RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y OBLICUÁNGULOS

Transcripción

1 SEMANA 03 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y OBLICUÁNGULOS I. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 1.1 Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos Sen (α+β) = senα*cosβ + cosα*senβ Cos (α+β) = cosα*cosβ senα*senβ tg (α+β) = tg α + tg β 1 - tg α* tg β 1.2 Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos Sen (α-β) = senα*cosβ - cosα*senβ Cos (α-β) = cosα*cosβ + senα*senβ tg (α - β) = tg α - tg β 1 + tg α* tg β 1.3 Razones trigonométricas del ángulo doble 1.4 Razones trigonométricas del ángulo mitad 1

2 1.5 Transformaciones de sumas y diferencias en productos 1.6 Transformaciones de productos en sumas 1 Es importante tener en cuenta que el ángulo mitad puede pertenecer a un II. cuadrante distinto que el ángulo. Por eso hay que tener en cuenta el cuadrante al que pertenece para elegir el signo en la fórmula (positivo o negativo). Resolución de triángulos cualesquiera 2.1 Teorema del seno Nota: se demuestra que la proporción existente en este teorema es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita

3 2.2 Teorema del coseno Y, análogamente: 2.3 Resolución de un triángulo conocidos los tres lados 1º Se aplica el teorema del coseno para conocer un ángulo. 2º Se vuelve aplicar el teorema del coseno y se conoce otro ángulo. 2.4 Resolución de un triángulo conocidos dos lados y el ángulo comprendido 1º Se calcula el otro lado mediante el teorema del coseno. 2º Se calcula uno cualquiera de los otros ángulos mediante el teorema del coseno. 2.5 Resolución de un triángulo conocidos dos lados y el ángulo no comprendido entre ellos 1º Mediante el teorema del seno se halla uno de los otros ángulos. 2º Para calcular los otros elementos se aplica uno cualquiera de los teoremas. Resolución de Triángulos Oblicuángulos Resolver un triángulo conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él.

4 El problema general de resolución de un triángulo consiste en hallar las longitudes de sus lados a, b y c y el valor de sus ángulos A, B y C. En general basta con conocer tres cualesquiera de estos seis elementos para obtener los otros tres: conocido dos ángulos y un lado, un lado y dos ángulos o los tres lados. El caso de los tres ángulos no tiene solución única pues hay infinitos triángulos semejantes que cumplen la condición. En realidad tenemos cuatro problemas diferentes: 1. Conocidos dos ángulos y un lado. 2. Conocidos dos lados y el ángulo adjunto a uno de ellos. 3. Conocidos dos lados y el ángulo comprendido. 4. Conocidos los tres lados Para resolverlos, vamos a utilizar dos teoremas: Teorema del seno Teorema del coseno Ejercicio nº 1 En un triángulo rectángulo se conocen los valores de un cateto (a) = 11m, y la hipotenusa (c) = 20m. Sabido que el ángulo opuesto a la hipotenusa (C) es de 90º, hallar los elementos restantes: ángulo del cateto (A), segundo cateto (b) y su ángulo opuesto (B). Ejercicio nº 2 Un avión vuela entre dos ciudades A y B que distan 80km. Las visuales desde el avión a A y B forman ángulos de 29º y 43º con la horizontal, respectivamente. A qué altura está el avión? EJERCICIOS PROPUESTOS:

5 1. Las diagonales de un paralelogramo miden 5 y 6cm., respectivamente y se cortan bajo un ángulo de 50º. Hallar el perímetro del paralelogramo. 2. Desde un punto se observan unos chopos con un ángulo de 36º, si avanzamos hacia ellos en línea recta y los volvemos a observar, el ángulo es de 50º. Qué altura tienen los chopos? 3. Tres puntos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 Km., la BC es 9 Km. y el ángulo que forman AB y BC es de 120º. Cuánto distan A y C? 4. Un carpintero debe hacer una mesa triangular de tal forma que un lado mida 2m., otro 1.5 m. y el ángulo opuesto al primer lado debe ser 40º. Lo conseguirá? 5. Dos personas caminan por un sendero, pero en un punto se bifurca formando un ángulo de 38º y cada uno va por su lado, uno camina a 3km. por hora y el otro a 3.5km por hora, a qué distancia se encuentran al cabo de media hora? 6. Desde los puntos A y B de una misma orilla de un río y separados entre si 12m., se observan el pie P y la copa C de un pino, situado en la orilla opuesta. Calcular la altura del pino, sabiendo que los ángulos miden PAB=42º, PBA=37º y PAC=50º