Matemáticas Financieras. Rentas - Valoración- Variables

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1 Matemáticas Financieras Lección 8 Rentas - Valoración- Variables Manuel León Navarro Colegio Universitario Cardenal Cisneros M. León Matemáticas Empresariales I 1 / 39

2 Rentas Variables - Caso General En este tipo de rentas los términos son distintos entre sí y no tienen porque seguir ningún tipo de ley conocida, es decir: C 1 C 2 C s C n Rentas pospagables El valor actual es la suma de todos los capitales pero llevados al instante 0: V 0 = C 1 (1 + i) 1 + C 2 (1 + i) C n (1 + i) n = n C s (1 + i) s El valor final es la suma de todos los capitales pero llevados al instante n: V n = C 1 (1 + i) n 1 + C 2 (1 + i) n C n = s=1 n C s (1 + i) n s s=1 M. León Matemáticas Empresariales I 2 / 39

3 Rentas Variables - Caso General - Ejemplo Suponga una renta que promete pagar 1000 euros al finalizar el primer año, 500 euros al finalizar el segundo y 1200 al finalizar el tercero. Cuanto vale hoy esa renta si utiliza como tipo de valoración el 5 % compuesto? El valor actual de la renta en este caso toma la forma: V 0 = 1000 (1 + 0,05) (1 + 0,05) (1 + 0,05) 3 = = , , ,864 = = 952, , ,61 = 2442,50 Y por lo tanto la renta vale hoy euros. M. León Matemáticas Empresariales I 3 / 39

4 Rentas Variables - Caso General - Ejercicio Valore una renta que promete pagar 500 euros al finalizar el primer año, 1000 euros al finalizar el segundo y tercer periodo y 1200 al finalizar el cuarto. (Se utiliza como tipo de valoración el 4 % compuesto) M. León Matemáticas Empresariales I 4 / 39

5 Rentas Variables - Caso General - Prepagables Capital del inicio se lleva al final a través de (1 + i) y por lo tanto al final del primer periodo se paga (1 + i) C 1, al final del segundo (1 + i) C 2 y así sucesivamente: V 0 = (1 + i) V 0 V n = (1 + i) V n M. León Matemáticas Empresariales I 5 / 39

6 Rentas Variables - Caso General - Prepagables - Ejercicio Valore una renta que promete pagar 500 euros al inicio del primer año, 1000 euros al inicio del segundo y del tercer periodo y 1200 al inicio del cuarto. (Se utiliza como tipo de valoración el 4 % compuesto) M. León Matemáticas Empresariales I 6 / 39

7 Rentas Variables - Caso General - diferidas En este caso se valora la renta en el instante d y por lo tanto se utiliza la expresión de la renta inmediata visto anteriormente (V d ) y se traslada el valor al instante 0 y por lo tanto se tiene que: V 0 = (1 + i) d V d V0 = (1 + i) d Vd M. León Matemáticas Empresariales I 7 / 39

8 Rentas Variables - Caso General - diferidas - Ejercicio Valore una renta que promete pagar 500 euros al finalizar el tercer año, 1000 euros al finalizar el cuarto y quinto periodo y 1200 al finalizar el sexto periodo. (Se utiliza como tipo de valoración el 4 % compuesto) M. León Matemáticas Empresariales I 8 / 39

9 Rentas Variables - Caso General - Rentas anticipadas Se valoran las rentas en el instante n y se trasladan al momento n + k multiplicando por (1 + i) k. Así, para las rentas pospagables: V n+k = (1 + i) k V n V n+k = (1 + i) k V n M. León Matemáticas Empresariales I 9 / 39

