Y f. Para ello procederemos por aproximaciones sucesivas, de modo que cada una de ellas constituya un término de una sucesión G n cuyo límite

Transcripción

1 INTEGRALES LECCIÓN Índice: El prolem del áre. Ejemplos. Prolems..- El prolem del áre Se f un función continu y no negtiv en [,]. Queremos clculr el áre S de l región del plno limitd por l gráfic de f, el eje de sciss y ls rects x y x: Y f S O X Pr ello procederemos por proximciones sucesivs, de modo que cd un de ells constituy un término de un sucesión G n cuyo límite se S. El primer término de l sucesión qued determindo con l elección de un prtición del intervlo [,], por ejemplo P {,x,x }, y de dos puntos, c y c, tles que c [,x ] y c [x,x ]. 3 Entonces G es l sum de ls áres de los dos rectángulos de ses x y x y lturs respectivs f(c ) y f(c ): 4 G f(c ) x +f(c ) x f O c x c x Al ser G un proximción de S, vmos ver si podemos cotr el error cometido, e. Como f es un función continu en el intervlo cerrdo [,], tmién lo es en [,x ]. Por el teorem de Weierstrss existen m y M en [,x ] tles que f(m ) f(x) f(m ), x [,x ]. Esto es, tl que f(x) 0, x [,]. Un prtición del intervlo [,] es un conjunto finito de puntos P{,x,x,,x n} tl que <x <x < <x n. Si x x -, x x -x, y x nx n-x n-, se llm diámetro de l prtición P, y se denot por P, l myor de los x i. 3 L prtición P (tnto el número de sus puntos como cuáles sen éstos) y los puntos c i son de lire elección, lo que quiere decir que hy infinits mners de determinr G, y lo mismo v psr con los demás términos de l sucesión. Result, pues, que en relidd hy infinits sucesiones como l que estmos construyendo. 4 El diámetro de l prtición P es, como se oserv en el diujo, P x. - -

2 Si designmos por S l áre jo l curv en el intervlo [,x ], es evidente que el áre del rectángulo de se x y ltur f(m ) es un proximción por exceso de S, y el error cometido (el áre de l zon roj) está cotdo por el áre del rectángulo de se x y ltur f f(m )-f(m ). Del mismo modo, el áre del rectángulo de se x y ltur f(m ) es un proximción por defecto de S, y el error cometido (el áre de l zon verde) está cotdo igulmente por el áre del rectángulo de se x y ltur f f(m )-f(m ). f f(m )-f(m ) S x M x M x x c x m m Por último, el áre del rectángulo de se x y ltur f(c ) es un proximción de S (por exceso si el áre de l zon roj es myor que el áre de l zon verde, y por defecto si ocurre lo contrrio), y el error cometido hor (l diferenci entre ls áres de ms zons, l myor menos l menor) está cotdo tmién por el áre del rectángulo de se x y ltur f f(m )-f(m ). Si hcemos lo mismo en el intervlo [x,x ], podemos entonces cotr el error cometido, e : e f x +f x F x +F x F ( x + x )F (-) f f O m M x m M x F f - Oserv que l ltur del rectángulo de cotción, el rectángulo de se - y ltur F, no depende de los puntos c y c que hymos elegido. Oserv que esto es sí culquier que se c [,x ]. F es el myor de los f i. En este cso, como se oserv en el diujo, F f. - - I-

3 El segundo término de l sucesión qued determindo con l elección de un prtición del intervlo [,], por ejemplo P {,,x 5 }, y de cinco puntos c i tles que c i [x i-,x i ], i {,,3,4,5}. Entonces G es l sum de ls áres de los cinco rectángulos de ses x i y de lturs respectivs f(c i ): G f(c ) x +f(c ) x + +f(c 5 ) x 5 O c x c x c 3 x 3 c 4 x 4 c 5 Hciendo ls misms considerciones que con G, podemos cotr el error e que se comete l proximr hor el vlor de S con G : e f x +f x + +f 5 x 5 F x +F x + +F x 5 F ( x + x + + x 5 )F (-) x 5 O x M x x 3 m 4 M m m M 3 m 3 M 4 x 4 m 5 x 5 M 5 F f 3 - Igul que ntes, l ltur del rectángulo de cotción, F, no depende de los puntos c i que hymos elegido. Por tnto, el término enésimo de l sucesión qued determindo con l elección de un prtición del intervlo [,], P n {,x,x,,x m }, y de m puntos c i tles que c i [x i-,x i ], i {,,,m}. Entonces G n es l sum de ls áres de los m rectángulos de ses x i y de lturs respectivs f(c i ): G n f(c ) x +f(c ) x + +f(c m ) x m 3 m i Σ f(ci ) x i El diámetro de l prtición P es (ver diujo) P x. F es el myor de los f i. En este cso (ver diujo) F f 3. 3 L sum f(c ) x +f(c ) x + +f(c m) x m se expres revidmente medinte el símolo Σ, seguido del sumndo i-ésimo de dich sum e indicndo dejo del símolo el primer vlor del suíndice i, y encim, el último. Se lee sumtorio, desde i hst m, de f(c i) x i I-

