Los números reales. Calcula mentalmente el volumen de un cubo de arista 2 m y escribe el valor exacto de la arista de un cubo de volumen 2 m 3

Transcripción

1 Los números reales. Números racionales e irracionales Piensa y calcula Calcula mentalmente el volumen de un cubo de arista m y escribe el valor exacto de la arista de un cubo de volumen m V = = 8 m a = m Aplica la teoría. Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales: / π,6 Racional. Irracional. Irracional. Irracional.. Escribe cinco números racionales. 9,,,, 8 6. Representa gráficamente, de forma aproximada: 9 e. Escribe cinco números irracionales.,,,π,e. Escribe tres números racionales comprendidos entre / y /,, 8. Representa gráficamente, de forma exacta:,,6,9,. Calcula: : ( ) ( ) 6 SOLUCIONARIO

2 9/6 /6 /8 9/8 8. Halla de forma exacta la diagonal de un cuadrado de lado cm y escribe qué tipo de número es. cm Es un número irracional. 9. Un rectángulo mide de largo x y de alto ; por un lado le cortamos un cuadrado de lado, y se obtiene un rectángulo semejante. Cuánto mide x? Qué número conocido es x? x es racional o irracional? x x x + = x =,x = x La solución negativa x = no tiene sentido. + La solución es x = Es el número áureo de oro. Es irracional.. La recta real Piensa y calcula Representa en la recta real, de forma aproximada, los números y =,6 / Aplica la teoría. Representa en la recta real los siguientes pares de números y calcula la distancia que hay entre ellos. y, y, d(, ) = ( ) =, d(,;,) =, (,) = 6,. Escribe en forma de desigualdad y representa gráficamente los siguientes intervalos, y clasifícalos: [, ) (, ) (, +@) {x ; Ì x < } Intervalo semiabierto o semicerrado. {x ; < x < } Intervalo abierto. {x ;x > } Semirrecta, intervalo abierto. {x ;x Ì Semirrecta, intervalo semiabierto o semicerrado. TEMA. LOS NÚMEROS REALES

3 . Escribe los intervalos que se representan en los siguientes dibujos: ) [, ]. Representa gráficamente los siguientes entornos: E(, ) E*(, ) E*(, ) E(, ). Escribe los entornos que se representan en los siguientes dibujos: E(, ) E*(, ) E(, ) E*(, ). Sucesiones de números reales Piensa y calcula Escribe tres términos más en las siguientes sucesiones:, 6,,,,,, 8,,,,,,,,,,, 6,,, 8,, 6,,,, 8, 6,, 6,,,,,,,,,,,,, 8,,, Aplica la teoría. Añade tres términos en cada una de las sucesiones siguientes:,,,,,,,,,, 9, 6,,,,,, 9,,,,, 9,,,,,,, 8, 6,,,, 9, 6,, 6, 9, 6,,,,, 9,,,, 6. Escribe los cuatro primeros términos de las siguientes sucesiones: a n = n a n = n + a n = ( ) n (n + ) a n = ( ) n,, 8, 6,, 9,,,,,,, 8 6 SOLUCIONARIO

4 . Halla el término general de las siguientes sucesiones:,, 6, 8,,,, 9, 6,, a n = n a n = n 8. Representa los primeros términos de las siguientes sucesiones e indica el valor al que tienden: a n = a n = n n n + a n = a n = ( ) n n n Y lím n + = n +@ n Y X X Y lím = n +@ n Y X No existe el lím ( ) n n n +@ Los valores de la sucesión oscilan de negativo a positivo en cada término haciéndose cada vez más grandes en valor absoluto. X lím n = n +@. Radicales y operaciones Piensa y calcula Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos: 8 = x x = = 8 = x x = x = x = x = ± x TEMA. LOS NÚMEROS REALES

5 Aplica la teoría 9. Calcula mentalmente todas las raíces reales de los siguientes radicales: 6 ± No tiene solución real.. Opera los siguientes radicales: 8 6 : 6 : 6 6 /. Escribe en forma de radical las siguientes potencias: / / / /. Escribe en forma de potencia los siguientes radicales: 6 / /6 / /. Las expresiones que están como potencia pásalas a radical y las que están como radical pásalas a potencia: 6 ( ) ( ) ( 6 ) ( ) 6. Expresa con un solo radical las siguientes expresiones: 8 6. Extrae mentalmente todos los factores que se pueda en los siguientes radicales: 8 6. Racionaliza las siguientes expresiones: + ( ) +. Suma los siguientes radicales: Halla la diagonal de un ortoedro cuyas aristas miden m, m y m + + = =, m SOLUCIONARIO