10 Rentas Variables - Caso General - Rentas fraccionadas En este caso cada cuantía se divide en m partes y por lo tanto en el primer periodo se abona en cada uno de los m subperiodos C 1 m, en el segundo periodo se abona en cada uno de los m subperiodos C 2 m y así sucesivamente hasta el periodo n en donde se abona en cada uno de los subperiodos Cn m. Estrategia: sustituir la renta de cada periodo por renta equivalente al final del periodo: C s m S m i m = C s m (1 + i m) m 1 i = C s i m j m y, de nuevo, la diferencia entre una renta fraccionada y otra que no lo está es el factor i j m : V (m) 0 = i j m V 0 V (m) n = i j m V n M. León Matemáticas Empresariales I 10 / 39

11 Rentas Variables - Caso General - Rentas fraccionadas - Ejercicio Valore una renta que promete pagar 500 euros de forma trimestral al final del periodo en el primer año, 1000 euros de forma trimestral al final del periodo en el segundo y tercer periodo y 1200 de forma trimestral al final del periodo en el sexto periodo. (Se utiliza como tipo de valoración el 4 % compuesto) M. León Matemáticas Empresariales I 11 / 39

12 Rentas Variables - Caso General (Cont) AVISO IMPORTANTE MAL EN LOS APUNTES y teniendo en cuenta la relación entre las rentas pospagables y prepagables en el caso de las rentas fraccionadas: V (m) 0 = (1 + i) 1 m V (m) 0 V n (m) = (1 + i) 1 (m) m V n M. León Matemáticas Empresariales I 12 / 39

13 Rentas Variables - Progresión Geométrica En este tipo de rentas, cada capital se obtiene multiplicando al anterior por una razón que se denota q. Así en el primer periodo el capital es C, en el segundo es C q, en el tercero C q 2 y en el n C q n 1 Dicho valor siempre es positivo y si q < 1 los capitales decrecen y si q > 1 crecen. M. León Matemáticas Empresariales I 13 / 39

14 Rentas Variables - Progresión Geométrica - Temporal - Pospagable El valor actual (A(C, q) n i ) se obtiene sumando los capitales valorados en el instante inicial A(C, q) n i = C (1 + i) 1 + C q (1 + i) C q n 1 (1 + i) n y operando A(C, q) n i = C (1 + i) 1 [ 1 + q (1 + i) q n 1 (1 + i) n 1] dentro del corchete hay una suma geométrica de razón q (1 + i) 1 = y aplicando las propiedades de las sumas geométricas se obtiene que [ A(C, q) n i = C (1 + i) 1 1 ( q ] 1+i )n 1 q (1 + i) 1 q 1+i M. León Matemáticas Empresariales I 14 / 39

15 Rentas Variables - Progresión Geométrica - Temporal - Pospagable (cont) El denominador es 1 q 1+i = 1+i q 1+i = (1 + i) 1 (1 + i q) y por lo tanto se simplifican los (1 + i) 1 y el valor presente toma el valor ( ) n 1 q 1+i A(C, q) n i = C 1 + i q Para obtener el valor final se capitaliza el valor final hasta el momento n S(C, q) n i = (1 + i) n A(C, q) n i = C (1 + i)n q n 1 + i q M. León Matemáticas Empresariales I 15 / 39

16 Rentas Variables - Progresión Geométrica - Temporal - Pospagable - Ejemplo Obtener el valor actual y final de una renta pospagable cuyo primer término es euros y que crece de forma acumulativa a razón de un 5 % anual. La duración es de 15 años y el tanto de valoración es el 10 % anual. En primer lugar, si la renta crece cada año al 5 % de forma acumulativa (se van acumulando los intereses para generar nuevos intereses), entonces se trata de una progresión geométrica de razón 1,05. Como se ha visto anteriormente, si las cuantía crece en progresión geométrica de razón q, el valor actual toma la forma: M. León Matemáticas Empresariales I 16 / 39

17 Rentas Variables - Progresión Geométrica - Temporal - Pospagable - Ejemplo (cont.) A(C, q) n i = C con C = 10000, i = 0,10 y q = 1,05 A(10000, 1,05) 15 0,1 = ( ) n 1 q 1+i 1 + i q ( ) ,05 1+0, ,1 0,05 = ,22 M. León Matemáticas Empresariales I 17 / 39

