Colegio La Magdalena APUNTES DE MATEMÁTICAS 4º ESO. 3º Trimestre. Autor: Vicente Adsuara Ucedo

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1 APUNTES DE MATEMÁTICAS º ESO º Trimestre Autor: Vicente Adsur Ucedo

2 INDICE Tem 7: L Función Eponencil Ejercicios Tem 7.. Tem 8: L Función Logrítmic...7 Ejercicios Tem 8 Tem 9: Resolución de Sistems por Guss Ejercicios Tem 9.6 Tem : Frcciones Algebrics 7 Tem : L Ecución de Segundo Grdo. Tem : Introducción l Concepto de Límite...9 Ejercicios Tem.. Tem : Diferencición. 7

3 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem 7: L Función Eponencil TEMA 7: LA FUNCION EXPONENCIAL 7. Introducción Recordemos ls propieddes de ls potencis: n ) n b) c) d) e) m m b n n n m n mn b n n f) ( ) n con n Q m m g) m b b n m m n h) ( ) i) b m b m n m n j) m 7. L Función Eponencil Ddo un número >, se llm función eponencil de bse l función definid, pr todo vlor rel de, medinte: Ls propieddes de ls potencis que cbmos de recopilr en el prtdo nterior, conducen trivilmente ls propieddes de ls funciones eponenciles. L representción gráfic de l función eponencil pr > : -

4 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem 7: L Función Eponencil Y l representción gráfic de función eponencil pr < : - Se observ que los puntos (, ) (, ) siempre están en l curv El dominio de l función pr mbos csos: D ], [ Y el recorrido: ] [ R,

5 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem 7: L Función Eponencil EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio : Resolver l ecución: Solución: c como ls bses son igules, igulmos eponentes: 6 ± Ejercicio : Resolver l ecución: Solución: ( ) ( ) ( ) Como ls bses son igules, igulmos eponentes: 8 ± Ejercicio : Resolver l ecución: 7 Solución: Como ls bses son igules, igulmos eponentes: ± Ejercicio : Resolver l ecución:

6 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem 7: L Función Eponencil Solución: ( ) ; Pr Pr no eiste pr Ejercicio : Resolver el sistem: Solución: v u ; v u v u ecución : v u Sustituendo en l ecución : v v 9 8 u v v v, Clculmos e : 9 u 8 v

7 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem 7: L Función Eponencil EJERCICIOS DE LA FUNCION EXPONENCIAL. Clculr el vlor de ls siguientes epresiones escribiendo el resultdo en form de potenci: ) b) c) : : d) e) ,. Resolver: ) 7 b) 7 c) 7 d) ( ) e), 9 6 h) i) j) e e e k) l), f) g) 9 8. Resolver los siguientes sistems: ) b) c) d) e) f) 7 7

8 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem 7: L Función Eponencil. Resolver: ) b) 6 c) d) 6 e) 7 f) g) 6 h) 6 i) 6

9 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem 8: L Función Logrítmic TEMA 8: LA FUNCION LOGARITMICA 8. Logritmo de un número Supongmos que los números, u v cumplen v u, donde se dice que: es l bse u es el eponente v es l potenci Pr epresr est iguldd, tmbién se pondrá u log v, donde se dice que: es l bse u es el logritmo v es el número Que es l función reciproc de l función eponencil Ejemplos: Clcul u sbiendo que: u ) log u u b) log. u. u u u c) log u ( ) () u 6 u u d) log. u. u u u e) log u ( ) u 8 8 u Definición: Ddo un número > distinto de, se llm logritmo en bse de un número > l eponente l que h que elevr el número pr obtener el número. u 8 Al logritmo de en bse se le represent por log log 7

10 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem 8: L Función Logrítmic Observciones: ) log El logritmo de en culquier bse es cero. ) Los números negtivos no tienen logritmo que es positivo pr todo R. EJERCICIOS PROPUESTOS. Comprobr que: ) log b) log c) log 7 6. Hllr los logritmos en bse de los números:,,,,,,,.,.,.,.,,.,,.,,., π,. π 8. Propieddes de los logritmos ) El logritmo de un producto es igul l sum de los logritmos de los fctores: log (. ) log log b) El logritmo de un cociente es igul l logritmo del dividendo menos el logritmo del divisor: log ( : ) log - log c) El logritmo de un potenci es igul l producto del eponente por el logritmo de l bse: log ( k ) k log 8

