Física I. Dinámica de Rotación. Ing. Alejandra Escobar UNIVERSIDAD FERMÍN TORO VICE RECTORADO ACADÉMICO FACULTAD DE INGENIERÍA

Transcripción

1 Física I Dinámica de Rotación UNIVERSIDAD FERMÍN TORO VICE RECTORADO ACADÉMICO FACULTAD DE INGENIERÍA Ing. Alejandra Escobar

2 TRABAJO Y ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO En la unidad anterior se ha estudiado con detalle el movimiento de un cuerpo sometido a una fuerza constante. El movimiento en este caso es uniformemente acelerado, haciendo deducción de fórmulas para el cálculo de la velocidad y posición del cuerpo en cada instante de tiempo y para determinar su velocidad en cualquier posición. En esta unidad estudiaremos el movimiento de un cuerpo cuando las fuerzas resultantes que actúan sobre el no son constantes. Fuerza Recuperadora Elástica Siempre que sobre un cuerpo elástico actúa una fuerza deformadora, inmediatamente aparece una fuerza elástica de restitución llamada fuerza recuperadora o restauradora. Según esto se puede definir esta, como la fuerza necesaria para deformar el cuerpo pero aplicada en sentido contrario al desplazamiento del cuerpo. Matemáticamente se puede escribir mediante la ley de Hooke, la cual enuncia que la fuerza aplicada a un cuerpo elástico es igual al coeficiente de deformación (elástico) por el desdoblamiento. F = Kx El signo menos significa que la dirección de la fuerza F es opuesta al desplazamiento x, siendo x el desplazamiento del objeto con respecto a la posición de equilibrio y k la constante de elasticidad. Movimiento Armónico Simple (MAS) Es un movimiento periódico en ausencia de rozamiento, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional al desplazamiento y aplicada en la misma dirección pero en sentido opuesto.

3 La fuerza recuperadora F es proporcional al desplazamiento x, pero de sentido opuesto a él. Esto es, cuando la masa se desplaza hacia la derecha x es positiva y la fuera recuperadora es hacia la izquierda. Cuando la masa se desplaza hacia la izquierda x es negativa y la fuerza recuperadora es hacia la derecha. De acuerdo con la ley de Hooke: F = Kx (1) La fuerza que actúa sobre la masa produce una aceleración por lo que puede escribirse de acuerdo con la segunda ley de Newton: F = ma (2) Igualando las ecuaciones 1 y 2, se obtiene lo siguiente: Kx = ma a = k m x Esta última expresión nos indica que la aceleración es proporcional al desplazamiento de la masa desde su posición de equilibrio y en dirección opuesta, conduciéndonos al siguiente enunciado general: siempre que sobre una partícula actúe una fuerza linealmente proporcional al desplazamiento y en dirección opuesta, la partícula tendrá un movimiento armónico simple.

4 Elementos del Movimiento Armónico Simple P O Q A x Oscilación o vibración completa: es el movimiento efectuado desde cualquier posición hasta volver al punto de partida. Según la figura es el movimiento desde que parte de P llega a Q y se devuelve hasta P pasando por O. Elongación (x): es el desplazamiento de la partícula que oscila desde la posición de equilibrio hasta cualquier posición en un instante de tiempo dado. Amplitud (A): Es la elongación máxima, es decir el desplazamiento máximo a partir de la posición de equilibrio. Período (T): es el tiempo necesario para realizar una oscilación o vibración completa. Frecuencia (f): es el número de oscilaciones o vibraciones completas que tienen lugar en una unidad de tiempo. Posición de equilibrio: es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta sobre la partícula oscilante.

