UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS.

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1 UNIVERSIDAD FRANCISCO DE AULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS. DERIVADAS ARCIALES DE ORDEN SUERIOR. S es una uncón de dos varables al dervar la uncón parcalmente con respecto a una de las varables o se obtene otra uncón de estas dos varables la cual se puede dervar parcalmente con respecto a o con lo que se las dervadas parcales segundas de. sguendo el msmo proceso se pueden obtener las terceras dervadas así sucesvamente. Aora s es una uncón de las varables entonces: ; representan las prmeras dervadas parcales. A partr de ellas se pueden obtener las cuatro segundas dervadas parcales las cuales se obtenen al dervar parcalmente ; con respecto a la varable luego con respecto a la varable. sendo estas segundas dervadas las sguentes: ; ; Cuantas son las terceras dervadas parcales? lo cual nos ndca que la uncones a la uncón se le debe encontrar la segunda dervada parcal con respecto a la varable. lo que nos ndca que a la uncón dada se le debe encontrar la dervada parcal con respecto a la varable luego dervarla parcalmente con respecto a la varable. lo que nos ndca que a la uncón dada se le debe encontrar la dervada parcal con respecto a la varable luego dervarla parcalmente con respecto a la varable.

2 lo que nos ndca que a la uncón dada se le debe encontrar la segunda dervada parcal con respecto a la varable luego dervarla parcalmente con respecto a la varable. En el sguente esquema se lustra las tres prmeras dervadas parcales de una uncón de dos varables. F F F F F F F F F F F F F F F EJEMLO: DADA LA FUNCION Sen encontrar: a las prmeras dervadas parcales. Sen Cos b Las segundas dervadas parcales: Sen Cos Cos Cos Sen TEOREMA DE LA DERIVADA MIXTAS O CRUZADAS. S sus dervadas parcales ; ; ; están dendas en toda una regón aberta que contenga a un punto a b son todas contnuas en a b entonces a b a b.

3 ACTIVIDAD.. El plano = nterseca el parabolode = + en una parábola. Encuentre la pendente de la tangente a la parábola en.. Encuentre la pendente a la curva de nterseccón de la superce + + = 9 con el plano = en el punto.. La temperatura en cualquer punto de una placa es T T = /. s la dstanca se mde en pes encuentre la rapde de cambo de la temperatura con respecto a la dstanca recorrda a lo largo de los ees en el punto.. Determnar ; ; ; ; ; para las sguentes uncones. A B Sen C Sen D E F Sen. Comprobar el teorema de las dervadas cruadas para las sguentes uncones: A B e Cos C D Cos Sen 6. S se dera que este una uncón que tene como prmeras dervadas parcales las uncones usted lo creería? 7. Las ecuacones derencales en dervadas parcales se usan para epresar lees íscas. or eemplo la ecuacón derencal parcal se conoce como ecuacón de Laplace en onor a erre Laplace Las solucones de esta ecuacón se llaman uncones armóncas desempeñan un papel undamental en las aplcacones relaconadas con conduccón de calor luo de ludos potencal eléctrco. Compruebe que las sguentes uncones satsacen la ecuacón de Laplace.

4 A e Cos B Ln C e Sen e e Sen D DIFERENCIALES. DEFINICION: Sea = una uncón de dos varables s son los ncrementos de de el ncremento de es: = + + Eemplo: S = encuentre el ncremento de para ncrementos de de. Sean son los ncrementos de de luego el ncremento de es: = + + = + + = = + + DEFINICION: S = son los ncrementos de de entonces las derencales de las varables e son : d = d = la derencal total de se dene como: d d d o d d d. Eemplo: s = + + encuentre la derencal total: La derencal total se dene como: d d d d d luego d d d d

5 ACTIVIDAD. Encuentre la derencal total de las sguentes uncones: e Sen Cos Sen w Sen w sen. Evaluar.. para calcular luego aplcar la derencal total para apromar. 9. Las dmensones de una caa rectangular están crecendo a los rtmos sguentes: la longtud pes/mn. La ancura pes/mn la altura a ½ pes/mn. Hallar las raones de cambo del volumen del área de la superce de esa caa cuando la longtud la ancura la altura son 6 pes.. El rado de un clndro crcular recto esta crecendo a raón de 6 cm/mn mentras que la altura decrece a raón de cm/ mn. Cual es la raón de cambo del volumen cuando el rado es cm la altura de 6.. La gravedad especca de un obeto esta dado por la ormula A s donde A es el A W numero de lbras de peso del obeto en el are W es el numero de lbras de peso del obeto en el agua. S el peso del obeto en el are es de lbras con un posble error del lbras el peso en el agua es lbras con un posble error del lbras. Encontrar el mámo error posble al calcular S a parr de las meddas. 6. Dos obetos vaan sguendo traectoras elíptcas dadas por las ecuacones parametrcas: Cost Sent ; Sent Cost a que rtmo vara la dstanca entre los dos obetos cuando t. DEFINICION: Una uncón dada por = es derencable en el punto s esten se puede epresar en la orma = donde ambos tenden a cero cuando tendan a. Eemplo: probar que la uncón = ++ es derencable en el punto

