Cálculo II (0252) TEMA 6 SERIES DE POTENCIAS. Semestre

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1 Cálculo II (5) Semestre - TEMA 6 SERIES DE POTENCIAS Semestre - José Luis Quitero Julio

2 Departameto de Matemática Aplicada UCV FIUCV CÁLCULO II (5) José Luis Quitero Las otas presetadas a cotiuació tiee como úico fi, el de prestar apoyo al estudiate y facilitar su etedimieto e el tema de series de potecias La guía cotempla u pequeño resume de la teoría correspodiete que sirve de repaso a los coteidos teóricos que compoe el tema Se preseta ejercicios resueltos y propuestos, alguos so origiales, otros se ha tomado de guías redactadas por profesores, tambié hay ejercicios tomados de eámees y de alguos tetos Se ha tratado de ser lo más didáctico posible y se espera prestar u apoyo a la eseñaza del Cálculo II e Igeiería Agradezco las observacioes y sugerecias que me pueda hacer llegar e la mejora del presete material, las mismas puede ser eviadas a la siguiete direcció de correo: quiterodavila@hotmailcom

3 INDICE GENERAL UCV FIUCV CÁLCULO II (5) Departameto de Matemática Aplicada José Luis Quitero TEMA 6 SERIES DE POTENCIAS 6 Series de potecias 6 Aproimació de ua fució por ua serie de potecias 63 Serie de Taylor para ua fució f 64 Fórmula de Taylor co residuo 65 Obteció de series de potecias a partir de otras coocidas 66 Derivació de series de potecias 67 Itegració de series de potecias 68 Tablas de MacLauri 69 Aplicacioes de las series de Taylor 6 Cálculo de límites idetermiados 6 Aproimació del cálculo de derivadas 6 Aproimació del cálculo de itegrales 63 Cálculo de suma de series uméricas 64 Problemas propuestos G

4 SERIES DE POTENCIAS UCV FIUCV CÁLCULO II (5) TEMA 6 Series de Potecias Pág: 5 de 8 José Luis Quitero 6 SERIES DE POTENCIAS Defiició Ua serie de la forma a ( ) = a + a ( ) + a ( ) +, se llama serie de potecias cetrada e E ella es variable y a es ua sucesió cualquiera Ejemplo 3 = ,!! 3! es ua serie cetrada e = + ( ) + 3 ( + ) = ( + ) + ( + ) ( + ) +, + 3 es ua serie cetrada e = es: Si se tiee ua serie ifiita y es ua variable, la preguta que surge de imediato Dada ua serie de potecias, para qué valores de coverge la serie? Si se tiee e cueta, por ejemplo, la seguda serie dada ateriormete: Para = se obtiee la serie umérica que coverge, luego la serie de potecias coverge para = + ( ) + + ( ) + ( + ) +

5 SERIES DE POTENCIAS UCV FIUCV CÁLCULO II (5) TEMA 6 Series de Potecias Pág: 5 de 8 José Luis Quitero Para = se obtiee la serie umérica que diverge, pues + + ( ) ( ) lím + o eiste Así la aterior serie de potecias diverge si = No obstate, la búsqueda de la respuesta a la preguta debe ser e base a algú procedimieto geeral y o la comprobació úmero a úmero Co toda serie de potecias está asociado u itervalo de la forma ( R +, + R) que se llama itervalo de covergecia, es el cetro del itervalo y R su radio El siguiete teorema establece que la serie coverge absolutamete para cada e el itervalo y sumiistra ua forma de calcular el radio de covergecia R TEOREMA Dada ua serie de potecias a ( ), etoces ocurrirá solamete uo de los siguietes casos: a La serie coverge úicamete para = b La serie coverge absolutamete para todos los valores de c Eiste u úmero R > tal que la serie coverge absolutamete e el itervalo < R E el primer caso se dice que el radio de covergecia es cero, e el segudo ifiito y e el tercero R El teorema o da iformació del comportamieto de la serie de potecias para = ± R, etremos del itervalo de covergecia Ejemplo Dada la serie de potecias sea + ( ), +

