Métodos específicos de generación de diversas distribuciones continuas

Transcripción

1 Tma 4 Métodos spcíficos d gnración d divrsas distribucions continuas 4.1. Distribución uniform Si X U(a, b), su función d distribución vin dada por: 0 x < a F (x) = a x < b x a b a 1 x b Aplicando l método d invrsión d la función d distribución s obtin l siguint squma: 1. Gnrar un númro alatorio u. Tomar x = a + u(b a). 51

2 5 Tma 4. Métodos spcíficos d gnración d divrsas distribucions continuas 4.. Distribución xponncial Si X Exp(λ), con λ > 0, ntoncs la función d distribución d X vin dada por: 0 x 0 F (x) = 1 λx x > 0 Aplicando l método d invrsión d la función d distribución, s obtin l siguint squma: 1. Gnrar un númro alatorio u. Tomar x = 1 ln(1 u) λ 4.3. Distribución Erlang Una variabl X sigu una distribución Erlang(n, λ) si X s la suma d n variabls alatorias indpndints idénticamnt distribuidas Exp(λ). Conscuntmnt, podmos aplicar l método d convolución para gnrar valors d sta distribución. 1. Gnrar n númros alatorios u 1, u,..., u n. Tomar x = 1 λ n i=1 ln(1 u i) (o bin, X = 1 λ ( n i=1 (1 u i))). Pusto qu la distribución Erlang s un caso particular d la distribución Gamma, también s pudn utilizar los métodos spcíficos d gnración d dicha distribución

3 4.4. Distribución Gamma Distribución Gamma por: La función d distribución d una variabl X γ(a, p) (a > 0, p > 0) vin dada dond la función gamma vin dada por x a p 0 Γ(p) F (x) = tp 1 at t > 0 0 t 0 Γ(z) = vrificando qu Γ(n) = (n 1)!, si n Z +. 0 t z 1 t dt, z > 0 El método d invrsión d la función d distribución no s ficint, pusto qu para cada númro alatorio u habría qu rsolvr numéricamnt n x > 0 la cuación u = x 0 a p Γ(p) tp 1 at dt En los siguints apartados vrmos squmas d gnración basados n propidads spcíficas d la distribución Gamma Aproximación d la Gamma por variabls Erlang Est método s basa n qu la función d distribución F X γ(a, p) s pud aproximar como d una variabl X F X (x) (1 r)f E1 (x) + rf E (x), dond E 1 Erlang ([p], a), E Erlang ([p] + 1, a) y r = p [p]. La antrior aproximación da lugar al siguint squma d gnración: 1. Gnrar un númro alatorios u

4 54 Tma 4. Métodos spcíficos d gnración d divrsas distribucions continuas. Si u > p [p], gnrar un valor y Erlang ([p], a). En caso contrario, gnrar un valor y Erlang ([p] + 1, a). 3. Tomar x = y Método d acptación y rchazo d Ahrns y Ditr para p < 1 El método d Ahrns y Ditr (1974) s una aplicación dl método d acptación y rchazo utilizando como función d dnsidad nvolvnt la siguint mixtura d funcions d dnsidad: g(x) = p + g 1(x) + p p + g (x), x > 0 dond g 1 (x) = px p 1 I (0,1) (x) y g (x) = x+1 I (1, ) (x). El squma d gnración sría l siguint: 1. Gnrar dos númros alatorios u, v. Si u >, ir al paso 4. p+ 3. Tomar y = ( p+ u) 1 p. Si v > y, ir al paso 1. En caso contrario, ir a al paso 5. ( p+ 4. Tomar y = ln ). (1 u) Si v > y p 1, ir al paso 1. En caso contrario, ir al p paso Tomar x = 1 a y. El squma antrior gnra ntr los pasos 1 y 4 un valor d una distribución γ(1, p). En l paso 5, l valor gnrado s transformado al d una distribución γ(a, p).