18 Rentas Variables - Progresión Geométrica - Temporal - Pospagable - Ejemplo (cont.) Por otro lado, el valor final se puede obtener capitalizando el valor actual 15 periodos: y sustituyendo en este caso S(C, q) n i = (1 + i) n A(C, q) n i S(10000, 1,05) 15 0,1 = (1 + 0,1) 15 A(10000, 1,05) 15 0,1 = = (1 + 0,1) ,22 = M. León Matemáticas Empresariales I 18 / 39

19 Rentas Variables - Progresión Geométrica - Temporal - Pospagable - Ejemplo (cont.) O también se puede calcular directamente a partir de su expresión: y en este caso: S(C, q) n i = C (1 + i)n q n 1 + i q S(10000, 1,05) 15 0,1 = 1000 (1 + 0,1)15 (1,05) ,1 1,05 = M. León Matemáticas Empresariales I 19 / 39

20 Rentas Variables - Progresión Geométrica - Temporal - Pospagable - Ejercicio Obtener el valor actual y final de una renta pospagable cuyo primer término es 500 euros y que crece de forma acumulativa a razón de un 7 % anual. La duración es de 8 años y el tanto de valoración es el 10 % anual. M. León Matemáticas Empresariales I 20 / 39

21 Rentas Variables - Progresión Geométrica - Temporal - Pospagable Caso particular q = 1 + i En el caso particular en el que q = 1 + i las expresiones para el valor actual y el valor final nos llevan a una indeterminación del tipo 0 0 En ese caso, si se observa el valor actual de la renta A(C, q) n i = C (1 + i) 1 [ 1 + q (1 + i) q n 1 (1 + i) n 1] con q = (1 + i) se traduce en A(C, 1+i) n i = C (1+i) 1 [ 1 + (1 + i) (1 + i) (1 + i) n 1 (1 + i) n 1] y operando A(C, 1 + i) n i = C (1 + i) 1 [ ] M. León Matemáticas Empresariales I 21 / 39

22 Rentas Variables - Progresión Geométrica - Temporal - Pospagable y por lo tanto A(C, 1 + i) n i = C (1 + i) 1 n Y con dicho valor, capitalizado, se obtiene el valor final S(C, 1+i) n i = (1+i) n A(C, 1+i) n i = (1+i) n C (1+i) 1 n = C (1+i) n 1 n M. León Matemáticas Empresariales I 22 / 39

23 Rentas Variables - Progresión Geométrica - Temporal - Pospagable - Ejemplo Obtener el valor actual y final de una renta pospagable cuyo primer término es euros y que crece de forma acumulativa a razón de un 10 % anual. La duración es de 15 años y el tanto de valoración es el 10 % anual. En este caso se trata de una renta con un capital que crece de forma geométrica con q = 1 + i y por lo tanto, la expresión para el valor actual toma la forma: A(C, 1 + i) n i = C (1 + i) 1 n = (1 + i) n C (1 + i) 1 n y sustituyendo en los valores del ejemplo: A(1000, 1,1) 15 0,1 = 1000 (1 + 0,1) 1 15 = 13636,3636 M. León Matemáticas Empresariales I 23 / 39

24 Rentas Variables - Progresión Geométrica - Temporal - Pospagable - Ejemplo (cont.) El valor final se puede obtener capitalizando el valor actual 15 periodos: S(C, 1 + i) n i = C (1 + i) n 1 n = (1 + i) n C (1 + i) 1 n y sustituyendo en este caso S(10000, 1,1) 15 0,1 = 1000 (1+0,1) = (1+0,1) 15 A(1000, 1,1) 15 0,1 = = 4, ,3636 = 56962,4749 M. León Matemáticas Empresariales I 24 / 39

25 Rentas Variables - Progresión Geométrica - Temporal - Pospagable - Ejercicio Obtener el valor actual y final de una renta pospagable cuyo primer término es 500 euros y que crece de forma acumulativa a razón de un 7 % anual. La duración es de 8 años y el tanto de valoración es el 7 % anual. M. León Matemáticas Empresariales I 25 / 39

