CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO

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1 CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO INTRODUCCIÓN Sin duda, la parte más apasionante de la matemática, la constituye el cálculo, podemos mencionar sin lugar a equivocarnos que es la parte que más aplicaciones tiene en la vida real, constituye parte de la formación integral del ser humano, se aplica en el desarrollo de toda profesión técnica, en el diario vivir de una persona y en todos los campos de trabajo. Por ello, constituye un verdadero privilegio ingresar al estudio de esta parte maravillosa de la ciencia. 1.1 CONJUNTOS DE NÚMEROS El conjunto de los números enteros está constituido por los números enteros positivos, negativos y el cero Z = {...-, -1, 0 1,... }, el conjunto de los naturales, está formado por los enteros positivos N = {1,, 3,...}, los racionales son aquellos que pueden epresarse como el cociente de dos números enteros Q = { /3, -1/5, 4/97,..}, y los irracionales I = {, 7, π, e,...} lo constituyen los que no pueden ser epresados de la última forma, es decir, como el cociente de dos enteros. Los números reales R, constituyen un conjunto que tiene por subconjuntos a todos los anteriores, y que es a su vez, subconjunto del conjunto de los números complejos C que incluye el número imaginario i que es igual a la raíz cuadrada de menos uno. i = 1 Los números reales pueden ser representados mediante la recta real, cada punto de la recta real corresponde a un sólo número real, eistiendo una correspondencia uno a uno. El cálculo se desarrolla en este conjunto a 3 b ,8 1/ π 4,4 La recta real está ordenada, de modo que es posible establecer comparaciones como; -3 es menor que 0, 4 es mayor que -1, etc. En general se puede decir que; a es menor que b, ( a < b ) o bien que: b es 1

2 mayor que a ( b > a ). Si se considera un valor, comprendido entre a y b se epresa que: a < < b Lo cual permite definir el intervalo abierto (a,b). Si el intervalo comprende además los etremos, se tiene el intervalo cerrado [a,b] a b Eisten también intervalos semiabiertos (a,b] o bien [a,b), y aquellos denominados intervalos infinitos (-,b] o bien, [a, ), también (-,). Nótese que ± no puede aparecer como etremo de un intervalo cerrado, siempre delimita el etremo de un intervalo abierto. Estas comparaciones entre números reales permiten definir y desarrollar las desigualdades, en las cuales rigen las siguientes propiedades: 1.- Si a < b y b < c entonces a < c.- Si a < b y c es un número cualquiera, entonces a+c < b+c y a-c < b-c 3.- Si a < b y c < d, entonces a+c < b+d 4.- Si a < b, entonces a c < b c, si c > 0 mientras que a c > b c, si c < 0 (es decir c negativo) Ejemplo 1 Resolver la siguiente desigualdad 4-3 > > > 4 > o bien; < < ; (, ) ; La respuesta es mostrada de tres formas; como inecuación, intervalo y gráficamente.

3 1. VALOR ABSOLUTO Si es un número real cualquiera, el valor absoluto de, que se denota por, queda determinado por:, si > 0 = -, si < 0 Esto significa que: a a Además, a a Por tanto a a a a a 0 también a Ejemplo Resolver 3 b si y sólo si b a b Obviamente, parte de la solución de este ejercicio es 3, pero puede observarse que -3 también resuelve la ecuación, por tanto puede escribirse; -3 3 ; ( -,-3 ] o [ 3, ) Ejemplo 3-5 < 3 - < 5-3 < 3 < 7-1 < < 7/3 (-1, 7/3) Nótese que, al resolver el anterior ejercicio se ha resuelto la desigualdad 3 - < 5 7/3 3

4 Ejemplo 4 /3 + /4 > > 6 (1) 7 >7 > 7/7 ( 7/7, ) / Ejemplo 5 Demostrar que: a + b a + b ( Desigualdad Triangular ) Sumemos las desigualdades - a a a - b b b Entonces - a - b a + b a + b -( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) Considerando ( a + b ) como una sola cantidad con valor absoluto, se tiene: a + b a + b lqqd. Ejemplo 6 Resolver ² - -8 > 0 ( - 4 ) ( + ) > 0 Esta desigualdad se verifica si - 4 > 0 y + > 0 > 4 y > La intersección de estas dos soluciones es: > 4 a) 4