5 4.4. Distribución Gamma 55 Proposición 4.1. El método d Ahrns y Ditr gnra valors d una distribución γ(a, p) con 0 < p < 1. Dmostración. La función d dnsidad d una variabl X γ(1, p) vin dada por: 1 Γ(p) f(x) = xp 1 x x > 0 0 x 0 Considrmos la siguint función d dnsidad como la nvolvnt para aplicar l método d acptación y rchazo: g(x) = p + pxp 1 I (0,1) (x) + p p + x+1 I (1, ) (x). 1- Encontrar M > 1 tal qu f(x) Mg(x), para todo x > 0 Si 0 < x < 1, ntoncs f(x) Mg(x) 1 Γ(p) xp 1 x M p + pxp 1 x M p + pγ(p) Si x (0, 1) x ( 1, 1), lugo l valor más pquño qu vrifica la condición s Si x > 1, ntoncs M 1 = p + 1 pγ(p). f(x) Mg(x) 1 Γ(p) xp 1 x M p p + p x x p 1 M p + pγ(p) Si x (1, + ) x p 1 condición s (0, 1), lugo l valor más pquño qu vrifica la M = p + 1 pγ(p).

6 56 Tma 4. Métodos spcíficos d gnración d divrsas distribucions continuas Por tanto, M = M 1 = M. - Critrio d rchazo S rchaza l valor gnrado si v > f(y) Mg(y). Si y (0, 1), Si y > 1, v > v > f(y) 1 Mg(y) v > f(y) 1 Mg(y) v > Γ(p) yp 1 y p+ pγ(p) p+ Γ(p) yp 1 y p+ pγ(p) p+ pyp 1 v > y y+1 v > yp 1 3- Gnrar valors d Y 1 con función d dnsidad g 1 (y) La función d distribución d Y 1 vin dada por: 0 y 0 F Y1 (y) = y p 0 < y < 1 1 y 1 Lugo, por l método d la invrsión d la función d distribución, s pudn gnrar valors d Y 1 mdiant la transformación y = u 1 p. 4- Gnrar valors d Y con función d dnsidad g (y) La función d distribución d Y vin dada por: 0 y 1 F Y (y) = 1 y+1 y > 1 Por lo tanto, aplicando l método d invrsión d la función d distribución, s tin

7 4.4. Distribución Gamma 57 la siguint transformación: u = F Y (y) = 1 y+1 1 u = y+1 ln(1 u) = y + 1 y = ln(1 u) + 1 = (ln(1 u) ln()) ( ) 1 u y = ln 5.- Gnrar valors d Y Aplicando los rsultados obtnidos n los pasos 3 y 4, podmos aplicar l siguint squma: 1. Gnrar númros alatorios u 1, u.. Si u 1 < p+, tomar y = u 1 p. En caso contrario, tomar y = ln ( u ). El siguint rsultado nos prmit utilizar l squma antrior gnrando un único númro alatorio. Sa U U(0, 1). Entoncs, las variabls 1 U p X = 0 U > p son indpndints Y U(0, 1). Y = U p 1 U 1 p U p U > p Por lo tanto, podmos aplicar l siguint squma para gnrar valors d Y : 1. Gnrar un númro alatorio u.. Si u, tomar y = ( p+ p+ ( u) 1 p. En caso contrario, tomar y = ln p+ p ) 1 u. 6.- Transformación d γ(1, p) a γ(a, p) Los pasos 1 a 4 dl squma d gnración principal simulan valors d una variabl

8 58 Tma 4. Métodos spcíficos d gnración d divrsas distribucions continuas γ(1, p). Una propidad d la distribución Gamma s qu si X γ(1, p), ntoncs 1X γ(a, p). D st modo, n l paso 5 dl squma principal s transforman los a valors gnrados d una γ(1, p) n valors d una distribución γ(a, p) Método d acptación y rchazo d Fishman para p > 1 El método d Fishman s basa n l siguint rsultado: Torma 4.. Sa U una variabl uniform n l intrvalo (0, 1) y E p una variabl xponncial con mdia p. Considrmos, ( ) p 1 x g(x) = (p 1)( x 1) p. p Entoncs, (E p g(e p ) U) γ(1, p). El squma d gnración sría l siguint: 1. Gnrar dos númros alatorios u 1, u.. Tomar 1 = ln(1 u 1 ), = ln(1 u ). 1 y son ralizacions d variabls xponncials d mdia Si < (p 1)( 1 ln( 1 ) 1), volvr al paso Tomar x = p a Distribución Bta Sa X Bta(α, β), α > 0, β > 0, su función d dnsidad vin dada por: f(x) = Γ(α + β) Γ(α)Γ(β) xα 1 (1 x) β 1 I (0,1) (x)