26 Rentas Variables - Progresión Geométrica - Perpetua - Pospagable Se obtiene llevando al ĺımite el valor n en la renta temporal ( ) n 1 q A(C, q) i = ĺım A(C, q) n i = ĺım C 1+i n n 1 + i q ( ) n El único término que depende de n es q 1+i y por lo tanto dependerá de dicho valor: 1 Si q < 1 + i, entonces ( ) n q 1+i < 1 y por lo tanto ĺım q n 1+i = 0 2 Si q = 1 + i, entonces el valor de la renta perpetua es A(C, q) i = ĺım n A(C, q) n i = ĺım n C (1 + i) 1 n = 3 Si q > 1 + i, entonces ĺım n ( q 1+i ) n = M. León Matemáticas Empresariales I 26 / 39

27 Rentas Variables - Progresión Geométrica - Perpetua - Pospagable Por lo tanto, el valor actual de la renta permanente tendrá un valor finito solamente si q < 1 + i, no teniendo sentido financiero en los demás casos. En el caso de que q < 1 + i, como ĺım n ( q 1+i ) n = 0 el valor actual de renta sigue la expresión siguiente: A(C, q) i = C 1 + i q M. León Matemáticas Empresariales I 27 / 39

28 Rentas Variables - Progresión Geométrica - Perpetua - Pospagable - Ejemplo Obtener el valor actual de una renta pospagable cuyo primer término es euros y que crece de forma acumulativa a razón de un 5 % anual de forma indefinida si el tanto de valoración es el 10 % anual. En este caso, estamos de nuevo ante una renta que crece de forma geométrica pero, de forma indefinida. El valor actual de dicha renta tiene sentido económico ya que q < 1 + i con q = 1,05 y 1 + i = 1,1. Por lo tanto el valor actual toma la forma: y en este caso A(C, q) i = C 1 + i q A(1000, 1,05) 10 % = ,1 1,05 = ,05 = M. León Matemáticas Empresariales I 28 / 39

29 Rentas Variables - Progresión Geométrica - Perpetua - Pospagable - Ejercicio Obtener el valor actual y final de una renta pospagable cuyo primer término es 500 euros y que crece de forma acumulativa a razón de un 7 % anual de forma indefinida si el tanto de valoración es el 10 % anual. M. León Matemáticas Empresariales I 29 / 39

30 Rentas Variables - Progresión Geométrica - Temporal - Prepagable En este caso se van abonando los capitales C, C q, C q 2, al inicio de los periodos 0, 1, 2 y así sucesivamente. Se pasan todos los capitales al final del periodo = renta pospagable con capitales (1 + i) C, (1 + i) C q, (1 + i) C q 2 y por lo tanto el valor actual será: Ä(C, q) n i = (1+i) C (1+i) 1 +(1+i) C q (1+i) 2 n + +(1+i) C q n 1 (1+i) y simplificando Ä(C, q) n i = C + C q (1 + i) C q n 1 (1 + i) (n 1) Sacando factor común C se obtiene un suma geométrica de razón por lo tanto la suma toma el valor: q 1+i y M. León Matemáticas Empresariales I 30 / 39

31 Rentas Variables - Progresión Geométrica - Temporal - Prepagable Ä(C, q) n i = C y simplificando matemáticamente Ä(C, q) n i = C (1 + i) ( ) n 1 q 1+i 1 q 1+i ( ) n 1 q 1+i 1 + i q También se puede observar como, de nuevo el factor que permite pasar de una renta pospagable a una renta prepagable es (1 + i): Ä(C, q) n i = (1 + i) A(C, q) n i M. León Matemáticas Empresariales I 31 / 39

32 Rentas Variables - Progresión Geométrica - Temporal - Prepagable Por último, el valor final se obtiene capitalizando hasta el periodo n el valor actual ( ) n 1 q S(C, q) n i = (1 + i) n 1+i Ä(C, q) n i = C (1 + i) 1 + i q o también, a partir del valor final de la renta pospagable S(C, q) n i = (1 + i) S(C, q) n i M. León Matemáticas Empresariales I 32 / 39

33 Rentas Variables - Progresión Geométrica - Temporal - Prepagable - Ejemplo Obtener el valor actual y final de una renta prepagable cuyo primer término es euros y que crece de forma acumulativa a razón de un 5 % anual. La duración es de 15 años y el tanto de valoración es el 10 % anual. En el ejemplo anterior ya se calcularon pospagables: A(1000, 1,05) % = ,22 y S(1000, 1,05) % = De pospagable a prepagable hay que multiplicar por (1 + i): Ä(1000, 1,05) % = (1 + i) A(1000, 1,05) % = = (1,1) ,22 = ,64 S(1000, 1,05) % = (1 + i) S(1000, 1,05) % = = (1,1) = ,4 M. León Matemáticas Empresariales I 33 / 39

34 Rentas Variables - Progresión Geométrica - Temporal - Prepagable Caso particular q = 1 + i En el caso particular en el que q = 1 + i las expresiones para el valor actual y el valor final nos vuelven a llevar a una indeterminación del tipo 0 0. Nuevamente, se observa que la cantidad q 1+i es unitaria si q = 1 + i y por lo tanto el valor actual de la renta queda: Ä(C, q) n i = C n M. León Matemáticas Empresariales I 34 / 39

35 Rentas Variables - Progresión Geométrica - Temporal - Prepagable - Ejercicio Obtener el valor actual y final de una renta prepagable cuyo primer término es 500 euros y que crece de forma acumulativa a razón de un 7 % anual. La duración es de 8 años y el tanto de valoración es el 10 % anual. M. León Matemáticas Empresariales I 35 / 39

36 Rentas Variables - Progresión Geométrica - Perpetua - Prepagable Para obtener la renta perpetua se lleva al infinito el valor de n (dicho valor solo es finito si q < 1 + i): C (1 + i) Ä(C, q) i = ĺım Ä(C, q) n i = n 1 + i q ya que si q < 1 + i se cumple que ĺım n ( q 1+i ) n = 0 M. León Matemáticas Empresariales I 36 / 39

37 Rentas Variables - Progresión Geométrica - Perpetua - Prepagable - Ejemplo Obtener el valor actual de una renta prepagable cuyo primer término es euros y que crece de forma acumulativa a razón de un 5 % anual de forma indefinida si el tanto de valoración es el 10 % anual. En este caso, estamos de nuevo ante una renta que crece de forma geométrica pero, de forma indefinida. El valor actual de dicha renta tiene sentido económico ya que q < 1 + i con q = 1,05 y 1 + i = 1,1. El valor actual de dicha renta prepagable toma la forma Por lo tanto el valor actual toma la forma: y en este caso A(C, q) i = C (1 + i) 1 + i q Ä(1000, 1,05) 10 % = 1000 (1 + 0,1) 1 + 0,1 1,05 = ,05 = M. León Matemáticas Empresariales I 37 / 39

38 Rentas Variables - Progresión Geométrica - Perpetua - Prepagable - Ejemplo (cont.) Que, lógicamente, coincide multiplicando por (1 + i) a la renta perpetua pospagable Ä(1000, 1,05) 10 % = (1 + i) A(1000, 1,05) 10 % susituyendo se obtiene que Ä(1000, 1,05) 10 % = (1,1) = M. León Matemáticas Empresariales I 38 / 39

39 Rentas Variables - Progresión Geométrica - Perpetua - Prepagable - Ejercicio Obtener el valor actual y final de una renta prepagable cuyo primer término es 500 euros y que crece de forma acumulativa a razón de un 7 % anual de forma indefinida si el tanto de valoración es el 10 % anual. M. León Matemáticas Empresariales I 39 / 39