5 o bien - 4 < 0 y + < 0 < 4 y < La intersección de estas dos soluciones es < - b) La solución final vendrá dada por la unión de las soluciones a) y b) < - U > 4 ( -, - ) U ( 4, ) Las inecuaciones de segundo grado y superiores pueden resolverse encontrando las raíces de la misma, ordenándolas en la recta real y verificando la validez de la inecuación en un intervalo, los intervalos vecinos tendrán validez contraria y serán alternados. Para evitar cualquier confusión en la forma de solución se establece que, cuando la inecuación tenga dos puntos en la recta real se debe hacer el análisis correspondiente para determinar si se toma unión o intersección de soluciones, pues es importante que se aprenda como elegir estas opciones, para tres puntos o más aplique la solución abreviada. La inecuación anterior para el valor = 0 dará: FALSO Por tanto V F V 5

6 Ejemplo 7 Resolver 8 < 0 ( - 4 ) ( + ) < 0 Esta desigualdad se verifica si A) La intersección es el conjunto vacío También B) La solución final vendrá dada por la unión de las soluciones A) y B) < < 4 < < 4 ( -, 4 ) Ejemplo 8 Resolver Para la desigualdad de la izquierda se tiene: /3 ( -, -5 ] [ -11/3, ) La unión de estas dos soluciones será: 6

7 V -5 F -11/3 V ( -, -5 ] [ -11/3, ) A) Para la desigualdad de la derecha tenemos: /3 [ -5, ) ( -, -11/3 ] Considerando la unión de estas dos soluciones se tiene que; V -5 V -11/3 V ε ( -, ) = R B) Finalmente la intersección de las soluciones A) y B) nos da la solución final ( -, -5 ] [ -11/3, ) V -5 F -11/3 V Un saludable hábito constituye el de verificar la solución final, pues en ocasiones es fácil tomar inadecuadamente la intersección o unión de las soluciones, si los valores etremos se hallaron sin incurrir en errores, será suficiente verificar la inecuación para un sólo valor del intervalo, de este modo se podrá también definir los restantes intervalos alternando valores de falso y verdadero. Ejemplo 9 Resolver

8 < + + < > < 8-1 < > 8-1 > < 7 9 < > 7 9 > 10 > < 10/9 < > 10/9 (, ) o ( -,10 /9 ) ( -, ) o ( 10/9, ) ( -, ) La solución final vendrá dada por la intersección de estas dos soluciones: ( -, ) [( -,10 /9 ) (, )] V 10/9 F V ( -,10 /9 ) (, ) < 10 /9 > Ejemplo 10 Resolver 4 ( ) ( )( 4) ( 4) ( ) ( 4 8) ( 4) ( 4) ( 4) Esta inecuación se resuelve para los siguientes dos casos: a) Los factores del denominador son ambos positivos 8

9 b) Los factores del denominador son ambos negativos La solución final viene dada por la unión de las soluciones de a) y b) (,0) (4, ) Ejemplo 11 Resolver ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 1) 1 0 ( 1)( 1) ( 1)( 1) Esta inecuación puede resolverse aplicando la regla de los signos, que consiste en ubicar las raíces en la recta real, verificar la solución en el primer intervalo y alternar valores de verdad en los intervalos siguientes. 9

10 Para = se obtiene 1,83>0 que es verdadero, por tanto, en el intervalo (1,) la inecuación se cumple y se alternan los valores de verdad de los siguientes / 3 0 1/ ( ) ( ) F V F V F V Ejemplo 1 Resolver (+)(-1)(-3)(-4)>0 Con las mismas consideraciones del problema anterior que puede aplicarse a inecuaciones se tiene: Para = -3 ; 168 > 0 que es verdadero, por tanto la solución será: ( ) ( ) ( V F V F V 3 Ejemplo ( 3)( 3) ( 9)( ) a) Para la desigualdad de la izquierda 10

11 ; ( 9)( 1) 0 ; 9 9 y 1 o bien 9 y 1 1 La intersección < 7 11 ( < 1 > 9 ) V 7 11 ) ) ( /11 9/ La intersección de estas dos soluciones es: < 1 a) F V 10 b) Para la desigualdad de la derecha se tiene ; (9)( 1) 0 ; 11 11