6 . Logaritmos Piensa y calcula Halla el valor de x en los siguientes casos: = x x = x = = x e) x = f) x = x = 8 x = x = x = e) x = f) x = 6 Aplica la teoría 9. Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos: 6 = x x = x = 8 6 = x e) x = f) x = x = 6 x = x = x = e) x = f) x =. Calcula mentalmente los siguientes logaritmos: log log log / log. Calcula mentalmente la parte entera de los siguientes logaritmos: log log 6 log 98, log 68,. Utilizando la calculadora,halla los siguientes logaritmos: log,6 log,6 L,68 L,6. Sabiendo que log =, y aplicando las propiedades de los logaritmos, halla los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora: log log log 8 log log = log = log =,6 log = log / = log =,699 log 8 = log = log =,9 log = log =,699 =,9. Utilizando la calculadora y las propiedades de los logaritmos, halla: log, log, 6 log 8, log,98 6,6,696,89,66. Utilizando la calculadora y la fórmula del cambio de base, halla los siguientes logaritmos y redondea los resultados a cuatro decimales: log, log 8, log, log,86,86,6,6,68,96,,99 TEMA. LOS NÚMEROS REALES

7 Ejercicios y problemas. Números racionales e irracionales 6. Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales: e Irracional. Racional. Irracional. Racional.. Escribe tres números racionales comprendidos entre y 9,, 8. Representa gráficamente de forma exacta: 6. Calcula: : ( + ) ( ) / / 9/ 8/. Halla de forma exacta la arista de un cubo de volumen cm y escribe qué tipo de número es. cm es un número irracional.. La recta real. Representa en la recta real los siguientes pares de números y calcula la distancia que hay entre ellos. y, y, d(, ) = ( ) =, d(,;,) =, (,) =,9. Escribe en forma de desigualdad y representa gráficamente los siguientes intervalos, y clasifícalos: (, ] [, ] [, ) 6, 9. Representa gráficamente de forma aproximada: π,6,,68, {x ; < x Ì } Intervalo semiabierto o semicerrado. {x ; Ì x Ì } Intervalo cerrado. {x ;x } Semirrecta, intervalo semiabierto o semicerrado. {x ;x < } Semirrecta, intervalo abierto. 6 SOLUCIONARIO

8 . Escribe los intervalos que se representan en los siguientes dibujos y clasifícalos: (, semirrecta, intervalo abierto. (, ) intervalo abierto. ] semirrecta, intervalo semiabierto o semicerrado. [, ) intervalo semiabierto o semicerrado.. Representa gráficamente los siguientes entornos: E*(, ) E(, ) E(, ) E*(, ) 6. Escribe los entornos que se representan en los siguientes dibujos: E(, ) E*(, ) E*(, ) E(, ). Sucesiones de números reales. Añade tres términos en cada una de las sucesiones siguientes:,,,,,, 9,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 6 8,, 9,,,,, 9,,,,,,, 9,,,,,, 6,,, 8. Escribe los cuatro primeros términos de las siguientes sucesiones: a n = + n a n = n + a n = ( ) n n(n + ) n a n = n +,;,;,;,;,,, 9,, 6,,,,,,, 9. Halla el término general de las siguientes sucesiones:,,,, 9,,,,, 8 a n = n a n = n. Representa los primeros términos de las siguientes sucesiones e indica el valor al que tienden: a n = + a n = + n n n n + a n = a n = + ( ) n n n n lím ( + ) = n +@ Y X TEMA. LOS NÚMEROS REALES

9 Ejercicios y problemas Y X. Extrae mentalmente todos los factores que se pueda en los siguientes radicales: lím ( + n n ) n +@ Y. Suma los siguientes radicales: 6 + n + lím = n +@ n n Y lím ( + ( ) n ) = n +@ X X 6. Multiplica los siguientes radicales: Divide los siguientes radicales: 6 6 : : /. Radicales y operaciones. Calcula mentalmente todas las raíces reales de los siguientes radicales: Transforma los radicales siguientes. Los que están como potencia pásalos a radical y los que están como radical pásalos a potencia: ( ) ( ) ( ) ( ) ± No tiene solución real.. Escribe en forma de radical las siguientes potencias: / / / /. Escribe en forma de potencia los siguientes radicales: / / / / 9. Expresa en forma de un solo radical las siguientes expresiones: Racionaliza las siguientes expresiones: SOLUCIONARIO

