Predicción basada en vecinos

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1 Predicción basada en vecinos Series Temporales Máster en Computación Universitat Politècnica de Catalunya Dra. Alicia Troncoso Lora 1

2 Contenido Introducción Esquema de predicción directa Predicción basada en vecinos: KW-NN Aplicaciones: Los precios de la energía La demanda de energía Referencias 2

3 Introducción Técnicas de vecinos cercanos son usuales en problemas de clasificación con atributos nominales Variantes de vecinos cercanos debido a sus buenos resultados Técnicas exitosas en series temporales con patrones periódicos como series temporales económicas, financieras, demanda 3

4 Introducción Es uno de los métodos de clasificación más usados por ser muy intuitivo. Consiste en asignar al punto a predecir la clase mayoritaria entre los k ejemplos más cercanos según una determinada métrica. No alcanza un modelo sino que el conjunto de datos de entrenamiento es el modelo. Por eso se le llama lazy algorithm o tambien instance based learning algorithm. Lazy algorithm significa que realmente no existe fase de entrenamiento para crear un modelo sino que hasta que no llega un dato a clasificar no se pone en marcha el algoritmo de aprendizaje.

5 Introducción Predecir los n siguientes valores de una serie temporal Y t Y t+1,,y t+n n es el horizonte de predicción Encontrar función f: R m ----->R n tal que m es el número de valores pasados que se usan en la predicción ( t+1,, t+n ) = f(y t-1,,y t-m ) + error 5

6 Esquema de predicción iterada Y t-(m-1),,y t-2,y t-1,y t t+1 Y t-(m-2),,y t-1,y t, t+1 t+2 Y t-(m-3),,y t, t+1, t+2 t+3 Desventaja: Con este esquema los errores se van acumulando sobre todo al final del horizonte de predicción 6

7 Esquema de predicción directa Y t-(m-1),,y t-2,y t-1,y t t+1,, t+n Ventaja: Con este esquema los errores NO se van acumulando sobre todo al final del horizonte de predicción Desventaja: Con este esquema no se contemplan relaciones entre los valores en el instante de tiempo t, t+1,, t+n 7

8 Vecinos Más Cercanos NN: Nearest Neighbours Idea clave: almacenar todos los ejemplos de entrenamiento <x i,f(x i )> 1 vecino más cercano (1-NN): Dado un ejemplo no clasificado x q, localiza el ejemplo de entrenamiento más cercano x n, y estima f(x q ) como f(x n ) K-vecinos más cercanos (K-NN): Dado x q, si la función objetivo es discreta (clases) gana la mayoritaria entre sus k vecinos más cercanos Si la función es real se toma el valor medio de sus k vecinos f(x q )=Σ i=1k f(x i )/k 8

9 Vecinos Más Cercanos KW-NN (Vecinos Ponderados) Dar más peso a los vecinos más cercanos f^(x q ) = Σ i=1,k w i f(x i ) / Σ i=1,k w i donde w i es una función de la d(x q,x i ) y d(x q,x i ) es la distancia entre x q y x i (p.e. W(d) = 1/d) Una variante es el método de Shepard que en vez de usar k vecinos los usa todos 9

10 1-NN: separación entre clases Entre cada dos puntos de distinta clase, la frontera viene dada por la bisectriz del segmento que los une.

11 1-NN: diagrama de Voronoi

12 Vecinos Más Cercanos Diagrama de Voronoi 12

13 Vecinos Más Cercanos 3-NN 13

14 Vecinos Más Cercanos 7-NN 14

15 K-NN: Cómo escoger k? Lo habitual es usar validación cruzada para obtener el valor óptimo Gran influencia 15

16 K-NN: todos los atributos valen igual? Cómo evitar los atributos irrelevantes? Ponderando el peso de cada atributo en el cálculo de la distancia dist ( x, y) = ωi ( xi y i i 2 ) cómo calcular los pesos ω? 16

17 k-nn: cálculo de pesos Heurísticas de búsqueda: Algoritmos evolutivos Scatter Search Selección de atributos Ranking de atributos 17

18 Distancias: continuas Euclidea Manhattan Minkowsky Mahalanobis Camberra Chebichev Chi-cuadrado 18

19 KW-NN: Todos los vecinos valen lo mismo? Podemos ponderar cada vecino según un peso en función de la distancia. Así si {(x i,y i )} i=1..k son los k vecinos de x debemos definir Distintas posibilidades w i en función de d(x i,x) La estimación se realiza con votos ponderados 19

20 KW-NN: influencia de ponderar los vecinos Representación gráfica de la clase media de 10 vecinos con distintas funciones de peso. 20

21 KW-NN: influencia de ponderar los vecinos Representación gráfica de la clase media de 10 vecinos con distintas funciones de peso. 21

22 KW-NN: influencia de ponderar los vecinos Representación gráfica de la clase media de 10 vecinos con distintas funciones de peso. 22

23 Predicción basada en KW-NN Y t-(m-1),,y t-2,y t-1,y t t+1,, t+n Elección del parámetro m: Longitud de la ventana Cuántos datos pasados se necesitan para predecir n valores futuros? 23