6 SERIES DE POTENCIAS UCV FIUCV CÁLCULO II (5) TEMA 6 Series de Potecias Pág: 53 de 8 José Luis Quitero + a = ( ) + u + ( + ) + lím = lím = lím = u El criterio de la razó dice que: a La serie coverge absolutamete si <, iecuació cuya solució es el itervalo (,) b La serie diverge si > c No es cocluyete si =, o sea = ± ; lo cual correspode a los etremos del itervalo (,) Estudio e los etremos: Se sustituye = e la serie de potecias para obteer la serie ( ), + la cual coverge por el criterio de series alteras Se sustituye = para obteer la serie + ( ) = + +, la cual diverge por el criterio de la itegral Se cocluye que la serie de potecias coverge e el itervalo (,] y su radio de covergecia R es Ejemplo 3 Halle el itervalo de covergecia de la serie de potecias ( ) l() Solució Aplicado criterio del cociete: ( ) + (+ )l( + ) lím = lím = lím ( ) l() ( ) ( )l() ( ) ( )l() ( ) ( + )l( + ) ( ) ( + )l( + ) l() l() = lím = lím lím = ( + )l( + ) ( + ) l( + ) = < < < 3

7 SERIES DE POTENCIAS UCV FIUCV CÁLCULO II (5) TEMA 6 Series de Potecias Pág: 54 de 8 José Luis Quitero Estudio e los etremos: = : Sea ( ) (serie altera) l() l() ua sucesió Se probará que esta sucesió es decreciete Sea su fució asociada Se tiee al meos para todo Por otro lado, f() = l() + l() f '() = < (l()) lím = + l() De acuerdo al criterio de covergecia para series alteras, esta serie coverge = 3 : l() El térmio geeral de la serie es positivo Sea f() = l() su fució real asociada Ella es cotiua y decreciete e el itervalo [, ) Se aplicará el criterio de la itegral c c d = lím d = lím l(l()) = lím l(l(c)) l(l()) = + l() c l() c c Por lo tato la serie diverge El itervalo de covergecia de la serie de potecias es [,3)

8 SERIES DE POTENCIAS UCV FIUCV CÁLCULO II (5) TEMA 6 Series de Potecias Pág: 55 de 8 José Luis Quitero Ejemplo 4 Demuestre que satisface la ecuació e idique e qué itervalo es válida Solució Se tiee que: + ( ) = (!) J () '' ' + ' ( ), = J () J () + J () + J () = (!) + '' ( ) ( ) J () = (!) + '' ' ( ) ( ) ( ) ( ) + + = + ( ) J () J () J () + = (!) (!) (( )!) ( ) ( ) = + 4 (( )!) Itervalo de validez de la ecuació: ( ) ( ) = 4 = = (( )!) (( )!) ( ) + + a + + ((+ )!) (!) + a + ( ) + ( + ) (!) + 4( + ) (!) lím = lím = lím = lím = El radio de covergecia es r = + El itervalo de covergecia es R Dado que el radio de covergecia se preserva e los desarrollos de válida para cada R ' J () y '' J (), se tiee que la ecuació es

9 APROXIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN POR UNA SERIE DE POTENCIAS UCV FIUCV CÁLCULO II (5) TEMA 6 Series de Potecias Pág: 56 de 8 José Luis Quitero 6 APROXIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN POR UNA SERIE DE POTENCIAS E cursos ateriores se vió como aproimar los valores de ua fució por los valores de la recta tagete: f() y = f( ) + f '( )( ), si es cercao a Lo aterior se llama aproimació lieal de f Supoga ahora que se quiere algo más geeral; para ello se pedirá que e el puto, sea iguales las derivadas del poliomio y de la fució, icluyedo la derivada de orde cero TEOREMA Supoga que f() es ua fució veces derivable e = y sea () () f ''( ) f ( ) f ( ) = =!!! = P () f( ) f '( )( ) ( ) ( ) ( ) () () etoces P ( ) = f ( ) co =,,, P () se llama poliomio de Taylor de orde de la fució f() e todas las derivadas coicide co las de f() e = =, y es tal que Ejemplo 5 Dada la fució Solució Por lo tato f() = e, calcule su poliomio de Taylor de orde e = () f () = e y () f () = () f ()!!, = = P () = ( ) = P () = P () = + P () = P 3() = + + +! 3!