11 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem 8: L Función Logrítmic d) El logritmo de un rí es igul l logritmo del rdicndo dividido por el índice de l rí: Log n n log e) Los logritmos de un mismo número en dos bses distints, b, están relciondos medinte: Log log log b b 8. Ecuciones logrítmics Se dice que un ecución es logrítmic si l incógnit figur en ell trvés del logritmo de un epresión que conteng. Ejemplos: ) Resolver l ecución: log log ( ) log ( ) Solución : Aplicndo ls propieddes de los logritmos: [ ( )] log( ) ( ) ( ) log Ambs soluciones son vlids, pues pr ells es > >, con lo que eisten los logritmos del enuncido. b) Resolver l ecución: log log log Solución: Hciendo el cmbio de vrible log, l ecución se convierte en: 9

12 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem 8: L Función Logrítmic log. c) Resolver l ecución: log log 7 Solución: Aplicndo l propiedd del cmbio de bse: Llmndo log log log 7 6 log log log log 7 d) Resolver l ecución: log ( 6 ) log ( ) Solución: log ( 6 ) ( log( ) ) log( 6 ) log( ) ( ). 6 e) Resolver el siguiente sistem: Solución: ( ) log log log log log,,, Y como h de tener sentido log, result que sólo son ceptbles ls soluciones e. pr f) Resolver l ecución: 768

13 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem 8: L Función Logrítmic Solución: Tomndo logritmos en mbos miembros:.9 g) Resolver l ecución: Solución: Tomndo logritmos: ±. 6 h) Resolver l ecución: Solución: Tomndo logritmos: log log 6. 68

14 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem 8: L Función Logrítmic EJERCICIOS DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA Ejercicio Clculr los siguientes logritmos plicndo l definición. d) log 7 ) log 6 b) log e) log. 6 c) log. 6 Ejercicio Clculr el vlor del número plicndo l definición de logritmo. ) log b) log c) log d) e) log log. Ejercicio : Clculr: ) log ( 8 ) b) log ( ) c) log 6 Ejercicio Sbiendo que log. que log. 77, clculr los siguientes logritmos: ) log b) log c) log. 6 d) log.

15 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem 8: L Función Logrítmic e) log f) log 7 g) log 6 6 h) log 8. 6 i) log 8 Ejercicio Resolver ls siguientes ecuciones logrítmics: 9 9 ) log log log b) log log log c) log ( ) log 8 log ( ) d) 7 log log log( ) e) log ( ) f) log log g) log log log6 h) log i) log ln j) ( ) ( ) log log log k) ( ) log( 8 ) log 7 l) log( ) log log Ejercicio 6 Resolver los siguientes sistems de ecuciones logrítmics:

16 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem 8: L Función Logrítmic ) b) c) log log 7 9 log log log log g) h) log log ( 8) ( ) 8 log log 6 d) log log log log i) log log 6 e) log ( ) ( ) j) log log f) log log ( 8) ( ) k) log ( ) log( ) log Ejercicio 7 Resolver ls siguientes ecuciones logrítmics: ) log log9 log log b) log log8 log c) log log log

17 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem 9: Resolución de sistems por Guss TEMA 9: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS POR EL MÉTODO DE GAUSS Resolución de sistems de tres ecuciones con tres incógnits por el Método de Guss. Ddo el sistem: Vmos obtener un ecución con l primer l segund ecución sin l, un ecución con l primer l tercer sin l, es decir: ) 8 9 b) Einndo l entre ls dos obtenids: Se obtiene: Sustituendo l por su vlor, inmeditmente obtenemos el vlor de : 7 9 Y en culquier de ls ecuciones del sistem inicil sustituimos l l por sus correspondientes vlores, obteniendo sí el vlor de : 9 6

18 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem 9: Resolución de sistems por Guss 6 EJERCICIOS PROPUESTOS: ) 6 ) ) 6 6 ) 6 ) )

19 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : Frcciones lgebrics TEMA : FRACCIONES ALGEBRAICAS. Definición Se llm frcción lgebric l cociente de dos polinomios: P( ) Q( ) siempre que Q() se distinto del polinomio nulo ( Q() ). Ls frcciones numérics son un cso prticulr de ls frcciones lgebrics.. Propiedd Fundmentl Si se multiplicn o dividen el numerdor el denomindor de un frcción lgebric por un polinomio distinto de cero, l frcción resultnte es equivlente l dd. ( ) Ejemplo: Ls frcciones: son equivlentes pues l segund se obtiene multiplicndo el numerdor el denomindor de l primer por el polinomio ( ).. Simplificción de frcciones Cundo los dos términos de un frcción lgebric tienen un divisor común, l propiedd fundmentl permite simplificrlos. Ejemplo: Simplificr l frcción: Fctorindo numerdor denomindor, se obtiene: ( ) ( ) Y est frcción no se puede simplificr más, es un frcción irreducible.. Sum de frcciones lgebrics ) Cundo ls frcciones lgebrics tienen el mismo denomindor l sum es otr frcción lgebric cuo denomindor es tmbién el mismo cuo numerdor es l sum de todos los numerdores. 7