9 4.5. Distribución Bta 59 y su función d distribución s xprsa como: F (x) = B x(α, β) B(α, β), dond B x (α, β) = x 0 tα 1 (1 t) β 1 dt, B(α, β) = 1 0 tα 1 (1 t) β 1 dt. El método d la invrsión d la función d distribución no s ficint para la distribución bta. Sin mbargo, la distribución bta vrifica dtrminadas propidads qu facilitan su gnración para cirtas combinacions d los valors α y β. i) Si α = 1 f(x) = β(x 1) β 1, qu s pud gnrar fácilmnt por invrsión ii) Si β = 1 f(x) = αx α 1, qu s pud gnrar fácilmnt por invrsión iii) Si X Bta(α, β) 1 X Bta(β, α) iv) Si Y 1 γ(a, α) Y γ(a, β) son indpndints, ntoncs Y 1 Y 1 +Y Bta(α, β). Como aplicación dircta d la propidad (iv), s tin l siguint squma d gnración: 1. Gnrar y 1 un valor d una distribución γ(a, α) y un valor d una distribución γ(a, β).. Tomar x = y 1 y 1 +y. El algoritmo antrior no s ficint para valors grands d α y β. En tal caso, s pud utilizar l siguint squma, basado n qu si U 1, U U(0, 1) indpndints y considramos Y 1 = U 1 α 1 Y = U 1 β, ntoncs ( ) Y1 Y 1 + Y 1 Bta(α, β). Y 1 + Y

10 60 Tma 4. Métodos spcíficos d gnración d divrsas distribucions continuas 1. Gnrar dos númros alatorios u 1,u.. Tomar y 1 = u 1 α 1, y = u 1 β 3. Si y 1 + y > 1, ir al paso 1 4. Tomar x = y 1 y 1 +y Distribución normal Pusto qu la función d distribución d una variabl alatoria normal no s pud xprsar algbraicamnt, l método d invrsión d la función d distribución no s aplicabl. La siguint propidad nos indica qu cualquir distribución normal s pud gnrar a partir d la distribución normal stándar. Sa X = µz + σ. Entoncs, X N (µ, σ) Z N (0, 1) Gnrar valors normals mdiant l Torma Cntral dl Límit Torma 4.3. Torma Cntral dl límit. San X 1,..., X n variabls alatorias indpndints idénticamnt distribuidas con mdia µ y dsviación típica σ. Entoncs, la distribución d n i=1 X i nµ σ n s aproximadamnt N (0, 1) cuando l tamaño mustral n s suficintmnt grand.

11 4.6. Distribución normal 61 Podmos obtnr un algoritmo d gnración basado n l Torma Cntral dl Límit. Para llo, l caso qu nos intrsa s cuando las variabls X i sigun distribucions uniforms n (0, 1). En tal caso, µ = E(X i ) = 1 y σ = V (X i ) = 1 1, lugo n i=1 U i n n 1 s aproximadamnt una normal stándar. 1. Gnrar n númros alatorios u 1,..., u n. Tomar x = n i=1 u i n n Algoritmo d Box-Müllr Proposición 4.4. San U 1, U variabls alatorias indpndints idénticamnt distribuidas U(0, 1). Entoncs, X = ( ln U 1 ) 1 cos(πu ) Y = ( ln U 1 ) 1 sin(πu ) son variabls alatorias indpndints idénticamnt distribuidas N (0, 1). El squma d gnración asociado a la proposición antrior sría l siguint: 1. Gnrar dos númros alatorios u 1, u.. Tomar x = ( ln u 1 ) 1 cos(πu ) y = ( ln u 1 ) 1 sin(πu ) El squma antrior utiliza dos númros alatorios n cada itración, pro, a su vz, gnra dos valors normals stándar Método polar d Marsaglia El método polar d Marsaglia s una modificación dl Algoritmo d Box-Müllr n l qu s utiliza una técnica d rchazo para vitar l cálculo d las funcions sno y

12 6 Tma 4. Métodos spcíficos d gnración d divrsas distribucions continuas cosno. Considrmos U 1, U variabls iid U(0, 1). Entoncs, V 1 = U 1 1 y V = U 1 sigun una distribución U(0, ). (V 1, V ) son las coordnadas cartsianas d un punto alatorio distribuido uniformmnt sobr l cuadrado d cntro l orign y ára 4. San (R, θ) sus coordnadas polars. Figura 4.1: Método polar d Marsaglia

