FUNCIONES CUADRÁTICAS

Transcripción

1 FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES CUADRÁTICAS. La función f() = La función cuadrática más sencilla es f() = cuya gráfica es: '5 0 0'5 3 f() = 9 4 0'5 0 0'5 4 9 Características generales Su dominio es R Su recorrido es [ 0, + ) Presentan un valor etremo. Este valor mínimo (0,0) es el vértice de la parábola. Tienen un eje de simetría. Si trazamos una recta vertical que pase por el vértice, y se dobla el papel por dicha recta, las dos ramas de la parábola, al superponerse, coinciden. La ecuación del eje de simetría es: = 0 Es una función continua. Tienen dos ramas: - Es creciente en (0, + ) - Es decreciente en (-, 0). Parábolas del tipo y = a + c (desplazamiento vertical) La gráfica de la función y = a + c, es idéntica a la de y = a, pero con el vértice en el punto (0,c) y desplazada: c unidades hacia arriba si c > 0. c unidades hacia abajo, si c < Parábolas del tipo y = ( ± ) (desplazamiento horizontal) La gráfica de la función y = a( ) es idéntica a la de y =, pero con el vértice en (,0), la gráfica se desplaza hacia la derecha. La gráfica de la función y = a( + ) es idéntica a la de y =, pero con el vértice en (-,0), la gráfica se desplaza hacia la izquierda. 4. Parábolas del tipo y = a + b + c º.- Si a > 0, las ramas de la parábola están orientadas hacia arriba. El vértice es el mínimo absoluto Si a< 0, las ramas de la parábola están orientadas hacia abajo. El vértice es el máimo absoluto. º.- Determinación de los puntos de corte con los ejes de coordenadas: Corte eje OX: Estos puntos son las soluciones de la ecuación a + b + c = 0 Corte eje OY: (0,c) b b 4ac 3º.- Determinación del vértice: V=, a 4a La abscisa del vértice es el punto medio del segmento determinado por los puntos de corte con el eje X. 4º. - Obtención del eje de simetría: = v 5º. - Obtención de algunos puntos de la parábola.

2 FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA. FUNCIONES RACIONALES Dos variables son inversamente proporcionales cuando el producto de cualquier par de valores correspondientes es constante. La ecuación y =, o bien, y = define la función de proporcionalidad inversa. La representación gráfica de las funciones de proporcionalidad inversa es una curva llamada hipérbola.. La función f() = Construimos una tabla de valores para la función y = y La gráfica correspondiente es: Características Su dominio de definición R {0}. Su recorrido es también R {0}. La función es discontinua en el punto = 0. La gráfica está formada por dos ramas que están en el 3 er y er cuadrantes. Es una función impar, es decir, simétrica respecto del origen de coordenadas, si tomamos valores opuestos, la función también toma valores opuestos: Se dice que el eje de ordenadas, = 0, es una asíntota vertical: Si 0, > 0 la función tiene a + Si 0, < 0 la función tiene a - Se dice que el eje de abscisas, y = 0, es una asíntota horizontal: Cuando la variable toma valores muy pequeños la gráfica se acerca a y = 0 por debajo; mientras que cuando toma valores muy grandes, la gráfica se acerca a y = 0 por encima. La función es decreciente en todo su dominio, luego no tiene ni máimos ni mínimos. La función pasa por los puntos (,) y (, ). Si a > b < f(a) <f(b) a b Si >0, la función es siempre decreciente, las ramas están en el er y 3 er cuadrante Si <0, la función es siempre creciente, las ramas están en el º y 4º cuadrante.

3 FUNCIONES ELEMENTALES 3. La función f() = + b (Desplazamientos verticales) La gráfica de la función y = + b se obtiene trasladando verticalmente la gráfica de o o Si b > 0, se traslada b unidades hacia arriba. Si b < 0, se traslada b unidades hacia abajo y = : La recta y = b es una asíntota horizontal de la función. Su dominio es R- {0} y su recorrido es R - {b} 3. La función f() = ± a (Desplazamientos horizontales) La gráfica de y = a es igual a la de y = trasladada a unidades hacia la derecha. La gráfica de y = + a es igual a la de y = trasladada a unidades hacia la izquierda. Su dominio es R {a} Asíntota vertical: = a. Su recorrido R- {0} Asíntota horizontal: y = Funciones racionales sencillas Para representar las funciones racionales de ecuación a + b y =, se dividen ambos polinomios y se c + d aplica el algoritmo de la división, transformando la ecuación anterior en otra de la forma: y = m +. n Su gráfica es una copia de la gráfica de la función de proporcionalidad inversa y =. Ejemplos: y = y = = + y = y = + + +

4 FUNCIONES ELEMENTALES 4 FUNCIONES IRRACIONALES Las funciones en las que intervienen el signo radical de cualquier índice se denominan funciones radicales. Su gráfica es una rama de una parábola horizontal. A partir de estas gráficas se pueden construir, mediante desplazamientos verticales y horizontales las funciones del tipo y = ± a + b. La función f() = + Construimos una tabla de valores para representar esta función: y Características de la función: Su dominio de definición: [0, + ) Su recorrido es [0, + ) Es una función continua. Es creciente Tiene un mínimo en = 0 Ejemplos: Representa las siguientes funciones: b) y = a) y = Dom y = [, + ) La gráfica es la de la función y = trasladada unidades a la derecha b) y = Dom y = [0, + ) La gráfica de y eje OX de la gráfica de y = es la simétrica respecto del =. La gráfica de y = es la misma que la de y = trasladada unidad hacia arriba.

