Sucesiones y series de números reales

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1 79 Mtemátics : Series umérics Cpítulo Sucesioes y series de úmeros reles. Sucesioes Defiició Llmremos sucesió de úmeros reles culquier plicció f: N R y l represetremos por {, dode = f(). Por comodidd, diremos tmbié que l sucesió es el cojuto ordedo de ls imágees e R, { = { : N} R. Defiició 33.- Diremos que u sucesió { es cotd si existe lgú K R+ tl que K, pr todo N... Límite de u sucesió Defiició 33.- Diremos que l sucesió { tiee por ite, y lo deotremos por pr cd ε > 0 existe 0 N tl que 0 se verific que < ε. Diremos que Diremos que =, si = +, si pr cd K > 0 existe 0 N tl que 0 se verific que > K. =, si pr cd K > 0 existe 0 N tl que 0 se verific que < K. Pr simplificr, escribiremos e ocsioes L pr represetr Opercioes co los ĺımites Si existe el existe el existe el si b 0, existe el si > 0, existe el ( + b ) y se tiee que ( b ) y se tiee que = R y existe el ( + b ) = + b ( b ) = b b y se tiee que b = b b y se tiee que b = b = L. b = b R, etoces, Los resultdos so álogos los de l secció 6.3. Límites co ifiito pr fucioes, de l pági 99, sí como ls idetermicioes que se produce co ests opercioes. Proposició Se {, { b y { c etoces c = L sucesioes umérics. Si b = y b c =L, De { y { b cumpliedo l codició b =, se dice sucesioes equivletes. Proposició Se { u sucesió. Si existe f: [, ) R tl que f() =, N, y f(x) = L, etoces = L x + Not: Este último resultdo es especilmete itereste, pues puede plicrse tod l teorí sobre fucioes l cálculo de ites de sucesioes: cotiuidd, derivció, L hôpitl, Tylor, etc... Subsucesioes Defiició Llmremos subsucesió de l sucesió { culquier sucesió de l form { j j= = {,, 3,..., j,...}, dode j { y los ídices verific que < < 3 < < j <. Prof: José Atoio Abi Vi Grdo de Ig. Electróic Idustril y Automátic : Curso 07 08

2 80 Mtemátics : Series umérics. Series de úmeros reles Proposició Se { u sucesió y { j j= u subsucesió de {. Si existe el, etoces existe el j y se tiee que j j = j Proposició Se { i i= y { k k= dos subsucesioes de l sucesió {, tles que { i i= {k k= = {. Etoces, si i = k = L se tiee que = L i k..3 Covergeci de sucesioes Defiició Se {, u sucesió de úmeros reles. Si Si Si Si = L R, diremos que { = + (ó ), diremos que { o existe, diremos que { es covergete. es divergete hci + (ó ). es oscilte. Ejemplo 340 Se { dode = x. Etoces, pr cd x R elegido,, si x oscilte, si x 0, si < x < covergete 0, si x < = x =, si x = covergete, si x = +, si x >, divergete +, si x > Proposició 34.- Tod subsucesió de u sucesió covergete (divergete) es covergete (divergete), y coverge (diverge) hci el mismo ite Demostrció: Es otr form de escribir l Proposició 337. Proposició 34.- Tod sucesió covergete está cotd Defiició U sucesió, {, es moóto creciete si +, N. U sucesió, {, es moóto decreciete si +, N. Proposició Tod sucesió moóto creciete y cotd superiormete es covergete. Tod sucesió moóto decreciete y cotd iferiormete es covergete. Series de úmeros reles Defiició Dd { u sucesió de úmeros reles, l sucesió { S defiid por S = + + +, pr cd N, se llm sucesió de sums prciles de l sucesió { ; y l pr de sucesioes {{, { S se le deomi serie de térmio geerl, y suele represetrse por Ejemplo L serie sucesió de sums prciles, tiee térmio geerl { y tiee S = = (+) como } Prof: José Atoio Abi Vi Grdo de Ig. Electróic Idustril y Automátic : Curso 07 08

3 8 Mtemátics : Series umérics. Series de úmeros reles.. Crácter de u serie Defiició Diremos que l serie es covergete, divergete u oscilte, si l sucesió { } S es respectivmete covergete, divergete u oscilte. Si l serie coverge y S S, se dice que S es l sum de l serie y se escribe S =. Series geométrics Ls series de l form, co R costte, so: Demostrció: Cosideremos ) Divergetes, si b) Covergetes, si < c) Osciltes, si S = y S = restdo mbs, obteemos que ( )S = + y, por tto: Si, teemos que S = +. E cuyo cso S +, si > + = =, si <, si Si =, teemos que S = + + ) + = y, por tto, S = = +. Defiició Diremos que dos series tiee el mismo crácter, y lo represetremos por, si so simultáemete covergetes, divergetes u osciltes. Proposició Se ) u serie uméric. Se tiee que λ, pr todo λ R {0} b) c) Si l serie es covergete (o es divergete), l serie b j j= =k 0+, pr todo k 0 N formd grupdo térmios cosecutivos, es decir, co b j = j + + j j, es tmbié covergete (o es tmbié divergete).. Series covergetes Proposició Se ( + b ) = + b y b dos series covergetes, etoces ( + b ) coverge y Codició ecesri de covergeci 35.- Si es covergete etoces Demostrció: Como S S y S = S +, se tiee que = S S y, por tto, = 0 = (S S ) = S S = S S = 0 Prof: José Atoio Abi Vi Grdo de Ig. Electróic Idustril y Automátic : Curso 07 08