10 APROXIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN POR UNA SERIE DE POTENCIAS UCV FIUCV CÁLCULO II (5) TEMA 6 Series de Potecias Pág: 57 de 8 José Luis Quitero Se puede observar, e la figura aea, que si se aleja del orige las gráficas de los poliomios de Taylor y de la fució se separa Si embargo, a medida que crece la aproimació etre P () y f() mejora Surge de forma atural la preguta: Si f es ifiitamete derivable e, para cualquier D(f) coverge los poliomios de Taylor a f() cuado +? 63 SERIE DE TAYLOR PARA UNA FUNCIÓN F Lo aterior sugiere defiir ua represetació para la fució f e, de la siguiete forma, si f tiee derivadas de todos los órdees e : = () f ( ) f ''( ) f() ( ) = f( ) + f '( )( ) + ( ) +!! coocida como serie o desarrollo de Taylor de f e Si = la serie de Taylor recibe el ombre, muy particular, de serie de MacLauri Así, la serie de Taylor de ua fució f e u puto de su domiio se obtiee calculado todas sus derivadas e y sustituyédolas e la fórmula Como es lógico supoer, calcular todas las derivadas de f e es ua tarea imposible; si embargo para alguas fucioes se logra describirlas a través de u térmio geeral

11 SERIE DE TAYLOR PARA UNA FUNCIÓN F UCV FIUCV CÁLCULO II (5) TEMA 6 Series de Potecias Pág: 58 de 8 José Luis Quitero Observe que se habla de represetació de f e y se usa el símbolo (equivalete), ello es debido a: a El domiio de f y el itervalo de covergecia de la serie de Taylor o siempre coicide b Auque esté e el itervalo de covergecia de la serie, o ecesariamete ésta coverge a f() Más adelate se verá cuado tiee setido la igualdad: Ejemplo 6 Calcule la serie de MacLauri de f() = se() Solució E la siguiete tabla se ve las derivadas de f y sus valores e : Derivadas de f Evaluació e = f() = se() f() = f '() = cos() f ''() = se() f '''() = cos() IV f () = se() f '() = f ''() = f '''() = IV f () = La derivadas se repite a partir de la cuarta Se puede para esta fució, escribir ua fórmula geeral para sus derivadas: f () = se( + π / ) co =,,,3, si =,5,9, () π f () = se si es par = si = 3,7,, Sustituyedo se tiee el desarrollo del seo e = : = se() ( ) = + + ( + )! 3! 5! 7! Calculado el itervalo de covergecia de la serie obteida: luego + + a = ( ) ( + )! a lím = lím =, + a + + cualquiera que sea el valor de Por lo tato el itervalo de covergecia es (, ),

12 SERIE DE TAYLOR PARA UNA FUNCIÓN F UCV FIUCV CÁLCULO II (5) TEMA 6 Series de Potecias Pág: 59 de 8 José Luis Quitero Ejemplo 7 Siedo f() = l( + ) cuyo domiio es el itervalo (, + ) Se deduce la serie de Taylor asociada a la fució e = e forma similar al ejemplo aterior: Derivadas de f Evaluació e = f() = l( + ) f() = f '() = f '() = + f ''() = f ''() = f '''() = ( + ) IV f () = 3 f '''() = 3 ( + ) IV 3 f () = ( + ) 4 Tambié para esta fució se puede escribir ua fórmula geeral para las derivadas: () + ( )! () + f () = ( ) y f ( ) ( )!, > ( + ) Luego la serie asociada será: = l( + ) ( ) = cuyo itervalo de covergecia es (,], calculado ateriormete La respuesta a la preguta plateada, al meos para la fució l( + ), es egativa Por ejemplo para =, e el domiio de la fució, la serie o coverge Surge otra preguta: Si está e el itervalo de covergecia de la serie, la serie de Taylor coverge a f()? Ejemplo 8 Deduzca la serie de Taylor de / f() = e si, si = e = y su itervalo de covergecia Solució Se puede probar co algo de trabajo que para las dos primeras derivadas: () f () = para todo ; se efectuará este cálculo /h f( + h) f() e f '() = lím = lím =, h h h h

13 SERIE DE TAYLOR PARA UNA FUNCIÓN F UCV FIUCV CÁLCULO II (5) TEMA 6 Series de Potecias Pág: 6 de 8 José Luis Quitero por lo tato así f '() e / si si = 3 = /h f '( + h) f '() e f ''() = lím = lím =, h h h 4 h / f ''() = e ( 3 ) si si = Luego la serie de Taylor de f e = es f ''() f '''() 3 f() f() + f '() =! 3! La suma de la serie es cero, es decir que la serie de Taylor de f coverge a cero para cualquier R, si embargo la fució f solamete se aula e = Resumiedo, la serie de Taylor de f coverge a f() sólo para = 64 FÓRMULA DE TAYLOR CON RESIDUO El poliomio de Taylor de grado de f() e, se puede obteer tomado los + primeros térmios de la serie de Taylor: () f ( ) =! = P () ( ) Este es ua aproimació de f e cada puto del itervalo de covergecia de la serie La diferecia R () = f() P () se llama residuo de grado para f() e =, y se tiee el siguiete teorema que permite estimar el error cometido al aproimar f() por el poliomio de Taylor de grado, e térmios de la derivada +

