Cartilla 2 Solución Unidad 5: Distribuciones de funciones de variables aleatorias

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1 Cartilla Solución Unidad 5: Distribuciones de funciones de variables aleatorias a P(X b P(Y0 X / c La variables no son independientes dado que, por ejemplo: P(X0., Y30 0 es distinto a P(X0..P(Y a c b P(X< x x c f (x e ( e x 0 X > y e y>0 fy(y El valor de la densidad conjunta para el par (, es , en cambio el producto de las densidades marginales en estos mismos valores es Por lo tanto no son independientes. 3 a E(XY E(XY/3 b f X (x x 0.5 x f Y (y.5 y 0 y El valor de la densidad conjunta en el punto (, es en cambio el producto de funciones de densidad marginales es 0.75, por lo tanto no son independientes las variables. c cov(x,ye(xy-e(xe(y/3-(9/(5//.0069 Cov (axb, cyd E[(aXb- E(aXb ][(cyd-e(cyd] E[( ax b - a E(X b (cy d - c E(Y d] ac E[(X - E(X(Y - E(Y] ac Cov (X,Y 5 Y ax b Cov(X, Y E[X(aX b]- E(XE(aX b ae(x ρ (X, Y σ σ σx a σx x y [ ] a E(X - (E(X a σ luego ρ ( X,Y X a a 6 Xi Consumo semanal de cada cliente,,, 5 Xi N(30,5 Y 5 X i be(x - a N(750, 5 por eorema de las Combinaciones Lineales P(Y> φ( 0.03 a σ [ E(X ] X be(x La probabilidad de que en una semana el proveedor se quede sin combustible es 0.03.

2 7 X Contenido de maíz de cada lata,,,5 Xi N (60, 5 X n 5 X i i N(60, 5/ 5 por eorema de las Combinaciones Lineales -P(< X <80-[φ(.98 - φ(-.98]-φ( El 0.3% de las veces diremos que el proceso no está funcionando correctamente. 8 X Cantidad de pacientes que se recuperan de cierta enfermedad X b(00, 0. Puesto que np(-p > 5 se puede aproximar a una distribución Normal con media y desvío estándar por eorema Central del Límite P(X<30 P(X< 9.5 φ(-.]-φ(.] 0.06 La probabilidad de que menos de 30 pacientes se recuperen es X Cantidad de clientes que llegan por hora a ciertas instalaciones de servicio automotriz X P(5 Y Cantidad de clientes que llegan en horas a ciertas instalaciones de servicio automotriz Y P(60 Puesto que λ > 5 puedo aproximar por una distribución Normal con media 60 y desvío estándar 60 P(30<X<70 P(30.5<X< 69.5 φ(.3- φ(-3.8 φ(.3- [- φ(3.8] La probabilidad de en un período de horas lleguen entre 30 y 70 clientes es a X Cantidad de personas que contraen una infección respiratoria X b(600, 0.00 Como np. > y p0.00 < 0., puedo aproximar por una distribución de Poisson con λ.. e. P(X 0. 7 b X Cantidad de personas que contraen una infección respiratoria X b(5000, 0.00 Puesto que np(-p9.98 >5 puedo aproximar por una distribución Normal con media 0 y desvío estándar por eorema Central del Límite. P(X>0P(X>0.5 -φ(0.60. La probabilidad de que más de diez personas contraigan la enfermedad es 0. ax Medición de la gravedad específica de cierto cuerpo E(Xx σ X 0.05 Por eorema Central del Límite X N(x, 0.05/5 P( X x < 0. 0 φ( La probabilidad aproximada de que el promedio difiera de la verdadera gravedad del cuerpo en menos de 0.0 unidades es b P( X x <

3 0.0 P(-0.0< X - x < 0.0 P < Z < 0.05 n φ ( 0. n φ ( 0. n n n 96.0 Se necesitan al menos 97 mediciones. 0.0 φ ( 0. n -[-φ ( 0. n ] 0.05 n P( X - < kσ Por desigualdad de Chebycshev P X < n k k k 0 k k kσ kσ k σ 0.0 n n 500 n 500 n Se necesitan al menos 500 mediciones. 3 a Llamaremos e i al error de redondeo de cada número a la decena. e i U [ 5,5] E (e i ( 5 5 / 0; V ( e i ( 5 5 / El error total, al sumar los 00 números, es la suma de los errores de cada uno. 00 e con esperanza e i Los e i se suponen independientes, entonces: V(e V( ei V(ei / σe 8.87 e N (0, 8.87 por eorema Central del Límite E(e E( e i E(e i 0 0 b Si por cada número se puede cometer error máximo de 5, entonces el valor máximo que puede tomar el error de la suma de 00 números es 5*00. Es decir: el valor máximo que puede tomar es 500 y el valor mínimo es 500. c P ( -c < e < c 0.99 c e P < < z c 8.87 c c φ(z φ( z 0.99 φ(z 0.995

4 Si usamos la distribución de probabilidades con la que modelamos el error ganamos mucho, es decir con una probabilidad de 0.99 sabemos que el error está entre 7.8 y 7.8; en cambio, sin hacer uso de esto, decimos que el error está entre 500 y 500. d Bosquejo de la densidad de probabilidad del error de cada sumando y de la suma a e i U( 0., 0.] E(e i 0; V(e i 0. / 00 e E(e 0 0 e i 00 Los e i se suponen independientes, entonces: V(e V(ei 00 σe e N (0, por eorema Central del Límite b e i U( 0., 0] E(e i 0.05; V(e i 0. / 00 e E(e ( * ( e i V(e V(ei 00 σe 0.89 e N ( 5, 0.89 por eorema Central del Límite.

5 Bosquejo de la densidad de probabilidad del error de cada sumando y de la suma 5 a P I I 3A σ I 0.75A P I 8 I ( I - I E(P *3 36 V( P ( 8 I σ I 3 σ P 8 b Error relativo de P σ/ W MV / M V V a W (M M M V (V v E(W M V Como las variables M y F son independientes. V V(W σm ( M V σ v Luego error relativo de W V σ M M ( V M V σ v σm σ error relativo de W v V 0. M

6 b Por desarrollo en series de aylor y por eorema de Combinaciones Lineales W N( W,σ W 7 ( ( E( V( V( V( σ 0.33