5 Relación entre el Movimiento Armónico Simple y el Movimiento Circular Intentaremos relacionar el movimiento circular uniforme con el movimiento armónico simple. Para ello proyectamos la trayectoria circular sobre cualquiera de los ejes, que coincida con uno de los diámetros de la circunferencia. Particularmente hacemos la proyección sobre el eje horizontal, tal como indica la figura, la cual muestra una circunferencia de radio R y centro O. Consideremos un punto P sobre la circunferencia y sea P su proyección sobre el diámetro horizontal. Cuando el punto pasa por M y va hasta la posición P, la proyecciñon ha sido de M hasta P. Si el punto P va hasta la posición S, P se habrá movido hasta la posición O. Continuando el movimiento el punto S pasará a la posición Q, y P se habrá movido desde O hasta Q. Como se puede notar mientras el punto P le da la vuelta a la circunferencia, su proyección P sobre el diámetro horizontal habrá ido desde M hasta N y de regreso de nuevo desde N hasta M, es decir hay un movimiento de vaivén a lo largo del diámetro horizontal. De todo esto podemos decir; un movimiento armónico simple es la proyección de la trayectoria de un movimiento circular uniforme sobre uno de los ejes vertical u horizontal. S Q P R N Q O x P M

6 Ecuaciones del Movimiento Armónico Simple: Cuadro de ecuaciones En función de K m En función de 2πf Semejanza con el Mov. Circular a = K m x a = K m Acos K m t a = 4 π 2 f 2 x a = 4 π 2 f 2 Acos 2πf t a = ω 2 Acos ωt V = ± K m A 2 X 2 V = K m Asen K m t V = ± 2πf A 2 X 2 V = 2πf Asen 2πf t V = ω Asen ωt Si ω = 2πf X = Acos K m t X = Acos 2πf t X = Acos ωt Período: T = 2π m K Ejemplo: Frecuencia: f = 1 2π K m 1. Una cinta plana de acero está montada como indica la figura. Aplicando una balanza de resorte al extremo de la cinta y tirando lateralmente, se encuentra que una fuerza de 500 g produce una separación de 15 cm. Se suelda un cuerpo de 2 kg al extremo de la cinta, se le separa una distancia de 20 cm y se abandona a sí mismo. Calcular: a) Velocidad máxima alcanzada. b) Aceleración máxima.

7 c) Velocidad y aceleración cuando x = A/2. d) Tiempo necesario para recorrer x = A/2. V = max ocurre cuando x = 0 (centro) a = max ocurre cuando x = ±A V = ±2πf A 2 x 2 = ±2πfA f = 1 T = 1 = 0,64 s 1 1,56 V = ±2π. 0,64 s 1. 20cm 1m 100cm = ±0,80m/s a = ±4π 2 f 2 x = ±4π 2 f 2 A a = ±4π 2. (0,64s 1 ) 2. 20cm 1m = 3,23 m/s2 100cm Si x = A 2 V = ±2πf A 2 ( A 2 ) 2 ; A 2 = 10 cm = 0,1 m V = ±2π(0,64s 1 ) (0,2m) 2 + (0,1m) 2 = ±0,69m/s a = 4π 2 f 2 ( A 2 ) = 4π2 (0,64s 1 ) 2 (0,1m) = 1,62m/s 2 x = A cos 2π f t x A = cos 2π f t arcoseno (x A ) = 2πft t = arcoseno (x/a) 2πf ; x = A 2 t = arcoseno (0,1m/0,2m) 2π. 0,64s 1 = 14,92s 2. Un cuerpo de masa 12 g se mueve con MAS con un período de 4 s. Si la amplitud del movimiento es de 24 cm en el instante t = 0 pasa por la posición de equilibrio en sentido positivo, calcular en el instante t = 0,5 s,

