que el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador. Luego tiene una asíntota oblicua. La asíntota oblicua es y = x + k Como pasa por (1, 3) 3 = 1 + k k = 2