14 FÓRMULA DE TAYLOR CON RESIDUO UCV FIUCV CÁLCULO II (5) TEMA 6 Series de Potecias Pág: 6 de 8 José Luis Quitero TEOREMA 3 Si f es ua fució derivable hasta el orde + e u itervalo I que cotiee a etoces eiste u úmero z compredido etre y tal que () f ( ) f() = ( ) + R (),! dode = (+ ) f (z) + = R () ( ) ( + )! El térmio aterior es por lo tato el residuo de orde, tambié llamado residuo de Lagrage, y la peúltima ecuació recibe el ombre de fórmula de Taylor co residuo Alguas veces se puede usar la ecuació del residuo para probar que para algú valor fijo de lím R () =, + o sea Si lo aterior ocurre, y se hace e la fórmula de Taylor co residuo se obtiee: f() = lím [P () + R ()] = lím P () la serie de Taylor de f e + + = () f ( ) f() = ( )! Por lo tato se puede euciar el siguiete teorema que es la respuesta a la preguta formulada ateriormete TEOREMA 4 La igualdad es válida si y sólo si para cada ( r, + r) co r > = () f ( ) f() = ( )! lím R () = +

15 OBTENCIÓN DE SERIES DE POTENCIAS A PARTIR DE OTRAS CONOCIDAS UCV FIUCV CÁLCULO II (5) TEMA 6 Series de Potecias Pág: 6 de 8 José Luis Quitero 65 OBTENCIÓN DE SERIES DE POTENCIAS A PARTIR DE OTRAS CONOCIDAS La obteció de ua serie de Taylor o MacLauri por la vía del cálculo de sus derivadas e puede resultar tedioso y difícil Resulta más práctico, de ser posible, partir de ua serie ya coocida y usar operacioes algebraicas, composició, derivació e itegració térmio a térmio para obteer la serie e cuestió 66 DERIVACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS TEOREMA 5 Si = f() = a ( ) co itervalo de covergecia < R etoces f tiee derivadas de todos los órdees e el itervalo de covergecia, y = = = = d f '() = [a ( ) ] = a ( ), d d f ''() = [a ( ) ] = ( )a ( ), d para cada que satisfaga < R Se tiee, e cuato a itegració se refiere, u teorema similar al aterior para ua serie de potecias

16 INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS UCV FIUCV CÁLCULO II (5) TEMA 6 Series de Potecias Pág: 63 de 8 José Luis Quitero 67 INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS TEOREMA 6 Si = f() = a ( ) co itervalo de covergecia < R etoces a f()d = a ( ) d + C = b Dados a,b ( R +, + R) etoces b b a a = f()d = a ( ) d, y las series resultates so covergetes e < R Observació Las series que se obtiee derivado e itegrado tiee el mismo radio de covergecia de la serie origial, si embargo: a Al derivar térmio a térmio la covergecia puede perderse e u etremo b Al itegrar térmio a térmio la covergecia puede gaarse e los etremos Ejemplo 9 Se dedujo ateriormete la represetació del seo e serie de potecias: Por el teorema aterior se() = + = ( ), < < 3! 5! ( + )! = 4 6 d + d ( + )! ()!! 4! 6! = = cos() = ( ) = ( ) = + +, < < Ejemplo A partir de la serie geométrica y por cambios de variable costruya la serie de MacLauri de f() = + idicado su itervalo de covergecia Solució La serie geométrica es

17 INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS UCV FIUCV CÁLCULO II (5) TEMA 6 Series de Potecias Pág: 64 de 8 José Luis Quitero Efectuado el cambio por se tiee: =, < = ( ), < ( ) = ( ), < + Ejemplo E el ejemplo aterior se dedujo que = ( ), < + Solució Itegrado se obtiee la serie de arctg(): + t = = arctg() = dt = ( ) t dt = ( ) = + +, mateiedo el mismo radio de covergecia, se debe estudiar la covergecia e los etremos: Para = resulta la serie umérica y para = resulta la serie umérica ( ) + ; = 3 + ( ) +, = que coverge ambas por el criterio para series alteras Luego = + arctg() = ( ), +