20 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : Frcciones lgebrics 8 b) Si ls frcciones tienen denomindores distintos, se trnsformn previmente en otrs frcciones equivlentes que tengn igules los denomindores después se sumn. Ejemplo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) EJERCICIOS RESUELTOS: ) Simplificr l frcción: 6 Como el numerdor el denomindor se nuln pr -, se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) 6 se h simplificdo dividiendo los dos términos por. ) Sumr ls frcciones: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ) Descomponer l frcción obtenid en sum de dos frcciones de l form: B A ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) B A B A B A B A como los denomindores de l primer l últim frcción son igules, tmbién lo hn de ser los denomindores: B A B A B A B A B A

21 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : Frcciones lgebrics Luego: ( )( ). Multiplicción de frcciones lgebrics Se oper como en ls frcciones numérics: ( )( ) ( ) ( ).6 División de frcciones lgebrics Se multiplic en cru como en el cso de frcciones numérics: 6 6 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ).7 Potenci de un frcción lgebric Como en el cso de frcciones numérics, l potenci de un frcción lgebric se obtiene elevndo los dos términos dich potenci. ( ) ( ) Vlor numérico de un frcción lgebric Se llm vlor numérico de l frcción lgebric rel ( ), siempre que ( ) ( ) P Q Ejemplo: Q. ( ) ( ) P Q pr, l número Hllr el vlor numérico de l frcción lgebric: pr,. Pr Pr Pr 9 8 no está definid pues el denomindor es cero. 9

22 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : L ecución de segundo grdo TEMA : LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO. L ecución complet de segundo grdo b c con, b c. Ls ecuciones incomplets de segundo grdo Si b c.. ( ) Si c b ( ) Si b c ( ). Resolución de ls ecuciones incomplets de segundo grdo Ls del primer cso () se resuelven del mismo modo que ls ecuciones de primer grdo: c c c ± c Ls del º cso () se resuelven scndo fctor común : b ( b) b b Ls del tercer cso () tienen siempre ls misms soluciones o ríces:,

23 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : L ecución de segundo grdo. Resolución de l ecución complet de segundo grdo por el método de ls igulddes notbles - El cso más sencillo es cundo l ecución es un iguldd notble Ejemplos: ( ) ± ( ) ± ( - ) - ± - Sí l ecución no es un iguldd notble se nos pueden presentr los siguientes csos que iremos resolviendo según el grdo de dificultd: ) El término de primer grdo llev coeficiente pr el de segundo grdo llev coeficiente : - 6 ( ) 9 ( ) ± ± b) El término de primer grdo llev coeficiente impr el de segundo grdo llev coeficiente : - 6 ( /) / 6 ( /) -/

24 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : L ecución de segundo grdo / ± / / ± / / / -/ / c) El término de segundo grdo es distinto de : - [ / ] [ ( ¾ ) 9/6 ] ( ¾ ) 9/8 ( ¾ ) 9/8 ( ¾ ) /8 ( ¾ ) /6 ¾ ± / / ¾ ½ - / / -. Resolución de l ecución de segundo grdo por el método de l descomposición fctoril Resolver: - Ls soluciones o ríces de est ecución deben ser unos vlores que stisfgn l ecución, es decir, que l sustituir l por esos vlores, se verifique l ecución. Se el polinomio : P() -, vmos ver si lo podemos fctorir: P ( ).. P ( - ). ( - ). ( - ) P ( ) P ( - ). ( - ). ( - ) 8 6