4 8 Mtemátics : Series umérics. Series de úmeros reles L serie rmóic 35.- L serie rmóic,, diverge. Solució: Verific l codició ecesri, pues = 0, pero o coverge. Supogmos que sí coverge, es decir, que S = S R. Etoces, pr ε = 4, existirá u 0, tl que si 0 se verific que S S = < 4 ; pero esto es bsurdo y que como los térmios de l sucesió so positivos se tiee que: S S = > > = = y o puede ser meor que 4 si es myor que. E cosecueci, o coverge. Además, como S + = S + +, l sucesió { S es moóto creciete y o coverge, luego o está cotd superiomete, es decir, S + y l serie diverge...3 Series de térmios positivos Diremos que u serie es de térmios positivos si 0, pr todo N. Teorem U serie de térmios positivos coverge si, y sólo si, l sucesió de sums prciles { S está cotd superiormete Observció El resultdo terior (sí como los resultdos siguietes sobre series de térmios positivos) so ciertos tmbié pr series que sólo se de térmios positivos prtir de u térmio e delte, es decir, que exist 0 N tl que 0, pr todo 0. Pr verificrlo, bst teer e cuet que (prtdo (b) de l proposició 349). = 0 Además, como ( ) (prtdo () de l proposició 349), pr estudir el crácter de u serie de térmios egtivos o egtivos prtir de u térmio e delte, bst estudir el crácter de l serie de térmios positivos ( )...3. Criterios de comprció Primer criterio de comprció Se y pr todo N o prtir de u térmio e delte, etoces: ) Si b) Si Ejemplo b coverge = diverge = coverge b diverge Estudir el crácter de ls series +3 y b series de térmios positivos tles que b, 3 7. Solució: L primer es de térmios positivos pues + 3 > 0 pr todo. Además + 3 3, pr todo, luego se tiee que +3 3, pr todo. Etoces, como 3 coverge, tmbié l serie +3 coverge. Prof: José Atoio Abi Vi Grdo de Ig. Electróic Idustril y Automátic : Curso 07 08

5 83 Mtemátics : Series umérics. Series de úmeros reles Pr l segud, 3 7 > 0 pr 3, luego es de térmios positivos prtir de 0 = 3 y 3 7 < 3, pr todo 3, luego se tiee que 3 7 > 3, pr todo 3. Etoces, como y est diverge, l serie =3 3 7 diverge y, por tto, l serie Segudo criterio de comprció Se etoces: ) Si 0 < L < + = b) Si L = 0 y ) b) c) Si L = + y ) b b coverge = diverge = b) coverge = b diverge = y coverge b diverge b coverge diverge =3 3 = 3 =3 =3 3 7 diverge. b series de térmios positivos co b = L, Ejemplo Estudir el crácter de l serie de térmios positivos Solució: Como = = 0, y diverge, se tiee que. diverge. Criterio de l itegrl Se f: [, + ) R positiv, moóto decreciete e itegrble e cd cerrdo [, ], y se = f(). Etoces coverge + f(x) dx coverge Demostrció: Por ser f moóto decreciete, e cd itervlo [m, m + ], se verific que y, por tto, que m = Luego, m+ m S E cosecueci, Ejemplo 358 m = f(m) f(x) f(m + ) = m+, m dx + m+ m f(x) dx m+ m f(x) dx = b S + S + f(x) dx + 3 Estudir el crácter de ls series m+ dx = m+ y que f(x) dx + + f(x) dx S +, f(x) dx > lo que cocluye el resultdo. α, segú los vlores de α > 0. Solució: Si α > 0: = f() pr l fució f(x) = α x, fució que es positiv y decreciete e [, + ). Luego α + α x dx y l serie coverge si α > y diverge si α. α Prof: José Atoio Abi Vi Grdo de Ig. Electróic Idustril y Automátic : Curso 07 08