18 TABLAS DE MACLAURIN UCV FIUCV CÁLCULO II (5) TEMA 6 Series de Potecias Pág: 65 de 8 José Luis Quitero 68 TABLAS DE MACLAURIN Fució e se() cos() l( + ) arctg() Itervalo Serie de Covergecia 3 = !! 3! < < = ( ) = + + ( + )! 3! 5! 7! < < = 4 6 ( ) = + + ()!! 4! 6! < < = 3 = < < = ( ) = < = ( ) = + + ( + ) =

19 APLICACIONES DE LAS SERIES DE TAYLOR UCV FIUCV CÁLCULO II (5) TEMA 6 Series de Potecias Pág: 66 de 8 José Luis Quitero 69 APLICACIONES DE LAS SERIES DE TAYLOR Se verá ahora como usar el desarrollo e serie de Taylor de ua fució para el cálculo de límites idetermiados, aproimació del cálculo de derivadas, evaluació de itegrales defiidas de las cuales o se cooce ua primitiva así como la suma de series uméricas 6 CÁLCULO DE LÍMITES INDETERMINADOS Ejemplo Calcule Solució Se sabe que Reemplazado por se tiee: Por otro lado luego 3 l + se() lím + ( + )! se() = ( ) < < + + ( + )! se() = ( ) < < +, + l( + ) = ( ) < l + = l( + ) = ( ) < 3 3( ) Por lo tato, restado las dos series y dividiedo por resulta co (,) (,] Tomado límites a ambos lados: 3 + l + se() = ( ) 3( + ) ( + )!

20 CÁLCULO DE LÍMITES INDETERMINADOS UCV FIUCV CÁLCULO II (5) TEMA 6 Series de Potecias Pág: 67 de 8 José Luis Quitero 3 + l + se() 5 lím = lím ( ) = = 3( + ) ( + )! 3 3 Ejemplo 3 Sea la fució a Ecuetre su serie de MacLauri Solució Sea la serie geométrica Efectuado el cambio por Sea E cosecuecia arctg() f() = 3 =, < se tiee = = ( ), < + = + dt ( ) t + = = arctg() = = ( ) t dt =, < = + arctg() ( ) = = + +, <, b A partir de (a) calcule lím f() Solució = arctg() ( ) lím = + + = Ejemplo 4 Represete se(3) por medio de ua serie y ecuetre los valores de r y s para los cuales se(3) r lím + + s 3 = Solució Se sabe que

21 CÁLCULO DE LÍMITES INDETERMINADOS UCV FIUCV CÁLCULO II (5) TEMA 6 Series de Potecias Pág: 68 de 8 José Luis Quitero De modo que + + ( + )! se() = ( ), < < (3) ( + )! = se(3) = ( ), < < + Se tiee: r r lím ( ) s lím ( ) s + + ( )! 6 ( )! = = r r 6 ( + )! 6 lím + + s + lím ( ) = lím + + s = 3 + r 6s 7 9 lím + = r = 3, s = 6 6 APROXIMACIÓN DEL CÁLCULO DE DERIVADAS Ejemplo 5 Sea f() = e a Halle el desarrollo e serie de MacLauri de f '() Solució Se sabe que e =, luego a partir de este desarrollo se obtiee el desarrollo de + f() = e = ( )! Derivado térmio a térmio del desarrollo e serie de f, se obtiee + ( + ) f '() = ( )e = ( )! b Idique cuátos primeros térmios, como míimo, se requiere del desarrollo de f '() para obteer u valor aproimado de f '() co dos cifras decimales eactas!