13 4.6. Distribución normal 63 R = V 1 + V tan(θ) = V 1 V Proposición 4.5. Condicionado a qu V 1 + V 1 (l punto stá contnido n l círculo d cntro l orign y radio 1), s vrifica qu las variabls R y θ son indpndints, con R U(0, 1), θ U(0, π). Sgún las transformacions d Box-Müllr, podíamos gnrar valors normals stándar indpndints, tomando U 1, U distribucions uniforms indpndints n (0, 1) y hacindo X = ( ln(u 1 )) 1 cos(πu ) Y = ( ln(u 1 )) 1 sin(πu ) como R scribir U(0, 1) y θ U(0, π), podmos utilizar las coordnadas polars y X = ( ln(r ) ) 1 cos(θ) Y = ( ln(r ) ) 1 sin(θ) A continuación, pusto qu sin(θ) = V R = V (V 1 + V ) podmos finalmnt scribir cos(θ) = V 1 R = V 1 (V 1 + V ), X = ( ln(r ) ) 1 V 1 V 1 + V Y = ( ln(r ) ) 1 V V 1 + V ( ) 1 ln R = V 1 R ( ) 1 ln R = V R El método polar d Marsaglia pud rsumirs n l siguint squma: 1. Gnrar dos númros alatorios u 1, u. Tomar v 1 = u 1 1, v = u 1. Tomar S = V1 + V

14 64 Tma 4. Métodos spcíficos d gnración d divrsas distribucions continuas 3. Si S > 1, volvr al paso 1. ln(s) ln(s) 4. Tomar x = v 1 y = v S S Pusto qu la probabilidad d qu un punto n l cuadrado cntrado n l orign y ára 4 caiga dntro dl círculo cntrado n l orign y radio 1 s π, s sigu qu la 4 probabilidad d rchazo dl método polar s 1 π Distribución d Cauchy La función d dnsidad d una variabl alatoria con distribución C(α, β), α > 0, β > 0 s f(x) = y la función d distribución s β π [β + (x α) ], x R, F (x) = π arctan ( x α β ) Invrsión d la función d distribución Aplicando l método d invrsión d la función d distribución, s tin: u = ( ) ( x α π arctan u 1 ) ( ) x α π = arctan β β ( ) [ ( x α = tan π u 1 )] β [ ( x = α + β tan π u 1 )] β x = α tan(πu) lo qu nos daría l siguint squma d gnración:

15 4.7. Distribución d Cauchy Gnrar un númro alatorio u. Tomar x = α β tan(πu) Método d razón d uniforms S vrifica qu si Y C(0, 1) y X = α + βy, ntoncs X C(α, β). Est rsultado nos prmit gnrar valors d cualquir distribución d Cauchy a partir d valors C(0, 1). La gnración d valors d C(0, 1) s basa n l siguint rsultado. Proposición 4.6. San U 1, U U(0, 1) y considrmos V 1 = U 1 1, V = U 1 ( ) ( ) V U( 1, 1). Entoncs, las variabls X = 1 V V1 + V V 1 Y = V 1 V1 + V 1 son indpndints y sigun una distribución C(0, 1) El squma d gnración sría l siguint: 1. Gnrar dos númros alatorios u 1, u.. Hacr v 1 = u 1 1, v = u Si v 1 + v > 1, ir al paso Tomar x = v 1 v, y = v v 1. S obsrva qu los puntos d la forma (V 1, V ) con V 1 + V 1 son puntos dntro dl círculo unidad. Así qu otra forma d lr l rsultado antrior s qu si gnramos puntos (Z, W ) uniforms dntro dl círculo unidad, las variabls Z W y W Z son indpndints idénticamnt distribuidas C(0, 1). Utilizando st hcho, s tin l siguint algoritmo compltamnt quivalnt al antrior

16 66 Tma 4. Métodos spcíficos d gnración d divrsas distribucions continuas 1. Gnrar dos númros alatorios u 1, u.. Hacr θ = πu, z = u 1 sin(θ) y w = u 1 cos(θ). 3. Tomar x = z w y = w z Distribución Log-Normal Si X N (µ, σ ), ntoncs Y = X tin distribución LN (µ, σ ). Su función d dnsidad vin dada por: F Y (y) = 1 σy (ln(y) µ) π σ, y 0 El squma para gnrar valors d sta distribución sría l siguint: 1. Gnrar un valor z d una distribución N (0, 1).. Hacr x = µ + σz. 3. Tomar y = x 4.9. Distribución χ Método gnral d gnración d valors χ X sigu una distribución χ con n grados d librtad si y sólo si X s la suma d los cuadrados n variabls alatorias stándar indpndints. 1. Gnrar z 1,..., z n, n valors indpndints d una distribución normal stándar. Tomar x = n i=1 z i.

