Números. El objetivo es recordar algunos conceptos básicos de las operaciones que se realizan con:

Transcripción

1 Números El objetivo es recordar algunos conceptos básicos de las operaciones que se realizan con: Números Naturales Números Enteros Números Racionales Números Reales

2 Números Qué es un número? Un número es un símbolo o una entidad abstracta con la que se describe una cantidad. Note que los números no tienen referencia alguna a las características de los objetos contados.

3 Números Naturales Un número natural es cualquiera de los números 0, 1, 2, 3... que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto finito. Denominaremos N al conjunto de todos los números naturales.

4 Números Naturales El conjunto N Tiene primer elemento? Cuál es? Cada número tiene un siguiente? Entre un número y su siguiente hay otro? Tiene último número?

5 Números Naturales El conjunto de los naturales es un conjunto ordenado y por lo tanto puede representarse sobre una recta Existen estrategias para contar?

6 Operaciones con números naturales Ejemplo: Una biblioteca tiene 19 estantes y en cada uno de ellos hay 17 libros. Cuántos libros hay en total? Vemos la necesidad de disponer de estrategias para obtener la respuesta sin necesidad de contar. Estas estrategias son las operaciones elementales

7 Operaciones elementales Los números naturales se pueden sumar y multiplicar. El resultado de estas operaciones es siempre un número natural.

8 Números naturales Propiedades de la suma La suma de dos números naturales es un número natural Si a y b son números naturales entonces a+ b es un número natural. Esta propiedad se llama ley de cierre para la suma de números naturales

9 Números naturales Propiedades de la suma Al 0 se le dice neutro de la suma.

10 Números naturales Propiedades del producto El producto de dos números naturales es un número natural. Hay elemento neutro para el producto de números naturales? Cuál es? Ejemplifique. Es cierto que el orden de los factores no altera el producto? Cómo se llama esa propiedad?

11 Números naturales Propiedades del producto Propiedad distributiva del producto en la suma de números naturales Si a, b, c son números naturales cualesquiera entonces a.(b+ c)= a.b + a.c Ejemplo: Verifique esta propiedad para a=3, b=4, c=1.

12 Escuela Preparatoria Ocozocoautla Operaciones de números naturales La resta no siempre es posible entre números naturales. Un número b se puede restar de un número a siempre que b sea menor o igual que a a-b es natural sólo si b a

13 Números Naturales Dados dos números naturales a y b puede suceder que a b, lo que significa que a aparece antes que b en la sucesión de todos los números naturales, o es igual. En caso contrario b < a.

14 Leyes de monotonía de la suma y del producto de números naturales Dados los números naturales a, b, c cualesquiera si se verifica que a b entonces a +c b +c a. c b. C Ejercicio Verifique estas dos propiedades para 4 casos.

15 Números enteros negativos Qué papel juegan los números enteros negativos dentro del mundo de los números? Ejemplo: Si me compro una bicicleta que cuesta $160 y sólo tengo $90 tendré una deuda de $70.

16 Número Enteros Se definió la resta como operación inversa de la suma Ej: 7-4 =? (nro. que sumado a 4 da 7) Como 4+3=7 7-4=3 Note que la resta no siempre puede realizarse en N Ejemplo: 4 7 =?

17 Número Enteros A los números naturales y a sus opuestos se los llama NUMEROS ENTEROS, ellos son

18 Números enteros El conjunto de números enteros se indica con el símbolo Z, a los enteros negativos con Z - y a los enteros positivos con Z +. { } + Z = Z 0 Z Los enteros se pueden sumar, restar y multiplicar. Su resultado siempre será un entero.

19 Números Enteros Operaciones de suma y producto Ley de cierre Ley asociativa Ley Conmutativa Elemento neutro Propiedad distributiva del producto en la suma de números enteros. Ley de monotonía

20 Números fraccionarios Si a una unidad la fraccionamos en n partes iguales, cada parte es la n ésima parte de la unidad y se simboliza por Si tomamos m de las n-ésimas partes, decimos que esa cantidad es m n y representa una proporción de la unidad 1 n

21 Números fraccionarios A estos números se los denomina fraccionarios

22 Números fraccionarios Indique que parte del total representa la región verde rosa amarilla

23 Números fraccionarios Varios números fraccionarios pueden representar la misma proporción de la unidad Ejemplo 2 4 ; 1 2 ; 7 14

24 Números fraccionarios En general, si r es un número entero distinto de cero Se dice que m* r m estas y fracciones son n* r n equivalentes representan la misma cantidad

25 Números Racionales Se dice que los números racionales y son equivalentes si y sólo si a * d = b * c Ejemplo: 2 6 ; 1 3 ; 3 9 son equivalentes

26 Números racionales Al conjunto formado por todos los enteros y todos los fraccionarios se lo denomina números racionales a es el numerador y b el denominador

27 Números Racionales Pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse. El resultado seguirá siendo un racional. Ejercicio: Los números enteros pueden expresarse como fracción Cómo representarías el número 5? Es la única forma?