24 Predicción basada en KW-NN Longitud de la ventana Método de los falsos vecinos FNN ( False Nearest Neighbours ) Falsos Vecinos Pasado Futuro Radio = l 2 /l 1 Si Radio>R max Falsos Vecinos l 1 m es tal que el número de falsos vecinos sea mínimo l 2 Vecinos Falsos (%) m óptimo Dimensión de inyección 24

25 Predicción basada en KW-NN Serie temporal: Precios de la energía eléctrica Vecinos Cercanos Falsos (%) Días anteriores Distancia Euclídea Distancia Manhattan Vecinos Cercanos Falsos (%) Días anteriores Distancia Euclídea Distancia Manhattan Comportamiento irregular: ruido 5 días 12 días 25

26 Predicción basada en KW-NN E = Conjunto de training Número de vecinos? min Error E 26

27 Predicción basada en KW-NN Cálculo del número óptimo de vecinos Número de vecinos Distancia Euclídea Error Relativo Medio (%) Error Absoluto Medio Error Cuadrático Medio Número de vecinos Distancia Manhattan Error Relativo Medio (%) Error Absoluto Medio Error Cuadrático Medio vecinos 5 vecinos 27

28 Predicción basada en KW-NN Pesos? Basados en distancias α j = d d ( x, v K ( x)) d ( x, v ( x)) ( x, v ( x )) d ( x, v1 ( x )) K j K-1 pesos 1 α... α K 1 α = 1 K = 0 28

29 Predicción basada en KW-NN Error mínimo?? fut = v(y fut ) v(y fut ) es tal que d(y fut, v(y fut )) es mínima v(y fut )? desconocido v(y pas ) Si d = distancia Euclídea Error cuadrático mínimo Si d = distancia Manhattan Error absoluto mínimo 29

30 Aplicaciones KW-NN TÉCNICA DE PREDICCIÓN PRECIOS DE LA ENERGÍA DEMANDA DE ENERGÍA RED NEURONAL ÁRBOL DE REGRESIÓN 30

31 Aplicación Precios de la energía eléctrica Características de la serie temporal Modelos obtenidos Directa: Distancia Euclídea modelo I Distancia Manhattan modelo II Iterada: Distancia Euclídea modelo III Distancia Manhattan modelo IV Resultados Comparación con una Red Neuronal Artificial (RNA) 31

32 Características de la serie 50% Coeficiente de Correlación Nº de horas anteriores Porcentaje de horas Porcentaje de horas 40% 30% 20% 10% 50% 40% 30% 20% 10% Precios año Precios año

33 Modelos: Predicción directa Modelo I: Longitud de la ventana = 12 número de vecinos = 4 DISTANCIA EUCLIDEA P 1,1 P 1,24 P 12,1 P 12,24 P 13,1 P 13,24 P 2,1 P 2,24 P 13,1 P 13,24 P 14,1 P 14, P d-12,1 P d-12,24 P d-1,1 P d-1,24 P d,1 P d,24? Modelo II: Longitud de la ventana = 5 número de vecinos = 5 DISTANCIA MANHATTAN P 1,1 P 1,24 P 5,1 P 5,24 P 6,1 P 6,24 P 2,1 P 2,24 P 6,1 P 6,24 P 7,1 P 7, P d-5,1 P d-5,24 P d-1,1 P d-1,24 P d,1 P d,24? 33

34 Modelos: Predicción iterada P 1,1 P 1,24 P 2,1 : Modelo III: Longitud de la ventana = 24 número de vecinos = 5 Modelo IV: Longitud de la ventana = 24 número de vecinos = 7 DISTANCIA EUCLIDEA DISTANCIA MANHATTAN P 1,2 P 2,1 P 2,2 Predicciones horarias de los precios.... P d-1,1 P d-1,24 P d,1? P d-1,2 Pˆd,1 P d,2?.... P d-1,24 P d,24? Pˆd,23 Errores se van acumulando en las últimas horas del horizonte de predicción 34

35 Resultados Los días laborables comprendidos entre marzo y agosto del año 2001 se han usado para determinar la longitud óptima de la ventana deslizante y el número óptimo de vecinos Los días laborables comprendidos entre septiembre y octubre del año 2001 se han usado para validar el algoritmo de predicción basado en KW-NN Las dos terceras partes de los datos han sido elegidas como conjunto de entrenamiento correspondiendo a 6 meses (marzo, abril, mayo, junio, julio y agosto) y una tercera parte como conjunto de test correspondiendo a 2 meses (septiembre y octubre). Septiembre Octubre Precio real medio Desviación Estándar

36 Resultados PREDICCIÓN DIRECTA Modelo I Modelo II Septiembre Octubre Septiembre Octubre Error Relativo Medio (%) Error Absoluto Medio (Cent/KWh) Máximo error diario (%) Máximo error horario (%) Mínimo error diario (%) Mínimo error horario (%)

37 Resultados PREDICCIÓN ITERADA Modelo III Modelo IV Septiembre Octubre Septiembre Octubre Error Relativo Medio (%) Error Absoluto Medio (Cent/KWh) Máximo error diario (%) Máximo error horario (%) Mínimo error diario (%) Mínimo error horario (%)