8 a. La posición del cuerpo. b. La magnitud de la aceleración. c. La magnitud de la fuerza que actúa sobre el cuerpo. d. La velocidad del cuerpo cuando x = 12. Calculemos la frecuencia: Calculemos la velocidad angular: Calculemos la posición a los 0,5 s f = 1 T = 1 = 0,25 s 1 4 s ω = 2πf = 2 π 0,25 s 1 = 1,57 rad s X = Acos ωt = (24 cm Calculemos la aceleración: a = ω 2 Acos ωt = (1,57) 2 (24 cm Calculemos la fuerza que actúa sobre el cuerpo F = ma = (12 g Calcular la velocidad para X = 12 cm 1 m ) cos(1,57 0,5) = 0,24 m 100 cm 1 m 100 cm ) cos(1,57 0,5) = 0,59 m s 2 1 Kg 1000 g ) 0,59 m s 2 = 0,00708 N V = ± 2πf A 2 X 2 = ±2 π 0,25 s 1 0,24 2 ( 0,12) 2 = 0,33 m s 3. Un resorte se alarga 0,2 m cuando sobre él se cuelga una masa de 0,04 Kg. La masa se sustituye por otra de 0,06 Kg y se estira 20 cm de su posición de equilibrio abandonándose luego. Hallar: a. La constante de elasticidad del resorte. b. El período de oscilación. c. La ecuación de la elongación en función del tiempo. d. La velocidad de la masa cuando se desvíe 2 cm de a posición de equilibrio.

9 Calculemos el peso de la masa que cuelga sobre el resorte, el cual es la fuerza que se aplica sobre el mismo. F = P = mg = 0,04 Kg 9,8 m s 2 = 0,392 N Calculemos la constante de elasticidad del resorte. Según la ley de Hooke: F = Kx K = F x 0,392 N = 0,2 m = 1,96 N m Calculemos el período de oscilación T = 2π m K = 2 π 0,06 Kg 1,96 N = 1,098 s m Calculemos la ecuación de la elongación en función del tiempo X = Acos K m t = 0,2cos 1,96 0,06 t = 0,2 cos 5,71t Calculemos la velocidad de la masa si X = 0,02 m V = ± K m A 2 X 2 = ± ,06 0,22 0,02 2 = ±1,134 m s PÉNDULO SIMPLE El péndulo simple es un sistema formado por una masa m de pequeña dimensión, suspendida en el aire por un hilo de longitud l de masa muy pequeña comparada con m (masa del hilo despreciable). La parte superior del hilo se encuentra fija como se muestra en la figura:

10 Cuando se le desvía hacia un lado, la masa m comienza a oscilar alrededor de su posición de equilibrio. Al separar el péndulo de su posición de equilibrio de tal manera que forme un ángulo con la vertical y sea l la longitud del péndulo. Las fuerzas que actúan sobre la masa m son: la tensión de la cuerda T y su propio peso P. Las condiciones necesarias para que un cuerpo realice un movimiento armónico es que se encuentre sometido a una fuerza recuperadora F, directamente proporcional a la elongación x y de sentido opuesto. Naturalmente la trayectoria de la masa del péndulo no es una línea recta, sino un arco de circunferencia de radio L, siendo L la longitud de la cuerda soporte. La elongación es la distancia a lo largo del arco de circunferencia desde su punto de equilibrio hasta su punto máximo de desplazamiento, por lo tanto: F = Kx ; Si x = L. θ F = KLθ En la figura se representan las fuerzas que actúan sobre la masa del péndulo en el instante en que su elongación es x. Si elegimos dos ejes uno en dirección a la tangente de la trayectoria y el otro en la del radio, y se descompone el peso en sus componentes según estos ejes, la fuerza recuperadora es: W = mg F = mg senθ

11 Por lo tanto, la fuerza recuperadora no es proporcional a θ, si no a sin θ, y en consecuencia el movimiento no es armónico simple. Sin embargo, si el ángulo θ es pequeño, se cumple que sin θ θ, entonces: F = mgθ = mg x L = mg L x Otra ecuación que se utilizan para el estudio del péndulo simple es la de período: T = 2π m K = 2π m mg/l = 2π L g Ejemplo: 1. Se tiene un péndulo de 2,5 m de longitud, oscilando con una amplitud de 30 cm. Calcular: a. La velocidad del péndulo en el punto más bajo. b. La aceleración en los extremos de la trayectoria. En el punto más bajo del movimiento del péndulo, la velocidad es máxima y la elongación es X = 0. Primeramente calculemos el período: Calculemos la frecuencia: T = 2π L g = 2 π 2,5 m 9,8 m s 2 = 3,17 s Calculemos la velocidad cuando X = 0: f = 1 T = 1 = 0,315 s 1 3,17 s V = ± 2πf A 2 X 2 = ± 2πfA V = ± 2 π 0,315 s 1 (30 cm Calculemos la aceleración cuando X = 0,30 m: 1 m 100 cm ) = 1,88 m s a = 4 π 2 f 2 X = 4 π 2 (0,315 s 1 ) 2 0,30 m = 1,18 m s 2