25 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : L ecución de segundo grdo Por tnto: P () - ( ) ( ) ( ) ( ½) Quiere esto decir que resolver l ecución : -, Es lo mismo que resolver l ecución : ( ) ( ½ ) Y sí en l ecución últim sbemos que sus ríces son ½, estos vlores, tmbién serán ls ríces de l otr ecución..6 Resolución de l ecución de segundo grdo por plicción de l formul Primero tendremos que obtener l formul que nos permit resolver un ecución de segundo grdo pr ello tendremos que despejr l de l ecución generl: Se l ecución generl: b c, pr despejr l, vmos seguir un serie de psos: ) Multipliquemos tod l ecución por : b c ) Sumemos restemos b b b b c ) Los tres primeros términos de l epresión nterior corresponden un iguldd notble, de mner que: ( b) b c ) Los siguientes psos consisten en ir psndo términos l segundo miembro de l ecución hst conseguir despejr l : ( b) b c ) b ± b c 6) b ± b c

26 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : L ecución de segundo grdo.7 Discriminnte de un ecución de segundo grdo estudio de sus ríces en función de este Llmremos discriminnte de un ecución de segundo grdo l epresión: b c es decir, l epresión que prece dentro de l rí cudrd en l formul, que demás representremos por el símbolo: (delt múscul en griego). Cómo son ls ríces según se el discriminnte: ) Sí el discriminnte es mor que cero ( > ) b) Sí el discriminnte es cero ( ) c) Sí el discriminnte es menor que cero, C Vmos comprobr con lgún ejemplo, estos tres csos:.- Resolver l ecución 8 8 ± ± 6 8 ± 6 Como vemos el discriminnte h sido positivo ls ríces hn sido distints..- Resolver l ecución: ± ± Al ser el discriminnte cero ls ríces hn sido igules

27 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : L ecución de segundo grdo.- Resolver l ecución: i i i ± ± ± Al ser el discriminnte negtivo, ls ríces hn sido complejs..8 Sum producto de ls ríces de un ecución de segundo grdo Según l formul: c b b c b b, Pr obtener l formul de l sum, solo tenemos que sumr mbs epresiones: c b b c b b S Al simplificr ls dos ríces cudrds, nos qued: b b S Pr obtener l formul del producto, multiplicremos mbs epresiones ( ) ( ) c b b c b b P ( ) c b b c b b P c c P.9 Ecución de segundo grdo en función de l sum el producto Se l ecución de segundo grdo en su form generl: b c Dividmos tod l ecución por :

28 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : L ecución de segundo grdo b/ c/ Sí recordmos ls formuls de l sum del producto, l ecución nterior se convierte en: S P Que es l ecución de segundo grdo en función de l sum el producto de ls ríces.. Ecución de segundo grdo en form fctoril Prtmos de l últim ecución de segundo grdo, scndo fctor común : b c teniendo en cuent que S b c P [ ( ) ( )] Operndo: [ ] Scndo fctor común de los dos primeros términos de los dos últimos: [ ( ) - ( ) ] Scndo ( ) fctor común: ( ). ( ). Ecuciones bicudrds Se llmn ecuciones bicudrds, quells ecuciones de curto grdo que no tienen términos de grdo impr. Su formul generl es: b c Ests ecuciones se resuelven hciendo un cmbio de vrible: Con lo que l ecución bicudrd se convierte en: b c 6

29 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : L ecución de segundo grdo Y est últim ecución l podemos resolver por culquier de los métodos conocidos hst encontrr sus ríces :. Deshciendo el cmbio de vrible: Y ls ríces serán:,,, Ejemplo: Resolver l ecución: ± 6 9 ± 6 ± 6 9 deshciendo el cmbio de vrible:,,,. Ecuciones Irrcionles Se llmn ecuciones irrcionles quells cu incógnit prece dentro de un rdicl. En ls ecuciones irrcionles, ls ríces cudrds se considern únicmente con el signo positivo. Ejemplos: ) Cundo h un solo rdicl, éste se dej en solitrio en un miembro de l ecución: Elevmos l cudrdo los dos miembros: ( ) ( ) ( ) 8 ± 76 ± 6, 7

30 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : L ecución de segundo grdo Si comprobmos si los dos vlores de ls ríces stisfcen l ecución, nos llevrímos l sorpres l ver que únicmente l solución stisfce l ecución esto es como consecuenci de que cd ve que se elev l cudrdo un ecución, precen soluciones etrñs prte de ls corrects. ) Resolver l ecución: Cundo en un ecución irrcionl tenemos dos ríces cudrds podemos elevr l cudrdo con ls dos ríces en el mismo miembro o con un en cd miembro, es decir cturemos como más sencillo nos prec por intuición. En l ecución nterior si decidimos dejrl como está elevr l cudrdo: ( ) ( )( ) Hemos conseguido psr de un ecución irrcionl de dos ríces cudrds un de un sol rí cudrd. ( )( ) ( )( ) Si volvemos elevr l cudrdo: ( 8 ) ± 6 8 ± ± 8 8 8, 9 De ests dos soluciones es un solución de l ecución propuest l otr es un solución etrñ. 8