17 4.10. Distribución t d Studnt Método spcífico d gnración d valors χ n con n par Si n s par, ntoncs χ n Erlang ( 1, n ) γ ( 1, n ). Por lo tanto, un posibl método sría 1. Gnrar n númros alatorios u 1,..., u n.. Tomar x = n i=1 ln u i = ln ( n i=1 u i ) Método spcífico d gnración d valors χ n con n impar Si n s impar, ntoncs X χ n X = Y + Z, con Y Erlang ( 1, ) n 1 y Z N (0, 1). Por lo tanto, un posibl método sría 1. Gnrar un valor z d una distribución normal stándar y n u 1,..., u n.. Tomar x = z n i=1 ln u i = z ln ( n ) i=1 u i. númros alatorios Distribución t d Studnt Un rsultado clásico acrca d la distribución t d Studnt s qu si Z sigu una distribución normal stándar, Y sigu una distribución χ con n grados d librtad y

18 68 Tma 4. Métodos spcíficos d gnración d divrsas distribucions continuas Z Y son indpndints, ntoncs sigu una distribución t n. Z Y n La aplicación dircta d sta propidad proporciona un método para gnrar valors d sta distribución Distribución F d Sndcor San V y W dos distribucions χ d m y n grados d librtad rspctivamnt. Entoncs, sigu una distribución F(m, n). V/m W/n La propia dfinición d la distribución F proporciona un método para gnrar valors d la misma Distribución d Laplac La función d dnsidad d una variabl alatoria con distribución L(µ, θ), µ R, θ > 0 s Su función d distribución vin dada por: 1 F (x) = 1 1 f(x) = 1 x µ ( θ ), x R. θ ( x µ θ ) x < µ ( x µ θ ) x µ

19 4.1. Distribución d Laplac Invrsión d la función d distribución Es fácil obtnr qu µ + θ ln(u) µ 1 F 1 (u) = µ θ ln ((1 u)) µ > 1 El método sría 1. Gnrar un númro alatorio u. Si u < 1, hacr x = µ+θ ln(u). En caso contrario, tomar x = µ θ ln ((1 u)) Invrsión d la función d distribución La función d distribución s pud xprsar d modo quivalnt como: F (x) = 1 [ x µ ( 1 + sgn(x µ) (1 θ ) )] y s pud comprobar qu n st caso su invrsa vin dada por ( F 1 (u) = µ θsgn u 1 ) ( ln 1 u 1 ). D st modo, un squma d gnración d valors d L(µ, θ) sría l siguint: 1. Gnrar un númro alatorio u. Tomar v = u Hacr x = µ θsgn(v) ln(1 v ).

20 70 Tma 4. Métodos spcíficos d gnración d divrsas distribucions continuas Distribución Wibull La función d dnsidad d una variabl alatoria W(α, β), α > 0, β > 0, vin dada por: f(x) = α ( ) α x β α xα 1, x R + β y su función d distribución s: F (x) = 1 ( x β ) α, x 0 cuya invrsa s fácil comprobar qu s: F 1 (u) = β ( ln(1 u)) 1 α. Por lo tanto, l squma d gnración d valors d W(α, β) siguindo l método d invrsión d la función d distribución sría: 1. Gnrar un númro alatorio u. Tomar x = β ( ln(u)) 1 α Distribución d Parto por: La función d dnsidad d una variabl alatoria P(k, α), k > 0, α > 0, vin dada f(x) = α kα x α+1 I [k,+ )(x), y su función d distribución s xprsa como: ( ) α k F (x) = 1, x k. x

21 4.14. Distribución d Parto 71 Aplicando l método d invrsión d la función d distribución, s tin qu: u = 1 ( ) α k x ( ) α k = 1 u k x x = (1 u) 1 k α x =. (1 u) 1 α Conscuntmnt, un método para gnrar valors d una distribución P(k, α) s l siguint: 1. Gnrar un númro alatorio u. Tomar X = k (1 u) 1 α

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