4 El error cometido verific: 0 e n F n (-) Por l regl del sándwich, como - es constnte, si F n (l ltur del rectángulo de cotción ) tiende cero, tmién lo hrá e n (el error cometido) y, en consecuenci, lim G n S. Ahor ien, es fácil ver 3 que conforme disminuye el diámetro de l prtición, tmién lo hce l ltur del correspondiente rectángulo de cotción. Por tnto, de tods ls infinits sucesiones que hemos visto que se pueden construir, sólo de quells cuyo diámetro tiende cero se puede segurr que su límite es S. 4 * * * En resumen: si f es un función continu y no negtiv en el intervlo cerrdo [,], P n {,x,,x m } es un sucesión de prticiones 5 de dicho intervlo tl que lim P n 0 y, i {,,,m}, x i x i -x i- y c i [x i-,x i ], entonces el áre de l región del plno limitd por l gráfic de f, el eje de sciss y ls rects x y x es el límite de l siguiente sucesión: m G n Σ i f(c i ) x i.- Ejemplos Hllemos el áre limitd por l gráfic de l función f(x)k, el Como el error cometido es el vlor soluto de l diferenci entre el vlor rel y el proximdo, no puede ser negtivo. F n es el myor de los números f i, esto es, l ltur del rectángulo de cotción, que, como hemos visto, no depende de los puntos c i que hymos elegido. 3 Conforme el diámetro tiende cero, todos los x i tienden cero, con lo que los correspondientes m i y M i están cd vez más próximos y, l ser f continu en [,], tmién lo están los puntos de l gráfic de f de sciss m i y M i; en consecuenci, l diferenci de sus ordends, esto es, f(m i)-f(m i)f i, tenderá cero; y si ls f i tienden cero, tmién tiende cero l myor de ells, esto es, F n. L demostrción riguros de est propiedd se sle del progrm de este curso. 4 Oserv que pr que el diámetro tiend cero es necesrio que, cundo n tiende +, m, el número de rectángulos, tmién tiend +. Si todos los términos de l sucesión G n son l sum de, como mucho, 30 rectángulos, entonces el diámetro de tods ls prticiones utilizds pr construir es sucesión es siempre myor o igul que (-)/30; y, por tnto, cundo n tiende +, el diámetro no tiende cero. Pero no es suficiente que m tiend + pr que el diámetro tiend cero. Por ejemplo, podrímos dividir el intervlo [,] en dos prtes igules, y, dejndo l primer intct, ir dividiendo l otr en cd vez más prtes. En este cso, m tiende +, pero el diámetro de tods ls prticiones es entonces (-)/, y que en tods ells x es el punto medio del segmento [,]. 5 Pr cd término de l sucesión G n hemos relizdo un prtición del intervlo [,] I-

5 eje de sciss y ls rects x y x: Y f(x)k O x i- c i x i X Slím G n lím [f(c ) x +f(c ) x + +f(c m ) x m ] lím (k x +k x + +k x m )lím [k ( x + x + + x m )] lím[k (-)]k (-) * * * Clculemos el áre encerrd por l gráfic de l función f(x)x, el eje de sciss y l rect x: Y f(x)x O x i- x i X S 3 lím G n lím [f(x ) x+f(x ) x+ +f(x n ) x] lím { x [f(x )+f(x )+ +f(x n )]} 4 lím ( x [x +x + +x n ]) 5 lím n n + n + + n n lím n n + n + +n n lím n 3 [ n ] 6 lím n 3 n n + n 6 lím 3 + n + 6n 3 Est áre y l conocemos, pero lo que quí interes es otenerl como límite de un sucesión G n. Oserv que en este cso no import que l sucesión elegid pr el cálculo del áre no cumpl con l condición de que su diámetro tiend cero. Y que f(x)k. 3 De tods ls posiles sucesiones G n vmos utilizr, igul que hremos en los prolems, quell en l que mn, x x x m x y c ix i, esto es, l que tiene por término enésimo l sum de ls áres de n rectángulos de igul se y lturs los vlores que l función lcnz en los extremos derechos de cd suintervlo. Oserv que, cundo n tiende +, el diámetro de l prtición tiende cero, y que, si dividimos el intervlo [0,] en n prtes igules, como l longitud del intervlo es, cd un de dichs prtes mide /n. Por tnto, P n x/n. 4 Y que f(x)x. 5 Como x/n, entonces x /n, x /n,, x nn /n. 6 Es fácil pror por el método de inducción complet que + + +n n 3 /3+n /+n/ I-

6 3.- Prolems ) Hll el áre encerrd por l gráfic de l función yx, el eje de sciss y l rect x. ) Clcul el áre del rectángulo limitdo por l rect y3, el eje de sciss y ls rects x y x7. 3) Hll el áre del triángulo rectángulo limitdo por l rect yx, el eje de sciss y l rect x5. 4) Clcul el áre del trpecio rectángulo limitdo por l rect yx, el eje de sciss y ls rects x y x7. 5) Hll el áre encerrd por l gráfic de l función yx 3, el eje de sciss y l rect x. 6) Clcul el áre encerrd por l gráfic de l función ye x, l rect x y los ejes de coordends. 7) Clcul el vlor proximdo del áre encerrd por l gráfic de l función ysen x, el eje de sciss y l rect xπ/. Utiliz pr ello el décimo término de l sucesión G n. 8) Se f un función continu, no negtiv y creciente 3 en [,]. Se P {,x,x } l prtición que determin el primer término de l sucesión G n. Sen c y c los puntos que tú quiers. f() f() Como se trt de un función creciente, m y M x. Por tnto: f f(m )-f(m )f(x )-f( ) Lo mismo sucede en el intervlo [x,x ]: f f(m )-f(m )f(x )-f(x ) Teniendo esto en cuent y l vist del gráfico nterior: ) Acot el error cometido, e. ) Acot e n. x x x x c) Demuestr que si P n tiende cero, entonces G n tiende S. Es fácil pror por el método de inducción complet que n 3 n (n+) /4. Utiliz l sucesión indicd en l not 3 de l págin nterior. 3 El mismo rzonmiento se puede hcer con ls funciones decrecientes I-