6 6 d d d d d d d 6 Llamado = = se tene: d DEFINICION: La lnealacón de una uncón en un punto donde es derencable es la uncón: L La apromacón L es la apromacón lneal estándar de en. Eemplo: encuentre la apromacón lneal de en el punto. La lnealacón de una uncón de dos varables se dene como: L que para el punto ndcado es: L ero: * * * Con lo cual la lnealacón nos queda: L L EL ERROR EN LA AROXIMACION LINEAL ESTANDAR:

7 7 S tene prmeras segundas dervadas parcales contnuas en todo un conunto aberto que contenga un rectángulo R con centro en s M es cualquer cota superor para los valores de ; ; sobre R entonces el error E en el que se ncurre al reemplaar sobre R por su lnealacón L ace la desgualdad: sats E M EJEMLO: La lnealacón de la uncón punto es L apromacón L en el encuentre una cota superor para el errar en la sobre el rectángulo R : ;. ara encontrar la cota buscamos las dervadas parcales: ; : ; Con lo que: ; ; la maor de ellas es por lo que podemos escoger M =. Con = sabemos que en toda R: E M E E E E

8 En tanto que el punto permaneca dentro de la rego R la apromacón L tendrá un error de no mas de. 8 REGLA DE LA CADENA: S w = es derencable derencables de t entonces w es una uncón derencable de t : son uncones dw dt d dt d dt d dt S w = = g r s = r s = m r s son uncones derencables de t entonces w tene dervadas parcales respecto a r s dadas por las ormulas: w r w s w w r s w w r s w w r s DERIVADAS DIRECCIONALES VECTORES GRADIENTE. Suponga que deseamos calcular la tasa de cambo de en el punto en la dreccón de un vector untaro arbtraro u a b superce. ara esto consderamos la con ecuacón = la gráca de sea =. Entonces el punto = está sobre vertcal que pasa por el punto dreccón del vector. El plano en la u nterseca a la superce en la curva. La pendente de la recta tangente a la curva en el punto es la tasa de cambo de Z en la dreccón de u.

9 9 S Q es otro punto sobre la curva s Q / son las proeccones sobre el plano de los vectores Q entonces el vector es paralelo al vector por consguente / Q para algún escalar / u a b. Así pues a; b la raón de cambo está dada por a b al tomar el límte cunado obtenemos la tasa de cambo nstantánea de con respecto a la dstanca en la dreccón de la cual se llama dervada drecconal de en la dreccón de. CONCETO: Sea : D R R una uncón escalar sean = D un vector untaro entonces la dervada drecconal de en = en la dreccón del vector está dada por : Eemplo: encuentre la dervada de = + en en la dreccón del vector untaro u La dervada drecconal se dene como:.

10 *. Lm Lm Lm b a Lm D u S es una uncón derencable en e entonces la dervada drecconal de en la dreccón del vector untaro u = Cos + Sen es: Sen Cos D u Eemplo: encuentre la dervada drecconal de en la dreccón del vector U = < >. Las dervadas parcales de la uncón son: El vector untara en la dreccón de U es: U U u u Con lo que la dervada drecconal es:

11 Sen Cos D u 8 6 ACTIVIDAD:. ENCONTRAR LA DERIVADA DIRECCIONAL EN EL UNTO INDICADO Y EN LA DIRECCION DEL VECTOR DADO. v ; ; v ; ; k v ; ; k v ; ;. ENCONTRAR LA DERIVADA DIRECCIONAL EN EL UNTO Y EN LA DIRECCION DE Q. ; ; Q ; ; Q Cos ; ; Q Ln ; ; Q e DEFINICION: El vector gradente gradente de en un punto es el vector dendo como: obtendo al evaluar las dervadas parcales de en el punto.

12 ROIEDADES DEL GRADIENTE. Sea una uncón derencable en el punto.. S es una uncón derencable de e la dervada drecconal de en la dreccón del vector untaro u es : D u u. S entonces la dervada drecconal de en la dreccón de cualquer vector untaro es gual a cero.. La dreccón de mámo crecmento de vene dada por el valor mámo de D u es.. La dreccón de mínmo crecmento de vene dada por el valor mínmo de D u es. DEFINICION DE LANO TANGENTE Y RECTA NORMAL: Sea F derencable en el punto = de la superce S dada por F = con.. El plano que pasa por es normal a se conoce como el plano tangente a la superce S en.. La recta que pasa por tene la dreccón de se conoce como la recta Normal a la superce S en. ECUACION DEL LANO TANGENTE: Sea F derencable en el punto una ecuacón del plano tangente a la superce S dada por F = en es: ECUACION DE LA RECTA NORMAL: Sea F derencable en el punto las ecuacones smétrcas de La recta normal a la superce S dada por F = en son: Como la recta tene la dreccón del vector gradente

13 k se tene las dervadas parcales evaluadas en el punto corresponden a los números drectores de la recta. Con lo que las ecuacones buscadas son: