PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2008 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 008 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 3, Ejercicio, Opción A Reserva 3, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 si Sea la función definida de la forma f( ) 0 si a) Halle el dominio de f. b) Estudie la derivabilidad de f en. c) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 0. SOCIALES II JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Dominio. b) Estudiamos primero la continuidad en. lim 4 lim f ( ) lim f ( ) lim ( 0 ) No es continua en, por lo tanto, no es derivable en c) La recta tangente en 0 es y f (0) f '(0) ( 0) f (0) 0 f '( ) f '(0) ( ) Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y 0 ( 0) y

3 a b si Sea la función f definida mediante f( ) L( ) si a) Determine a y b sabiendo que f es continua y tiene un mínimo en. b) Para a y b, estudie la derivabilidad de f en y en. SOCIALES II JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B a) Por ser continua se cumple: lim a b a b a b 0 a b lim L() 0 mínimo en f '( ) 0 a 0 Resolviendo, tenemos que: a ; b 3 b) La función que tenemos es: f( ) si L( ) si Estudiamos primero la continuidad en. 0 No es continua, por lo tanto, tampoco es derivable. lim L() 0 lim Como la función que tenemos en es polinómica, la función es continua y derivable en.

4 Sea la función f definida mediante f( ) a) Determine los puntos de corte con los ejes. b) Estudie su curvatura. c) Determine sus asíntotas. d) Represente la función. SOCIALES II. 008 RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Corte con el eje X y 0 0 (, 0) Corte con el eje Y 0 y (0, ) b) Calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero. () ( ) 3 f '( ) 0 No tiene solución () () Luego la función es decreciente en su dominio.,, Signo f ' Función D D c) Verticales: La recta = a es una asíntota vertical si lim f ( ) lim f ( ) a Horizontales: La recta y = b es una asíntota horizontal si lim f ( ) b lim y Oblicuas: No tiene.

5 a) La gráfica de la derivada de una función f es la recta que pasa por los puntos (0, 3) y (4,0). Estudie la monotonía de la función f b) Calcule la derivada de las siguientes funciones: 3 g( ) (3 ) L( ) ; h( ) SOCIALES II. 008 RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B e a) Hacemos la representación gráfica de la función derivada. Vemos que f '( ) es positiva en el intervalo (4, ), luego en ese intervalo f ( ) será creciente. Vemos que f '( ) es negativa en el intervalo (,4), luego en ese intervalo f ( ) será decreciente. b) g '( ) 3 (3 ) 3ln( ) (3 ) 3 h'( ) 5 4 e (7 4) 35 e (7 4) 5

6 El beneficio de una empresa, en miles de euros, viene dado por la función B( ) ; 0 donde representa el gasto en publicidad, en miles de euros. a) Calcule el gasto a partir del cual la empresa no obtiene beneficios. b) Calcule el valor de que produce máimo beneficio. Cuánto es ese beneficio? c) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento del beneficio de la empresa. d) Represente gráficamente la función B. SOCIALES II. 008 RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Resolvemos la ecuación Luego, a partir de no obtiene beneficios. b 0 b) El vértice es 0 a 6 Luego, el máimo beneficio se obtiene para c) Calculamos la derivada de la función: B '( ) 6 0 ; B '( ) d) (0,0) (0, ) Signo B'( ) + Función B( ) C D

7 Calcule las derivadas de las siguientes funciones: 3 7 a) f ( ) ( ) e b) g( ) 3 Ln( ) 5 6 c) h( ) ( ) ( 6 ) ( ) d) i ( ) SOCIALES II. 008 RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B a) b) c) d) f e e '( ) 3 7 ( ) g '( ) 3 Ln3 Ln( ) 3 h '( ) ( 6 ) 6 ( 6 ) (5 6)( ) ( ) ( ) ( ) i'( ) ( )

8 3 Sea la función f ( ) 6. a) Determine sus puntos de corte con los ejes. b) Calcule sus etremos relativos y su punto de infleión. c) Represente gráficamente la función. SOCIALES II. 008 RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN A a) 3 Corte con el eje X ; 6 (0,0) ; (6,0) Corte con el eje Y y 0 (0,0) b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero. f '( ) ; 4 (,0) (0, 4) (4, ) Signo y' + + Función C D C Máimo Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero. f ''( ) 6 0 0,0 mínimo 4, 3 El punto de infleión está en, 6 c) Hacemos la representación gráfica.

9 si 4 Sea la función f( ) a b si a) Calcule a y b, sabiendo que f () 7 y que f es continua en. b) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. SOCIALES II RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN B a) 5 a b lim( a b) a b lim 4 5 Resolviendo el sistema sale: a ; b 3 f () 7 a b 7 b) La recta tangente en es y f ( ) f '( ) ( ) f ( ) 5 f '( ) f '( ) Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y 5 ( ) y 3

10 e si 0 Sea la función f( ). si 0 a) Es f continua en 0? Es continua en su dominio?. b) Es f derivable en 0? Es derivable en su dominio?. c) Estudie la monotonía de f. SOCIALES II RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A a) lim e 0 lim ( ) lim ( ) f f Es continua en 0 lim La función es continua en su dominio, ya que e y son continuas. b) Calculamos la función derivada: f e si 0 '( ) si 0 f '(0 ) f '(0 ) f '(0 ) Es derivable en 0 f '(0 ) La función es derivable en su dominio, ya que e y son derivables. c) e si 0 f '( ) e 0 No ; 0 No si 0 (,0) (0, ) Signo y' + + Función C C

11 a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f( ) en el punto de abscisa. 3 b) Sea la función g( ) a b. Calcule a y b sabiendo que su gráfica presenta un punto de infleión en el punto (,5). SOCIALES II RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B a) La recta tangente en es y f () f '() ( ) f () f '( ) f '() Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y ( ) y 4 b) - Pasa por (,5) f () 5 8 4a b 5 4a b 3 - Punto de infleión en f ''() 0 6 a 0 a Resolviendo el sistema, tenemos que: a 6 ; b

12 a) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función abscisa. f( ) 3 en el punto de b b) Halle los valores de a y b para que la función g( ) a tenga un etremo relativo en el punto (, ). SOCIALES II. 008 SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A a) La recta tangente en es y f ( ) f '( ) ( ) f ( ) 3 3 f '( ) f '( ) 3 Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y 3 3 ( ) y 3 6 b) b - Etremo relativo en g '() 0 a 0 a b 0 - Pasa por (,) g() a b Resolviendo el sistema, tenemos que: a ; b

13 3 Dada la función f ( ) 4 3, determine: a) La monotonía y la curvatura de f. b) Los puntos donde la función alcanza sus etremos relativos. c) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. SOCIALES II. 008 SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B a y b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero. f '( ) ; (,0) (0, ) (, ) Signo f ' + + Función C D C Máimo Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero. f ''( ) ,4 mínimo,0 (,) (, ) Signo f '' + Función Cn C P.I., c) La recta tangente en es y f ( ) f '( ) ( ) f ( ) 0 f f '( ) 3 6 '( ) 9 Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y 0 9 ( ) y 9 9

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