Distribuciones de probabilidad

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1 Distribuciones de probabilidad

2 Distribución Binomial La distribución binomial es una de las distribuciones utilizadas más ampliamente en estadística aplicada. La distribución se deriva del procedimiento conocido como ensayo de Bernoulli, nombrado así en honor del matemático suizo James Bernoulli ( ), quien realizó contribuciones importantes en el campo de la probabilidad.

3 Distribución Binomial Cuando en un proceso aleatorio o experimento, llamado ensayo, puede ocurrir solo uno de dos resultados mutuamente excluyentes, como vida o muerte, enfermo o sano, masculino o femenino, el ensayo se llama ensayo de Bernoulli.

4 Distribución Binomial Supongamos que tenemos una variable x x 2 {0, 1} La probabilidad de x =1 se denota con el parámetro μ, de tal manera que: p(x =1 µ) =µ Donde 0<μ <1, por lo que p(x=0 μ) = 1-μ

5 Distribución Binomial Con las expresiones anteriores, la distribución de probabilidad sobre x se puede escribir como: Bern(x µ) =µ x (1 µ) 1 x Esta distribución está normalizada y tiene media y varianza dadas por: E[x] =µ var[x] =µ(1 µ)

6 Función Supongamos que tenemos un conjunto de datos D={x1,,xN} de valores observados de x. La función de probabilidad estaría dada por: Se puede obtener μ maximizando el algoritmo de la función, dado por:

7 Estimador de máxima probabilidad Está dado por la expresión Donde m es el número de de observaciones exitosas (x=1) y N el número total de observaciones.

8 Combinaciones Imaginemos que queremos formar combinaciones de cierto número de elementos posibles (subconjuntos) dentro de un conjunto más grande Fácilmente se puede anticipar que hacer una lista del numero de secuencias se hace mas y mas difícil y tedioso según crece el tamaño de la muestra, por lo cual es necesario un método sencillo para contar el numero de secuencias.

9 Combinaciones Para calcular el número de combinaciones usamos la expresión: Donde m es el número de manera de escoger el subconjunto dentro de un conjunto de longitud N.

10 Distribución Se trabajará con el número de observaciones m donde x = 1. Para la distribución tenemos la expresión: P N=10 μ =0.25

11 Ejemplo 1 Suponga que se sabe que 30% de cierta población es inmune a alguna enfermedad. Se escoge una muestra aleatoria de 10 elementos de entre esta población. Genera un histograma para x=1 (personas inmunes) dentro de la muestra. Cuál es la probabilidad de que dicha muestra contenga exactamente cuatro personas inmunes?

12 Ejemplo 2 Se pretende medir la eficiencia del servicio de radiología para la detección de cáncer. Se sabe que por cada 50 estudios, 13 estudios han sido erróneos en el diagnóstico. Tomamos una muestra al azar de 20 estudios. Genera un histograma para los casos en los que se ha obtenido un diagnóstico correcto. Genera un histograma para los casos en los que se ha obtenido un diagnóstico erróneo. Qué probabilidad hay de encontrar 10 estudios con diagnóstico erróneo en la muestra? Cuál es la probabilidad de que todos los estudios en la muestra sean correctos en el diagnóstico?

13 Ejemplo 3 Repite los puntos anteriores, pero ahora con una muestra aleatoria de 40 estudios. Cómo se modificaron los histogramas? Cómo se modificaron las probabilidades?

14 Variables multinomiales Las variables binarias nos sirven para describir cantidades que solo pueden tomar dos valores. Pero nos encontraremos con variables que podrán tomar uno de K estados mutuamente exclusivos. Si tenemos una variable que puede tomar K=6 estados y una observación particular corresponde al estado x3=1, x se puede representar como:

15 Estimador de máxima probabilidad Está dado por la expresión Donde mk es el número de de observaciones exitosas (xk=1) y N el número total de observaciones.

16 Probabilidad de una variable Para calcular la probabilidad utilizamos la siguiente expresión: Donde:

17 Ejemplo En una fiesta el 20% de los asistentes son españoles, el 30% franceses, el 40% italianos y el 10% portugueses. En un pequeño grupo se han reunido 4 invitados. Cuál es la probabilidad de que sean 2 españoles y 2 italianos?

18 Distribución Exponencial Esta ley de distribución describe procesos en los que nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento sabiendo que el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un instante tf, no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada.

19 Aplicaciones El tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. El tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de un paciente. En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos sucesos consecutivos sigue un modelo probabilístico exponencial. Por ejemplo, el tiempo que transcurre entre que sufrimos dos veces una herida importante.

20 Definición Si una variable aleatoria continua X distribuida a lo largo de R, es tal que su función de densidad es se dice que sigue una distribución exponencial.

21 Propiedades Función de Densidad Función de distribución x x

22 Ejemplo Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una distribución exponencial con media de 16 años. Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años?

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