10 . Logaritmos 6. Halla mentalmente el valor de x en los siguientes casos: = x x = x = 8 = x e) x = f) x = x = x = x = x = e) x = ± f) x = 6 6. Calcula mentalmente los siguientes logaritmos: log log log log, 9 6. Calcula mentalmente la parte entera de los siguientes logaritmos: log log,6 log 8, log 8, 6. Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos y redondea los resultados a cuatro decimales: log 86, log,8 L 6, L,,9,8 6,699,99 6. Utilizando la calculadora y las propiedades de los logaritmos, halla los siguientes logaritmos y redondea los resultados a cuatro decimales: log, log,6 log,98 log, 9,,696,68, 66. Utilizando la calculadora y la fórmula del cambio de base, halla los siguientes logaritmos y redondea los resultados a cuatro decimales: log,6 log,98 log, log,6,869,8,,8 Para ampliar 6. Qué números enteros tienen inverso entero? El y el ; cada uno es inverso de sí mismo. 68. Halla el opuesto y el inverso de:. Escribe en forma de intervalo las siguientes desigualdades: Ì x Ì x > < x Ì x < [, ] (, (, ] El opuesto es / y el inverso es / El opuesto es y el inverso es / 69. Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales: π + e 6 Irracional. Racional. Irracional. Racional.. Escribe en forma de entorno las siguientes desigualdades: x < x <, x + < x + <, E(, ) E(;,) E(, ) E( ;,). Representa gráficamente los conjuntos dados por las siguientes expresiones: x = x < x Ì x > TEMA. LOS NÚMEROS REALES 9

11 Ejercicios y problemas. Suma los siguientes radicales: a 8a 8a + a a 6x 8 + x 8x 6a a (x + x 8) x. Racionaliza las siguientes expresiones: a b a a a a b a + b a b b a a + ab a + a a b + b a a b a b. Calcula, aplicando la fórmula de cambio de base, los siguientes logaritmos y redondea el resultado a cuatro decimales: log /,8 log /,69 log /,6 log,,9,988,,69,6 Con calculadora 6. Halla con la calculadora el valor de los siguientes números redondeando a cifras: + π e φ =,9,88,68,8. Halla el valor de los siguientes resultados y redondea el resultado a cinco decimales:,,999999,88, Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos; redondea los resultados a cuatro decimales: log π log e L π L,9,,,6 9. Utilizando la calculadora, halla: π π e e π e e π 6,6,,9, Problemas 8. Halla de forma exacta la longitud de una circunferencia de diámetro m. Qué clase de número es? L = π m Es un número irracional. A = B = / m C = F = /6 m D = E = G = /8 m 8. La siguiente figura se conoce con el nombre de tangram chino. Si el lado del cuadrado mide m, halla el área de cada una de las figuras que lo componen. B F A E C D G 8. Escribe el menor intervalo abierto,cuyos extremos sean números enteros, que contenga al número π (, ) 8. La longitud de una finca rectangular es m y el perímetro es inferior a m. Qué valores puede tomar el ancho de la finca? 8 SOLUCIONARIO

12 x + Ì < x Ì 8. Calcula las siguientes potencias redondeando los resultados a cinco decimales. A qué número real muy conocido se aproximan los valores que se van obteniendo?,,,, e), f),,9,8,69,8 e),8 f),88 Se aproximan hacia el número e 8. Halla la fórmula del área de un triángulo equilátero cuyo lado mide a cm a Área = cm 86. Halla la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide x m d = x m 8. Demuestra que el producto de dos números irracionales no es siempre irracional, resolviendo el siguiente contraejemplo: halla un número irracional que al multiplicarlo por el número irracional sea racional. ( )( + ) = = log log log log log = log = log =, log = log = log =,98 log = log = log =,6 log log = =,9 9. Una célula se reproduce por bipartición cada hora. Cuántos días tardará en sobrepasar el billón? x = x log = x = = 9,86 log Tardará casi días. 9. Un coche deportivo cuesta y se devalúa cada año un %. Cuántos años tardará en valer menos de?,8 x =,8 x = log + x log,8 = x log,8 = log x log = =,9 log,8 Tardará casi años. 88. Escribe el menor intervalo abierto, cuyos extremos sean números enteros, que contenga a log Para profundizar (, ) 89. De dos números se sabe que log x + log y =. Qué relación hay entre x e y? log xy = log xy = y = x Es decir, son inversos. 9. Sabiendo que log =,699 y aplicando las propiedades de los logaritmos, halla los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora: 9. Sabiendo que los triángulos ABC y ADE son semejantes, calcula el valor de x. Qué número conocido es x? Es racional o irracional? D B x E A x C TEMA. LOS NÚMEROS REALES 8