5 FUNCIONES ELEMENTALES 5 FUNCIONES VALOR ABSOLUTO. La función f() = La función f() = se define de la siguiente manera: Representamos la función: f() = y = si si < 0 0 Características de la función: Su dominio es R. Su recorrido es [0, + ) ya que el valor absoluto de un número es siempre positivo. Es continua. Es decreciente para < 0 y creciente para > 0 Tiene un mínimo en = 0. La función f() = f(), siendo f() cualquier función Consideremos la función f() =, se pueden escribir descompuestas en dos tramos: Para < < 0 f() = - ( ) = Para > < 0 f() = Por tanto, la función definida a trozos es: Su gráfica es : f() = si < y = si Vamos a representar la función f() = - 4 Para ello representamos la gráfica de la función y = 4 y a continuación consideramos el simétrico del tramo que está por debajo del eje OX.

6 FUNCIONES ELEMENTALES 6 FUNCIONES EXPONENCIALES Las funciones eponenciales son funciones de la forma f() = a,, con a > 0 y a.. La función eponencial y = a con a>. Características de f () = a, a > Dom(f) =R y Rec(f) =R + Es creciente, no tiene máimos ni mínimos. Es continua Pasa por los puntos (0,) y (, a) El eje OX es una asíntota horizontal por la izquierda. Cuando se hace muy pequeño la función tiende a infinito. El aumento de la base supone: o Una mayor tendencia a aproimarse al eje OX por la izquierda o Un crecimiento más rápido de la función por la derecha.. La función eponencial y = a con 0 < a <.

7 FUNCIONES ELEMENTALES 7 Características de f() = a, 0 < a < Dom(f) =R y Rec(f) =R + Es decreciente, no tiene máimos ni mínimos. Es continua Pasa por los puntos (0,) y (, a) El eje OX es una asíntota horizontal por la derecha. Cuando se hace muy pequeño la función tiende a infinito. La disminución de la base supone: o Una aproimación más lenta al eje OX por la derecha. o Una mayor aproimación al eje OY por la izquierda. 3. Relación entre las funciones y = a e y = a ¼ ½ ( ) 4 ½ ¼ Para valores opuestos de se cumple que sus imágenes son iguales, es decir: f() = g(-) Por tanto, ambas funciones son simétricas respecto al eje vertical. Además, se cortan en el punto (0,) 4. Transformaciones geométricas de y = a 4.. Traslaciones horizontales A partir de la gráfica de la función f() = a podemos obtener la de la función g() = a + p Si p <0, mediante una traslación horizontal de a unidades hacia la derecha. Si p >0, mediante una traslación horizontal de a unidades hacia la izquierda. 4.. Traslaciones verticales A partir de la gráfica de la función f() = a podemos obtener la de la función g() = a + n Si n>0, mediante una traslación vertical de n unidades hacia arriba. Si n <0, mediante una traslación vertical de n unidades hacia abajo Función f() = a Se puede obtener a partir de la gráfica de la función f() = a. Si >, mediante un estiramiento de factor. Si 0< <, mediante un achatamiento de factor. Si <0, su gráfica se obtendría reflejando sobre el eje OX la gráfica de la misma función positiva.

8 FUNCIONES ELEMENTALES 8 FUNCIONES LOGARITMICAS Las funciones logarítmicas son funciones del tipo f() = log a, donde a>0, a. Características de f () = log a Dom(f) = (0,+ ), ya que el logaritmo solo eiste para valores positivos. Rec(f) = R Es creciente si a > y decreciente si a <. Es continua Pasa por los puntos (,0) y (a,) ya que log a = 0, log a a = El eje OY es una asíntota vertical por la derecha. Cuando se hace muy pequeño la función tiende a -. La función es negativa para valores de <. y positiva para >. A medida que la base disminuye, la curva se dispara con mayor rapidez hacia +. Para bases inversas, las funciones son simétricas respecto al eje OX. Las funciones f()= a y g()= log a son inversas, sus gráficas son simétricas respecto de la recta y =

9 FUNCIONES ELEMENTALES 9 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. FUNCIÓN SENO La función seno es la función definida por: f()= sen. Características de la función seno Dominio: R Recorrido: [-, ] Es una función periódica de período π ya que sen() = sen( + π) La función y =sen es impar, es decir, es simétrica respecto del origen, ya que sen(-)=-sen La gráfica corta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: = π, para todo número entero. π El valor máimo es y se alcanza en = + π, siendo Z El valor mínimo es - y se alcanza en = 3 π + π, siendo Z Positiva en (0,π) y negativa en (π,π). FUNCIÓN COSENO La función coseno es la función definida por: f()= cos. Características de la función coseno Dominio: R Recorrido: [-, ] Es una función periódica de período π ya que cos() = cos( + π)

10 FUNCIONES ELEMENTALES 0 La función es par, es decir, es simétrica respecto del eje OY, ya que cos(-) = cos π La gráfica corta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: = + π, para todo número entero. El valor máimo es y se alcanza en = π, siendo Z El valor mínimo es - y se alcanza en = π, siendo Z π π π 3π Positiva en, y negativa en, 3. FUNCIÓN TANGENTE La función tangente es la función definida por: f()= tg. Características de la función tangente: π Dominio: R - + π, ya que tg no está definida si cos = 0 Recorrido: R Es una función periódica de período π ya que tg() = tg( + π) La función es impar, es decir, es simétrica respecto del origen, ya que tg(-)= - tg La gráfica corta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: = π, para todo número entero. Es siempre creciente, no tiene máimos ni mínimos Positiva en (0,π) y negativa en (π,π) Presenta asíntota vertical en = π Las reglas para desplazar, dilatar, contraer, reflejar la gráfica de una función se pueden aplicar a las funciones trigonométricas. Funciones