31 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : introducción l concepto de límite TEMA : INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE LÍMITE. Comportmiento de un función f() pr vlores mu grndes de Cundo un vrible tom vlores más más grndes, de form que super culquier número que especifiquemos, se dice que tiende infinito; se indic brevidmente en l form. Simétricmente, si los vlores de un vrible se pueden suponer inferiores culquier número que especifiquemos, decimos que tiende menos infinito escribimos. ) Comportmiento de l función otrs relcionds Se f ( ), vemos como se comport est función, pr vlores mu grndes de. Si hcemos un cudro de vlores, llegmos l conclusión de que: se lee: límite cundo tiende ms infinito de es Tmbién podemos comprobr que: Consideremos hor l función f ( ). Sus vlores se obtienen sencillmente, sumndo los obtenidos por l función :, tmbién 9

32 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : introducción l concepto de límite. Comportmiento de l función n otrs relcionds Consideremos en primer lugr l función linel f() en l que: ( ) tmbién ( ) Si f() : ( ) tmbién ( ) Si f() : ( ) tmbién ( ). Límites en el infinito. Definición Decimos que el límite de f(), cundo es k si l diferenci f() k se puede hcer tn pequeñ como se quier bse de hcer suficientemente grnde. Se escribe: f ( ) k Y decimos que el límite de f(), cundo, es k si l diferenci f() k se puede hcer tn pequeñ como se quier bse de hcer suficientemente grnde negtivo. Se escribe: f ( ) k Decimos que el límite de f(), cundo, es si f() se puede hcer tn grnde como se quier bse de hcer suficientemente grnde. Se escribe: ( ) f (rml derecho de un prábol cóncv) Decimos que el límite de f(), cundo, es - si f() se puede hcer tn grnde como se quier en vlor bsoluto pero con vlores negtivos, bse de hcer suficientemente grnde. Se escribe: ( ) f (rml derecho de un prábol conve) Análogmente se definen: f ( ) f ( )

33 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : introducción l concepto de límite. Propieddes de los límites Aunque enunciemos ls propieddes pr, son tmbién válids pr : El límite de un sum de funciones es l sum de los correspondientes límites. Si: f ( ) k g( ) m, entonces: [ f ( ) g( ) ] f ( ) g( ) k m El límite de un producto de funciones es el producto de los correspondientes límites. Si: f ( ) k g( ) m, entonces: [ f ( ) g( ) ] f ( ) g( ) k m El límite de un cociente de funciones es el cociente de los correspondientes límites, dmitiendo que el del denomindor no se nulo. Si: f ( ) k g( ) m, m, entonces: f g ( ) ( ) f g ( ) k ( ) m En el cso en que lguno de los límites de ls propieddes nteriores se ó -, es fcil convencerse de los siguientes resultdos:. Un constnte infinito d infinito. Infinito positivo infinito positivo d infinito positivo. Infinito negtivo infinito negtivo d infinito negtivo. Un constnte no nul por infinito d infinito. Infinito por infinito d infinito 6. Un constnte no nul dividid por infinito d cero 7. Infinito dividido por un constnte no nul d infinito

34 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : introducción l concepto de límite. Limites indetermindos Ls propieddes nteriores dejn sin considerr cutro csos que se llmn csos de indeterminción porque en ellos no es posible predecir el vlor del límite resultnte. Nos referimos los csos:,,. Cso Ejemplo : Clculr Tnto el numerdor como el denomindor tienden infinito, sin embrgo l operr lgebricmente l frcción: Cundo l función es un cociente, un método mu útil consiste en dividir numerdor denomindor entre l mor potenci del denomindor. Ejemplo : Clculr Ejercicios: Clculr : ) ) 7

35 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : introducción l concepto de límite Cso Ejemplo : ( ) Ejemplo : ( ) Cso Ejemplo: Ejercicios: ) 7 b) 6 c) 6 d) 9 7

36 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : introducción l concepto de límite 7 e) g) 6 f).6 Límite de un función f() en un vlor prticulr de En el estudio de un función, interes veces conocer cuál es su comportmiento lrededor de un número prticulr. No es necesrio que l función este definid en el vlor ( puede estrlo o no ) pero sí es preciso que esté definid en ls proimiddes de. Comencemos con un ejemplo. ( ) f no est definid en. L representción gráfic de est función serí un prábol con un gujero en el punto (, ). Sin embrgo, pr vlores en ls proimiddes de ecluendo el propio vlor, l función si est definid. Pr vlores de mu próimos pero menores que, l función se cerc cd ve ms medid que nos vmos cercndo, lo mismo ocurre pr vlores de mores que : Cundo tiende por l iquierd: f (.8 ). f (.9 ).6 f (.9 ).8 f (.99 ).96 f (.999 ).996 f (.9999 ).9996 Cundo tiende por l derech: f (. ).8 f (. ). f (. ). f (. ). f (. ). f (. ).