13 Ejercicios y problemas x + = x =,x = x La solución negativa x = no sirve. + La solución es x = Es el número áureo o de oro. Es irracional. A = a 99. Halla la fórmula del área del siguiente octaedro regular, cuya arista mide a cm a 9. Los números racionales son densos. Veamos dos formas de demostrarlo: Halla la media aritmética entre / y /, comprueba que es racional y que está en el intervalo (/, /) Halla el número que se obtiene al sumar entre sí los numeradores y los denominadores de / y /, comprueba que es racional y que está en el intervalo (/,/) / =, / =, / =, 6/8 = / =, / =,8 / =,8 A = a. Halla la fórmula del área del siguiente icosaedro regular, cuya arista mide a cm a 9. Escribe el menor intervalo cerrado, cuyos extremos sean números enteros, que contenga al número e [, ] 96. Escribe el menor intervalo abierto, cuyos extremos sean números enteros,que contenga al número áureo,o de oro: (, ) φ = + 9. La masa de la Tierra es,98 kg, y la del Sol,,98 kg. Cuántas veces es mayor la masa del Sol que la de la Tierra?,98 : (,98 ) =,68 veces A = a. Halla el volumen de un tetraedro cuya arista mide a cm a V =. Halla el volumen de un octaedro cuya arista mide a cm a V =. Un papel A mide m, y cuando se corta a la mitad da origen a un A que tiene la particularidad de que es semejante al anterior. 98. Halla la fórmula del área del siguiente tetraedro regular, cuya arista mide a cm a x y Calcula de forma exacta la longitud y la anchura de un papel de formato A x y 8 SOLUCIONARIO

14 Un A es la mitad de un A, un A es la mitad de un A,y un A es la mitad de un A.Calcula de forma aproximada hasta los milímetros las dimensiones de un A (el A es el sustituto del folio, por la semejanza entre todos los A ; esta semejanza permite hacer fotocopias reduciendo o ampliando y manteniendo las proporciones del texto y/o dibujo y los márgenes). log = log = log + log =, log 9 = log = log + log =,9 log / log = =,86 log ( ) log + log log = = =,86 x. Sabiendo que log =,6 y aplicando las propiedades de los logaritmos, halla los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora: x y x = =y y x/ Además: xy = y = /x x = x = x x =, y = / y x/ y log, log log log log, =,6 log =,6 log =,866,6 log = =, 9 mm mm. Sabiendo que log =, y aplicando las propiedades de los logaritmos, halla los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora: log log 9 log / log TEMA. LOS NÚMEROS REALES 8

15 Linux/Windows Paso a paso 6. Calcula: + 6 Resuelto en el libro del alumnado.. Halla la expresión decimal con dígitos del siguiente número y clasifícalo como periódico o irracional: Resuelto en el libro del alumnado. 8. Calcula los primeros términos de la siguiente sucesión: a n = n Resuelto en el libro del alumnado. 9. Calcula: ( 8 lím n + n n Resuelto en el libro del alumnado. ). Calcula: Resuelto en el libro del alumnado.. Racionaliza: Resuelto en el libro del alumnado.. Calcula: log Resuelto en el libro del alumnado.. En una proporción continua los extremos son x y x, y los medios,. Halla el valor positivo de x. Qué clase de número es? Resuelto en el libro del alumnado.. Internet. Abre: elige Matemáticas, curso y tema. Practica. Calcula: : 8 ( 6 ) Halla las expresiones decimales, con dígitos, de los siguientes números y clasifícalos como periódicos o irracionales: π,8 Periódico Racional,99688 No periódico Irracional,888 Periódico Racional,9699 No periódico Irracional 8 SOLUCIONARIO

16 Windows Derive. Calcula los primeros términos de las siguientes sucesiones: a n = n a n = n + a n = ( ) n (n + ) a n = ( ) n,, 8, 6,, 6, 8, 6,,,, 9,,,,, 9,,,,,, 6,, 8, 9,, /, /, /8, /6, /, /6, /8, /6, /, /. Calcula: L 8, log 6,8 log, log 89,,698,69 8,9,6 8. Calcula los límites siguientes: lím lím n n + n n + lím n + lím n + n + n n + n n + 9. Calcula: Racionaliza: + Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris o DERIVE:. Halla la arista de un cubo de dm de volumen. Arista:, dm. Mediante ensayo-acierto halla el término general de las siguientes sucesiones y luego calcula los primeros términos para comprobarlo.,,,,,,,,,, 9, 6,,,,,, 9, a n = n,,,, 9,,,,, 9 a n = n,,,, 8, 6,, 6, 8, 6 a n = n,, 9, 6,, 6, 9, 6, 8, a n = ( ) n + (n ),,,, 9,,,,, 9. Un yate cuesta, y se devalúa cada año un 8 %. Cuántos años tardará en valer menos de?,,8 x = x = 9,888 años. TEMA. LOS NÚMEROS REALES 8