28 Comparación de fracciones Toda fracción positiva es mayor que cualquier fracción negativa. Si las fracciones tienen igual denominador será mayor aquella cuyo numerador sea mayor Si las fracciones tiene distinto denominador se comparan las fracciones equivalentes a las dadas con igual denominador

29 Comparación de fracciones

30 Ejercicio Indicar cuales son Menores que cero Mayores que cero y menores que 1 Mayores que uno

31 Suma y resta de fracciones Si el denominador es común se suman los numeradores

32 Suma y resta de fracciones Si no tienen igual denominador, se sustituyen por fraccionen equivalentes que si lo tengan. Luego se opera igual que antes

33 Ejemplo Suponga que en la heladera tiene ¾ de pizza en tres porciones iguales. Si debe compartirla con 4 amigos Qué parte de la pizza comerá?

34 Cociente El cociente de dos números fraccionarios es igual al producto entre el dividendo y el inverso del divisor

35 Escuela Preparatoria Ocozocoautla Expresión decimal de los números racionales Para escribir un número fraccionario en decimal basta con dividir el numerador por el denominador

36 Números Racionales Si el número tiene una cantidad de decimales finita, se puede expresar como un número racional

37 Números racionales Si el número es periódico es un poco más complicado N = 0, N = 3, N N = 3 9 N = 3 0,3 = 1 3

38 Números racionales Ejemplo 2 N = 2, N = 2105, N N = N = 2103 N =

39 Números racionales Ejemplo 3 N = 2, N = 24, N = 24105, N 10 N = N = N =

40 Números racionales La estrategia es obtener dos números con la misma parte decimal. Al restarlos se obtiene una igualdad que relaciona a N con números enteros. Esta igualdad permite expresar N como cociente de enteros Por lo tanto, un número racional se caracteriza por tener una expresión decimal exacta o bien periódica

41 Números Racionales Representar en fracción los siguientes números:

42 Suma y producto de racionales Dados dos números racionales y Por ser razones de números enteros con denominador no nulo (por qué?), resultan la suma y el producto cerrados en Q

43 Escuela Preparatoria Ocozocoautla Ejercicios Calcular = = = * 5 2 = : 4 9

44 Potencia de exponente natural Producto de potencias de la misma base a m * a n = a m+n Cociente de potencias de la misma base a m : a n = a m-n

45 Potencia de exponente natural Potencia de un producto (a*b) m = a m * b m Potencia de un cociente (a/b) m = a m / b m Potencia de una potencia (a m ) n = a m*n

46 Calcular

47 Calcular

48 Calcular

49 Números Reales Los números racionales pueden expresarse como números decimales con un números finitos de cifras decimales periódicas. Ej: ¾ = 0.75 o 1/3= 0.3 Sin embargo hay números que poseen un cantidad infinita de decimales. Ej: π Estos números se llaman IRRACIONALES

50 Números Reales Se llaman números reales aquellos números que son racionales o irracionales. El conjunto de todos ellos lo anotaremos R. Las operaciones de suma y producto en R cumplen las mismas propiedades que las que esas operaciones satisfacen en Q.

51 Escuela Preparatoria Ocozocoautla Potencia de un número real y exponente entero Si a es un número real y n es un natural no nulo a n =a*a*a* *a n veces Por convención, si a 0 y n natural no nulo a n = 1/a n

52 Escuela Preparatoria Ocozocoautla Potencia de un número real y exponente entero

53 Reflexiones Sean a y b números reales y n entero.

54 Escuela Preparatoria Ocozocoautla Producto y cociente de potencias de igual base Sean a y b números reales y n entero.

55 Potencia de potencia Sean a y b números reales y n entero.

56 Escuela Preparatoria Ocozocoautla La potencia es distributiva sobre la suma? Ejemplo: Considere un cuadrado de lado a+b Calcular el área Expresar el área como suma de las áreas en que quedó dividido Es (a + b) 2 = a 2 +b 2?

57 Escuela Preparatoria Ocozocoautla La potencia es distributiva sobre la suma? La potenciación NO es distributiva con respecto a la suma

58 Ejercicios En los siguientes cálculos se han cometido algunos errores. Indicar cuales son y corregirlos

59 Ejercicios En los siguientes cálculos se han cometido algunos errores. Indicar cuales son y corregirlos

60 Ejercicio: Aplica las propiedades de potenciación y demuestra (1 punto extra)

61 Calcular

62 Radicación Cuánto vale h?

63 Raíz n-ésima de un número n p = s si s = n p índice de la raíz radicando

64 Raíz n-ésima de un número Si trabajamos sólo con números reales Cuándo puede calcularse la raíz n-ésima de un número real? La radicación de índice impar n está definida para todo real p (es decir n p existe en R). Para el caso de índice par n, n p es un real sólo en el caso que p sea un número real 0.

65 Escuela Preparatoria Ocozocoautla Potencia de exponente fraccionario Sea r un número real. Se establece que si m es un n entero y n un n natural mayor que 1: m n p = n p m en el caso de existir la expresión del segundo miembro

66 Radicación La radicación es distributiva con respecto al producto y al cociente

67 Escuela Preparatoria Ocozocoautla Potencia de una raíz y raíz de una raíz Puede resolverse expresando la raíz como exponente fraccionario

68 Ejercicios Calcular

69 Ejercicios Son correctas las siguientes igualdades?