12 9 9 y 1 o bien 9 y 1 1 La intersección de soluciones. > 7 11 (1 < < 9 ) F La intersección es: ( 7 11 < < 9 La solución final será la unión de las soluciones a) y b): ( V /11 9/ ) b) F V ) F ( /11 V < < < 9 El valor de = 3 no corresponde a la solución porque hace indeterminado uno de los términos de la inecuación. También se podía resolver ubicando los valores críticos: 7/11 ; 1 ; 9/ ; para = 0 ) 9/ F 3 0 que es verdadero 9 3 1

13 Por tanto, se comprueba la solución hallada anteriormente NOTA Es importante que el estudiante resuelva ejercicios por su propia cuenta, ya que constituye la única forma de consolidar sus conocimientos, se deben resolver los problemas 1 al 10 de la práctica No 1 página GRÁFICAS DE ECUACIONES Gráfica de una ecuación a dos variables, y es la colección de todos los puntos en el plano que son solución de la ecuación. Para dibujar dicha gráfica se deben tomar en cuenta las siguientes consideraciones INTERSECCIONES CON LOS EJES 1 Para hallar la intersección con el eje se hace y=0 y se resuelve la ecuación en hallando un punto (a,0), mientras que la intersección con el eje y se halla haciendo =0 y resolviendo para y, definiendo un punto de la forma (0,b). Estos puntos son fáciles de hallar y se debe tratar de ubicarlos en primera instancia SIMETRÍA La gráfica de una ecuación es simétrica respecto del: a) Eje y, si al sustituir por - se obtiene una ecuación equivalente. b) Eje, si al sustituir y por -y se obtiene una ecuación equivalente. c) Al origen, si al sustituir por - e y por -y se obtiene una ecuación equivalente. En los siguientes problemas dibujar las gráficas de cada una de las siguientes ecuaciones, determinando simetría e intersecciones con los ejes Ejemplo 14 y = 1 - ² La ecuación corresponde a una parábola que abre hacia abajo. y - y = 1 - ² No es simétrica al eje 0 1 y = 1 - (-)² Es simétrica al eje y ±1 0 - y = 1 - (-)² No es simétrica al origen 1 LARSON HOSTETLER, Cálculo y Geometría Analítica. Mc Graw Hill,

14 y1 Ejemplo 15 y = y = 3 + No es simétrica al eje y y = (-) 3 + No es simétrica al eje y 0 - y = (-) 3 + No es simétrica al origen 3-0 y = 3 + Ejemplo 16 ² + 4y² = 4 La ecuación corresponde a una elipse con centro en el origen (-)² + 4y² = 4 Es simétrica al eje y y ² + 4(-y)² = 4 Es simétrica al eje 0 ±1 (-)² + 4(-y)² = 4 Es simétrica al origen ± 0 14

15 ² + 4y² = 4 Ejemplo 17 y = 3-3 y = (² -3) - y = 3-3 No es simétrica al eje y y =(- ) 3-3(-) No es simétrica al eje y y =(- ) 3-3(-) Es simétrica al origen ± FUNCIONES Una función es una relación entre dos variables tal que a cada valor de la variable independiente le corresponde un solo valor de la variable dependiente. La colección de todos los valores que toma la variable independiente se 15

16 llama dominio ( dominio de definición) de la función, y la colección de todos los valores que toma la variable dependiente se llama recorrido (rango) de la función. Si a cada valor en el recorrido le corresponde un sólo valor en el dominio, se dice que la función es uno a uno. La tabla siguiente permite identificar claramente las funciones: Ecuación inicial y=f() Es función? =f(y) Es función? Es 1-1? 3y Si Si Si y 1 y 3 y y Si y No No 3y 3 y 1 3 No 3y 3 Si No 4y 4 y 1 No 4 4 4y No No 3 y 0 3 y Si 3 y Si Si La condición de una función también puede determinarse gráficamente, para ello se dibuja una gráfica de todas las ecuaciones planteadas en la tabla, para determinar si y=f() se dibuja una recta vertical que corte a las gráficas, si eiste un solo punto de corte se trata de una función. Si se traza una recta vertical que corte a las gráficas se puede determinar si =f(y) constatando que la recta corte a cada una de las gráficas en un solo punto. 16