22 APROXIMACIÓN DEL CÁLCULO DE DERIVADAS UCV FIUCV CÁLCULO II (5) TEMA 6 Series de Potecias Pág: 69 de 8 José Luis Quitero Solució E el apartado aterior si se sustituye e = se tiee ( + ) f '() = e = ( )! Para obteer u valor aproimado de satisfacer la desigualdad e co dos cifras decimales eactas, el resto debe + 3 R < b+ = < 5 ( + )! Dado que el primer que satisface esta desigualdad es = 6, se ecesitará, como míimo, de los 7 primeros térmios de la serie cuya suma permite la aproimació deseada 6 APROXIMACIÓN DEL CÁLCULO DE INTEGRALES Ejemplo 6 Usado los cuatro primeros térmios de la serie de MacLauri de calcule Solució El desarrollo de MacLauri de cos() es Reemplazado por : Usado los cuatro primeros térmios: cos( )d cos() = ( ) < < ()! cos( ) 4 = ( ) ()! cos( )d + d = +! 4! 6! 5! 94! 36! ! 94! 36! cos( ),

23 CÁLCULO DE SUMA DE SERIES NUMÉRICAS UCV FIUCV CÁLCULO II (5) TEMA 6 Series de Potecias Pág: 7 de 8 José Luis Quitero 63 CÁLCULO DE SUMA DE SERIES NUMÉRICAS Ejemplo 7 Sea la fució f() = l 3 + a Halle la serie de MacLauri de f() Solució f() = l 3 = (l( ) l( + )) + 3 Se sabe que + + l( + ) = ( ), < + E cosecuecia: ( ) f() = ( ) ( ), < f() = ( ) ( ), < f() = + ( ) = ( + ( ) ), < 3 3 b Usado el resultado obteido e a, obtega la suma de la serie + + ( ) ( ) 3 Solució ( ) + ( ) + ( ) = = ( ) 3 ( ) 3( + ) ( + ) + + ( ) 3 3 l(3) = ( + ( ) ) = f( ) = l = 3 + 3

24 PROBLEMAS PROPUESTOS UCV FIUCV CÁLCULO II (5) TEMA 5 Series Numéricas Pág: 7 de 8 José Luis Quitero 64 PROBLEMAS PROPUESTOS Halle el radio y el itervalo de covergecia para cada serie de potecias: a b c d e f g h i j = Rta [,) ( ) Rta (,) ( 3) Rta (,6) 3 3 ( + ) Rta ( 4,) 3 ( ) Rta [,] ( 5) Rta [4,6) l() ( ) ( ) + 7 = Rta Coverge para toda Rta (, ) Rta (, ) 8 ( ) Rta Coverge para toda Halle el desarrollo de MacLauri de covergecia de la serie obteida f() = l( + ) y ecuetre el itervalo de

25 PROBLEMAS PROPUESTOS UCV FIUCV CÁLCULO II (5) TEMA 5 Series Numéricas Pág: 7 de 8 José Luis Quitero 3 A partir de la serie geométrica y por cambios de variable costruya la serie de MacLauri de las siguietes fucioes idicado su domiio de covergecia a f() = b f() = A partir de las series de a b e f() = se( ) f() = e y de se() costruya las series de 5 A partir de la serie geométrica y por derivació o itegració, halle las series de: a f() = ( ) b f() = arctg( ) 6 Hallar el desarrollo e serie de potecias de de la fució su itervalo de covergecia 4( + ) ( ) Rta coverge para toda ( + )! f() = se( ) y determie 7 Usado el desarrollo obteido e el apartado aterior, calcule co u error meor que f()d 5 Rta 84 8 Determie la serie de MacLauri para hasta tres cifras decimales eactas e y utilicela para estimar e d

26 PROBLEMAS PROPUESTOS UCV FIUCV CÁLCULO II (5) TEMA 5 Series Numéricas Pág: 73 de 8 José Luis Quitero 9 Halle el desarrollo de la serie de MacLauri de itegral co u error meor que e 3 3 d ( ) Rta 85! 3 f() e = y utilicela para estimar la Obtega el desarrollo de MacLauri de la fució e f() = y determie su itervalo de covergecia e Halle el desarrollo e serie de potecias de de la fució f() =, 3 ( + ) determiado su itervalo de covergecia + 3( ) Rta ( ), < < Usado el resultado aterior calcule co u error meor que 4 Rta 477 / f()d, 3 Calcule co tres decimales eactos: Rta 39 cos() d

27 PROBLEMAS PROPUESTOS UCV FIUCV CÁLCULO II (5) TEMA 5 Series Numéricas Pág: 74 de 8 José Luis Quitero 4 Calcule co u error meor que 3: l( + ) d Rta Ecuetre ua represetació e serie de potecias de la fució Rta ( ) cos( ) f() = + ()! 6 Tomado e cueta el ejercicio aterior, aproime co ua eactitud de dos cifras decimales: 3 Rta 48 f()d