12 2. Hallar la longitud de un péndulo simple cuyo período es de 1 seg y la gravedad es 9,81 m/s 2. Según la ecuación para el período, la longitud del péndulo es: T = 2π L g gt2 4π 2 = L L = 9,81 m/s2. (1s) 2 4π 2 = 0,25 m MOVIMIENTO ARMÓNICO DE ROTACIÓN El movimiento armónico de rotación se produce cuando un cuerpo puede que puede girar alrededor de un eje está sometido a un momento recuperador proporcional a la elongación angular, contado a partir de su posición de equilibrio. Este tipo de oscilación es muy análogo al del movimiento armónico simple (rectilíneo), y las ecuaciones correspondientes pueden escribirse inmediatamente teniendo en cuenta las analogías entre las magnitudes lineales y las angulares. El movimiento oscilatorio del balancín de un reloj de bolsillo constituye un ejemplo de movimiento armónico de rotación. Un momento recuperador proporcional a la elongación angular esta expresado por: M = K θ El momento de inercia de un cuerpo que gira corresponde a la masa del cuerpo en el movimiento rectilíneo. Por consiguiente, la fórmula del período en u movimiento armónico de rotación es: T = 2π I K ; K = mg L La ecuación para la elongación, velocidad y aceleración angulares pueden obtenerse por comparación con las ecuaciones del movimiento armónico simple.

13 PÉNDULO FÍSICO Se denomina péndulo físico a cualquier péndulo real, o sea que, en contraste con el péndulo simple, no tiene toda la masa concentrada en un punto. cuerpo rígido suspendido de un eje fijo. La figura representa un cuerpo de forma irregular que puede girar, sin razonamiento, alrededor de un eje horizontal, y que se halla separado en un ángulo ɵ de su posición de equilibrio. La distancia del eje al centro de gravedad es L, el momento de inercia del péndulo respecto al eje de rotación es I y la masa del péndulo m. eg ɵ ɵ mg sen ɵ W = mg El momento recuperador en la posición representada en la figura es: M = mgl sen θ Si θ es pequeño, podemos reemplazar sen θ por θ, y queda: M = mglθ Por tanto, el péndulo está sometido a un par recuperador elástico, con una constante K = mgl. El período de oscilación es, por consiguiente: T = 2π I K = 2π I mgl Momento de Inercia

14 I = md 2 Momentos de Inercia cuerpos: Barra delgada, el eje pasa por el centro: I = 1 12 M L2 Barra delgada, el eje pasa por un extremo: I = 1 3 M L2 Anillo Cilíndrico: I = 1 2 M (R 1 2 +R 2 2 ) R 1 R 2 Cilindro Macizo: I = 1 2 M R2 Tubo cilíndrico de paredes delgadas: I = M R 2 Esfera Maciza: I = 2 3 M R2 Ejemplo: 1. Supongamos que el cuerpo de la figura sea una varilla de 2 Kg y de 1 m que puede girar alrededor de su punto extremo. Calcular el Período y el momento de inercia: 1m Se sabe que:

15 I = 1 3 ml2 ; l = L 2 T = 2π I mgl Para el cálculo de la inercia: L m 2 = 2π 3 mgl 2 = 2π m 9,8m/s 2 2 = 1,64 s T = 2π I mgl I = T2 mgl 4π 2 = T2 mgl 8π 2 I = (1,64 s)2 2 Kg 9,8 m s 2 1 m 8 π 2 = 0,668 Kg. m 2