17 y 3y 3 y 0.5 4y 4 4y 4 3y3 3 y Puede observarse que la hipérbola 4y 4 y la parábola 3y 3 son cortadas en dos puntos por la recta por tanto no son funciones de la forma y=f() Las otras gráficas corresponden a funciones ya que la recta vertical =0.5 corta las gráfica en un solo punto. Para determinar cuáles de las ecuaciones corresponden a funciones de la forma =f(y) se ha dibujado la recta horizontal y=-0.5 que corta a la hipérbola 4y 4 y a la parábola y en dos puntos, por tanto dejan de ser funciones, mientras que las otras gráficas si lo son. Ejemplo Si f() = 3² Determinar si la función es uno a uno y hallar f(); f(+5), f(z-) Puesto que 3² es una ecuación de segundo grado con dos raíces reales, eistirán dos valores de para un solo y, por tanto la función no es uno a uno

18 f() = 3 ()² - 8 () + = = - f(+5) = 3 ( + 5)² - 8(5) + = 3² = 3² f(z-) = 3 (z - )² - 8 (z - ) + = 3z² - 1z + 1-8z = = 3z² - 0z + 30 Ejemplo 19 Grafique la función parte entera de (escalera) f() = Esta función asigna, para todo número real, f() el mayor entero que sea igual o menor que, Ejemplo f(-1/3) = -1, f(1,7) = 1, f(5) = 5, etc. Su gráfica es: 1.6 FUNCIÓN COMPUESTA La función f º g = f (g()) se llama función compuesta de f con g, en ellas se supone que el recorrido de g está en el dominio de f. Ejemplo 0 Si f() = 3-4, g() = Hallar f º g y g º f f º g = f( g()) = f ( 3 + 4) = 3( 3 + 4) - 4 = = g º f = g( f()) = g (3-4) = (3-4) = ² Claramente se ve que f º g g º f 18

19 1.7 FUNCIÓN INVERSA f() y g() son funciones inversas una de otra si f( g()) = para cada en el dominio de g g( f()) = para cada en el dominio de f La función inversa se denota por f -1, que se lee inversa de f Ténganse en cuenta que para dos funciones inversas f y g, el recorrido de g ha de ser igual al dominio de f y viceversa. Ejemplo 1 Hallar la inversa de f() = - 3 dibujar f y f -1 Sea f() = y = - 3 f -1 () = = y + 3 o bien f -1 () = g() = + 3 f( g()) = f( + 3) = = g( f()) = f( - 3) = = Operación que sugiere la siguiente interpretación geométrica La gráfica de f contiene el punto ( a, b ) si y solo si la gráfica de f -1 contiene el punto ( b, a ) Las funciones f() y g() son inversas una de la otra. 19

20 Ejemplo Hallar la función inversa de primer cuadrante. 1 Claramente la función inversa será: f ( ) f ( ) definida en el Sus gráficas son: Nótese que; las funciones directa y su inversa tienen gráficas simétricas al origen. 1.8 FUNCIONES HIPERBÓLICAS Son funciones que se basan en las funciones eponenciales e y e - y se definen como sigue: e e e e sinh ; cosh sinh e e cosh e e tanh ; coth cosh e e sinh e e 1 1 csch ; sech sinh e e cosh e e 0

21 e f( ) e sinh e e g ( ) e cosh e e f( ) e g ( ) 1

22 1 csch sinh e e 1 sech cosh e e

23 sinh e e tanh cosh e e cosh e e coth sinh e e 3

24 Ejemplo 3 Graficar las siguientes ecuaciones: La circunferencia de centro en el origen y radio cuatro; y 4, la hipérbola de centro en el origen y ecuación 4 y 6 4 y, la elipse de centro en el origen, la elipse cuyo centro está desplazado sobre el eje 4 y 7 6 Observe que la aparición en la elipse del término 7 ocasiona un desplazamiento de la elipse sobre el eje, además de la modificación de su diámetro, un término de la forma Ey, afecta de manera similar produciendo un desplazamiento sobre el eje y. El efecto de estos términos es similar para las otras ecuaciones. NOTA Concluir la práctica No 1 ejercicios 11 al 0 página 94 4