37 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : introducción l concepto de límite Concluimos en que: Decimos que el límite en el punto ( o cundo tiende ) de l f, si podemos conseguir que f() función f() vle k se escribe ( ) esté tn cerc como quermos de k, cost de cercr suficientemente..7 Propieddes Si f ( ) k g( ) m, entonces: ( f ( ) ± g( ) ) k ± m ( f ( ) g( ) ) k m f ( ) k, si m g( ) m c c, siendo c un constnte : función identidd Si f ( ) k >, entonces f ( ) k Ejemplos: ) ( 7) 7 8 b) ( ) c) ( ) 7 7 d) ( ) e)

38 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : introducción l concepto de límite Indeterminción del tipo Vemos un ejemplo: En estos csos conviene fctorir el numerdor, si fuer necesrio, numerdor denomindor: ( ) ( ) ( ) EJERCICIOS ) b) ( ) c) ( 6 ) d) f) g) h) 6 e) 8.8 Función continu en un punto Un función f() es continu en si se verific l condición: f ( ) f ( ) Ls funciones continus ms sencills son ls polinómics. Tmbién son continus ls funciones del tipo: ( ) ( ) P Q en si Q(), por ejemplo: 6

39 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : introducción l concepto de límite.9 Funciones Discontinus en un punto Un función puede ser discontinu en un punto en tres clses de discontinuiddes que corresponden los siguientes gráficos: Discontinuidd I Discontinuidd II 7

40 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : introducción l concepto de límite Discontinuidd III L discontinuidd del tipo I se llm discontinuidd evitble en. Se crcteri porque f() es un número rel l función no est definid en el punto Ejemplo : l función: tiene un discontinuidd evitble en Por otr prte: ( )( ) ( )( ) L segund discontinuidd es un discontinuidd de primer especie en ; l psr por ese punto l función d un slto finito L tercer discontinuidd se llm discontinuidd de segund especie, en el punto se observ que el slto es infinito. 8

41 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : introducción l concepto de límite Ejercicios.- Dd f() ) f () b) f ( ), hllr.- Se f ( ) ) Ronr que no es continu en el punto b) Se trt de un discontinuidd evitble? f c) en cso firmtivo clculr: ( ).- Se f ( ) 9 ) Ronr que no es continu en el punto b) Se trt de un discontinuidd evitble? c) en cso firmtivo clculr: f ( ).- Ronr por qué son continus en todos los puntos ls funciones: ) f() b) g(). Límite infinito de un función en un punto L función f ( ) es discontinu en, pr vlores mu cercnos ( ) tnto por l derech como por l iquierd, l función se v hciendo ms grnde medid que nos cercmos, por lo que: ( ) 9

42 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : introducción l concepto de límite L función f ( ) ( ) es discontinu en un ronmiento como el nterior nos llev concluir que: ( ) L función es discontinu pr pero se trt de un límite que tiene un vlor diferente por l iquierd que por l derech. Por l iquierd de el límite es: Por l derech de el límite es : Estos límites por l derech por l iquierd se llmn límites lterles. Si no queremos precisr por que ldo llev signo ms por que ldo llev signo menos escribiremos simplemente: Ejemplos: ) ) b) c) ) Estudir si en, ( ) f tiene un discontinuidd evitble:

43 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : introducción l concepto de límite L discontinuidd no es evitble porque el límite no es un número rel PROBLEMAS RESUELTOS ) Hllr Cundo 6 se trt de un indeterminción del tipo est indeterminción se resuelve dividiendo numerdor denomindor por l mor potenci de : 6 6 ) Hllr 6 Ahor se trt de un indeterminción del tipo descomponiendo en fctores numerdor denomindor: que se resuelve 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ) Anlir l continuidd o discontinuidd según el cso de l función : 9 f ( ), en el punto. L función f ( ) no está definid en por tnto no es continu en ese punto, demás: ( ) ( ) 9 ( ) 6 por tnto se trt de un discontinuidd evitble.