38 Resultados Modelo I Óptima Modelo II Óptima Error Relativo Medio (%) Error Absoluto Medio (Cent/KWh) Error Cuadrático Medio (Cent/KWh) % 4 % 38

39 Comparación con ANN Arquitectura de la red: Capa de entrada: 24 neuronas Capa intermedia: 24 neuronas Capa de salida: 24 precios de un día Función de activación: tangente hiperbólica Datos: Los días laborables comprendidos entre enero y febrero del año 2001 se han usado para ajustar la topología de la red Los días laborables comprendidos entre marzo y octubre del año 2001 se han usado para validar la red 39

40 Comparación con ANN PREDICCIÓN RED NEURONAL marzo-mayo junio-agosto septiembreoctubre Precio real (Cent/kWh) Desviación estándar Error absoluto medio (Cent/kWh) Máximo error horario (Cent/kWh) Error relativo medio (%) Vecinos (modelo I) Red neuronal Septiembre Octubre Septiembre Octubre Error Relativo Medio (%) Error Absoluto Medio (Cent/KWh) Máximo error diario (%) Máximo error horario (%) Mínimo error diario (%) Mínimo error horario (%) MEJORES PREDICCIONES CON EL METODO BASADO EN LOS VECINOS 40

41 Aplicación Demanda de la energía eléctrica Características de la serie temporal Modelos obtenidos Directa: Distancia Euclídea modelo I Distancia Manhattan modelo II Resultados Comparación con M5 41

42 Características de la serie Demanda (MW) Coeficiente de Correlación Media Media + s. d. Media - s. d Horas Número de horas anteriores 42 Número de horas Número de horas Demanda año Demanda año

43 Modelos: predicción directa : Modelo I: Longitud de la ventana = 15 número de vecinos = 4 DISTANCIA EUCLÍDEA D 1,1 D 1,24 D 15,1 D 15,24 D 16,1 D 16,24 D 2,1 D 2,24 D 16,1 D 16,24 D 17,1 D 17, D d-15,1 D d-15,24 D d-1,1 D d-1,24 D d,1 D d,24? Modelo II: Longitud de la ventana = 7 número de vecinos = 7 DISTANCIA MANHATTAN D 1,1 D 1,24 D 7,1 D 7,24 D 8,1 D 8,24 D 2,1 D 2,24 D 8,1 D 8,24 D 9,1 D 9, D d-7,1 D d-7,24 D d-1,1 D d-1,24 D d,1 D d,24? 43

44 Resultados Los días laborables comprendidos entre enero del año 2000 y mayo del año 2001 se han usado para determinar la longitud óptima de la ventana deslizante y el número óptimo de vecinos Los días laborables comprendidos entre junio y noviembre del año 2001 se han usado para validar el algoritmo de predicción basado en KW-NN Junio Julio Agosto Demanda real Desviación Estándar (3.6%) (2.6%) (3.9%) Septiembre Octubre Noviembre Demanda real Desviación Estándar (9.1%) (2.8%) (6.6%) 44

45 Resultados Modelo I Modelo II Verano Otoño Verano Otoño Error Relativo Medio (%) Error Absoluto Medio (Cent/KWh) Máximo error diario (%) Máximo error horario (%) Mínimo error diario (%) Mínimo error horario (%) MEJORES PREDICCIONES USANDO LA DISTANCIA MANHATTAN MODELO II Errores diarios (%) Error semanal (%) 16 de julio-20 de julio de junio-29 de junio

46 Resultados 6 5 Precios (t) P re c io s (t-1 ) Demanda (t) D e m a n d a ( t -1 ) 46

47 Comparación con M5 Librería WEKA ( Waikato Environment for Knowledge Analysis ) Con selección de atributos: Algoritmo de selección: CFS ( Correlation-based Feature Selection ) Variables seleccionadas: las dos horas anteriores la quinta hora anterior Árbol con 53 regresiones Sin selección de atributos: Árbol con 151 regresiones M5'con selección M5'sin selección Mínimo error diario (%) 7 7 Mínimo error diario (%) Error Relativo Medio (%) Vecinos (modelo II)

48 Referencias [1] Alicia Troncoso Lora. Técnicas Avanzadas de Predicción y Optimización Aplicadas a Sistemas de Potencia. Tésis, Universidad de Sevilla, 2005 ( [2] Alicia Troncoso Lora et al. Predicción basada en Vecindad, CEDI I Congreso Español de Informática. SICO I Simposio de Inteligencia Computacional, 2005 [3] Alicia Troncoso Lora et al. Advances in Optimization and Prediction Techniques: Real-World Applications. Artificial Intelligence Communications, IOS Press Vol 19, No. 3, pp , [4] Alicia Troncoso Lora et al. Electricity Market Price Forecasting Based on Weighted Nearest Neighbors Techniques. IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 22, No. 3, pp ,2007 [5] Alicia Troncoso Lora et al. Técnicas Basadas en Vecinos Cercanos para la Predicción de los Precios de la Energía en el Mercado Eléctrico. CEDI II Congreso Español de Informática. SICO II Simposio de Inteligencia Computacional,

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