44 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : introducción l concepto de límite ) Estudir l continuidd de l función f ( ) L discontinuidd eiste en los puntos en los que se nul el denomindor, es decir, l función es discontinu pr pr -. Vemos el límite en cd uno de estos dos puntos: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) por lo tnto se trt de un discontinuidd evitble en el punto En este punto ( - ) l discontinuidd no es evitble.

45 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : introducción l concepto de límite EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS: ) Clculr los límites de ls siguientes funciones cundo cundo ) 7 b) c) ) Hllr los límites: ) ( ) b) ( ) Clculr los límites de ls misms funciones si - c) d) 7 ) Hllr los siguientes límites indetermindos del tipo ) b) c) d) ) Hllr los siguientes límites indetermindos del tipo

46 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : introducción l concepto de límite ) b) c) d) 6 ) Hllr los siguientes límites indetermindos del tipo ) b) 6) Hllr los siguientes límites ) b) c) d) e) ( ) f) ( ) 7) Clculr los siguientes límites ) ( 9 6)

47 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : introducción l concepto de límite b) ( 9) d) ( ) c) 8) Hllr los siguientes límites indetermindos del tipo ) d) b) e) c) f) 6 8 9) Según l teorí de l reltividd, l ms m de un prtícul depende de su velocidd v : ( ) m v m v c donde m es l ms en reposo c es l velocidd de l lu. Hllr el límite de l ms m cundo v tiende c. ) Hllr los siguientes límites indetermindos del tipo ) d) 6 9 b) 6 e) c) 9 9 f) ) Clculr los siguientes límites

48 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : introducción l concepto de límite ) b) c) d) ) Dds ls funciones f ( ) g ( ) h( ) Anlir en que puntos son continus cules no. Ronr si lgun de ls discontinuiddes es evitble. ) Dds ls funciones: f ( ) g ( ) h( ) Anlir en que puntos son continus cules no. Ronr si lgun de ls discontinuiddes es evitble. 6

49 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : Diferencición TEMA : DIFERENCIACIÓN. Grdiente de un curv En el tem de l rect prendimos que er el grdiente o pendiente de un rect, que tiene el mismo vlor en todos los puntos de l rect. En el cso de un curv, su grdiente vrirá en función del punto que elijmos. El grdiente en un punto P de un curv se define como el vlor de l tngente l curv en ese punto. Ejemplo: ( -, ) ( ½, ) En - Tg - En Tg En ½ Tg Necesitmos encontrr un método ecto pr encontrr el grdiente en diferentes puntos de l curv. Supongmos que queremos encontrr el grdiente de un curv f () en el punto P (, ) de l curv, pr ello consideremos un segundo punto Q de 7

50 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : Diferencición l curv mu cerc de P por lo que su bcis será. Si l ordend de es f () l de será f ( ). P N Q El grdiente en el punto P ( considerndo que PQ es l tngente ) : Grdiente QN f ( ) f( ) PN f ( ) f ( ) Si vmos cercndo el punto Q hci P, cd ve el grdiente será ms ecto. De mner que definimos grdiente de l curv f () en un punto P (, ) de l curv l epresión dd por: f ( ) f ( ) Si decimos que P tiene de coordends (, ) ls coordends de Q son (, ) 8

51 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : Diferencición El grdiente será: Se escribe d d le llmremos l derivd de respecto de A l form de encontrr l derivd se llm diferencición Un mner mu cort de referirnos l derivd de respecto de es medinte: f ( ) o simplemente Recordemos: f ( ) d d f ( ) f ( ) Ejemplos: ) Encuentr l derivd de l función En este cso f() d d f ( ) f ( ) ( ) ( ) De mner que l derivd de l función es ) Encuentr l derivd de l función clcul f () f (-) 9

52 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : Diferencición ( ) f ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) f f Ejercicios propuestos: Deriv ls siguientes funciones: ) b) 9 c) d) e) f) 7 g) / h ). Derivd de l función n Vmos plicr los mismos criterios nteriores pr n ( ) d d f n n ) ( n n n n n n n n ) (... ) ( ) ( n n n n n n...

53 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : Diferencición De quí se deducen ls siguientes propieddes: ) Si f () g() h() entonces d d df d dg d ( ) dh( ) d f ( ) g ( ) h ( ) b) Si f (), siendo cte, entonces d d ( ) df d f ( ) c) Si, siendo cte d d n l vist de ls propieddes si: n n Ejemplo : Encuentr el grdiente de l curv: 7, en el punto (, 6) 7 7 Evlundo en el punto (, 6): 7 Es decir est curv tiene grdiente en el punto (, 6) Ejemplo : Encuentr los puntos de l curv: 6 cuo grdiente se.

54 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : Diferencición , Como l curv es, pr tendremos el punto (, -) pr (-, 8). Tngente norml Supongmos un punto P (, ), perteneciente l curv f() dibujemos l tngente l curv en ese punto l norml l curv en ese mismo punto ( ls pendientes de mbs rects serán inverss de signo contrrio ). L pendiente de l tngente vendrá dd por l derivd de l función en ese punto. tngente en P P f ( ) Norml en P Ejemplo: Encuentr l ecución de l tngente de l norml l curv: en el punto (-, ) en (-, ) l pendiente de l tngente es: (-)- - 8 Y l ecución de l rect que tiene pendiente -8 ps por el punto (-,): ( ) 8

55 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : Diferencición Y l ecución de l norml, que ps tmbién por el mismo punto: 8 ( ). Función de un función Cundo tenemos: decimos que es función de. Si ( ) decimos que es función de l quint potenci de ( ). Supongmos: u ls vribles e. de u. Hemos utilido un vrible u que une Supongmos: f (u) u f (). Si cmbimos por ( ) l u psrá ser ( u u) consecuentemente l psrá ser ( ): Entonces: d d d du du d Ejemplos: ) Encuentr en ( ) u u du d d d 6 d u du ( ) 6 ( ) u 6 b) ( ) u u

56 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : Diferencición du d d d du u d d du du d u u ( ) En generl si: n n [ f ( ) ] n [ f ( ) ] f ( ) Ejemplos: 6 ) ( 7) 6( 7) ( 7) b) ( ) ( ) ( 9 ) 9 ( ) Ejemplo: Encuentr ls ecuciones de l tngente de l norml de l curv: en el punto (, ) ( ) - ( - ) ( ) ( ). L pendiente de l tngente: ( ) Y l pendiente de l norml en ese mismo punto : - Ec. tngente: - ( )

57 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : Diferencición Ec.Norml: / ( ). Derivd de un ecución prmétric Ls ecuciones prmétrics son quells en ls que ls vribles e vn epresds en función de un tercer vrible () t f f () t Ecuciones prmétrics, tprámetro Se puede resolver el problem despejndo l t de l ec: f ( t ) sustituendo en l otr ecución. Ejemplo: t t t t d d En generl no es necesrio psr de ls ecuciones prmétrics ecuciones crtesins ( einndo el prámetro t ) que: d d d dt dt d En el ejemplo nterior:

58 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : Diferencición d dt t dt d d d ( t ) t d Ejemplo: Encontrr en : d t t d d d dt dt d d dt 8t, d dt 6t dt d 6t d d d dt dt d 8t 6t t 7.6 Derivd de un producto Supongmos que u v son funciones de u. v.. [ ] ( u u ) ( v v ) [ ] Si restmos de l ecución [ ] l [ ] : ( u u ) ( v v ) - uv u v v u u v Dividiendo por : 6

59 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : Diferencición u v v u u v Si clculmos el límite cundo, tmbién tenderá cero u v. uv vu v d u v v u d Ejemplo : Deriv: ( ) u ; v ( ) d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ejemplo : ( ) ( ) u ( ) ( ). ( ) ( ).. ( ) v ( ) ( ) ( ).. [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( 7 ).7 Derivd de un cociente Supongmos que u v son funciones de que: u v que tmbién se puede escribir u v. Si plicmos l regl nterior: ( ) d u v v d du d 7

60 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : Diferencición Por l regl de l cden: dv d dv dv dv ( - ) v - d dv d d u ( - ) v - d dv d v du u v du d d v du d v du d v u dv d u v u v v Ejemplo: u ; v ( ) 7 ( ).8 Derivd de l función implícit L función eplicit es quell en l que f ( ) l función implícit es quel l en l que l no está epresd en función de, por ejemplo: 6 derivndo término término: d d d6 d d d d d d d 8

61 Apuntes de Mtemátics º ESO º Trimestre Tem : Diferencición d d d d Ejemplo: Encuentr l ecución de l tngente de l norml de l función: en el punto (, ) Derivndo respecto de : d 6 ( ) d 6-6 que en (, ) 9 9 Tngente: ( ) Norml: - ( ) 9 9

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