6 84 Mtemátics : Series umérics. Series de úmeros reles..3. Criterios de covergeci Los criterios de comprció teriores so bueos, pero tiee el icoveiete de ecesitr de otr serie co l que comprr. Los siguietes criterios de covergeci so e ocsioes meos decisorios que los de comprció, pero más secillos de usr puesto que sólo us los propios térmios de l serie pr obteer los resultdos. Criterio de l ríz (o de Cuchy) Se u serie de térmios positivos tl que Etoces: ) si L < = coverge b) si L > = diverge c) si L = el criterio o decide Demostrció: = L. ) si L <, tomemos k > 0 tl que L < k <, etoces existe 0 N tl que pr todo 0, se verific que k y por tto, que k, de dode k y coverge y que está = 0 = 0 = 0 myord que u serie que coverge. b) si L >, etoces existe 0 N tl que pr todo 0, se verific que >, luego > y l serie o puede coverger y que 0. Ejemplo Estudir el crácter de l serie Solució: Coverge, pues:. = = = = <. Not: Si el criterio o decide, es decir que si pr u serie es L =, ést puede ser tto covergete como divergete. Por ejemplo, l serie es divergete mietrs que es covergete, pero e mbs se cumple L =. Criterio del cociete (o de D Almbert) Se + = L. Etoces: ) si L < = coverge b) si L > = diverge u serie de térmios positivos tl que c) si L = el criterio o decide Ejemplo Estudir el crácter de l serie Solució: Como l serie coverge. + = (+)!!!. =! ( + )! = + = 0 <, Prof: José Atoio Abi Vi Grdo de Ig. Electróic Idustril y Automátic : Curso 07 08

7 85 Mtemátics : Series umérics. Series de úmeros reles Criterio de Rbe 36.- Se ) si R > = coverge b) si R < = diverge u serie de térmios positivos co ( + )=R. Etoces: c) si R = el criterio o decide Ejemplo.- Estudir el crácter de l serie Solució: Como + = /(+) / = (+) Rbe, teemos que y l serie coverge. ( +. y + = ) ( =..4 Series de térmios culesquier (+) =, el criterio del cociete o decide. Aplicdo ) ( + ) = ( + ) ( + ) = + ( + ) + = ( + ) = = >, Defiició 36.- U serie covergete. se dice bsolutmete covergete si, y sólo si, l serie es Teorem Tod serie bsolutmete covergete es covergete Ejemplo 364 Estudir el crcter de l serie se. Solució: Como l serie o es de térmios positivos (i egtivos), o podemos plicr los criterios de l secció. terior. Vemos si coverge bsolutmete, es decir, estudiemos l serie de térmios positivos Teemos que se() < y como coverge...4. Series de Leibitz coverge, tmbié coverge se() y, e cosecueci, se() Teorem de Leibitz Se { u sucesió de térmios positivos, moóto decreciete y de ite cero. Etoces l serie Defiició U serie +, pr todo. ( ) + coverge, se dice que es que es lterd si el sigo de es distito del sigo de U serie, se dice que es que es Leibitz si es lterd y verific ls codicioes del teorem de ( ) Leibitz. Es decir, si es lterd, verific l codició ecesri de covergeci = 0 y l sucesió { es decreciete. se Ejemplo L serie rmóic lterd, ( ) + es covergete. Prof: José Atoio Abi Vi Grdo de Ig. Electróic Idustril y Automátic : Curso 07 08

8 86 Mtemátics : Series umérics.3 Ejercicios Solució: Es u serie lterd, ( )+ = cosecueci, coverge. (De hecho, l sum de est serie es l.) = 0 y > +, luego es u serie de Leibitz y, e Not: Como e el cso de ls series de térmios positivos, todos los resultdos teriores so plicbles series que verifique ls codicioes prtir de u térmio e delte..3 Ejercicios.304 Estudir el crácter de ls siguietes sucesioes, de térmio geerl ) = ( ) b) = + tg + l c) = d) = e) = ( + ) e f) = ( )+ +( ) Estudir, segú los vlores de los prámetros, el crácter de ls siguietes sucesioes ) = (k + ) b) = k ; k 0 c) = ( ) l α d) = l α ; α > 0 e) = α (e ) β.306 Probr que l sucesió { e! =0 es decreciete pr y deducir de ello que coverge..307 Usr l codició ecesri de covergeci y los criterios de comprció, pr estudir el crácter de ls siguietes series ) c) e) 3 b) 3e + d) ++ + f) 3 cos + tg + l ( ) + e.308 Estudir el crácter de ls siguietes series ) b) c) e) g) =! (+) d) l f) ( ) tg h) =0 e! ( ( + ( ) l +( ) + ) ) + + Prof: José Atoio Abi Vi Grdo de Ig. Electróic Idustril y Automátic : Curso 07 08

9 87 Mtemátics : Series umérics.3 Ejercicios.309 Estudir el crácter de ls siguietes series, segú los vlores de los prámetros. ) c) e) g) i) x + b) ( k) ( ) ( ) k k ( ) + d) l α, α>0 f) tg ( + θ ), 0<< π h) (+)! (+)(+) (+), / Z (+ + + ), >0, e ( ) + (e α ) β ( ) (l α +, 0 < α < β j) = α +α, α 0 ) β.30 Usr l serie =0 x x! pr ecotrr el!, e cd x R..3 Estúdiese, segú los vlores de x R, el crácter de ls series ) =0 (x ) + b) =0 (x 4) + c) ( x+ x) d) =0 ( ) ( ) + x 3x.3 Dd l serie =0 x ( + x, se pide: ) ) Pr qué vlores de x R l serie coverge? b) Hllr l sum de l serie e los x dode coverj..33 Se y b dos series de térmios positivos covergetes. ) Demostrr que coverge. b) Demostrr que b coverge. c) Ecotrr u serie de térmios positivos covergete pr l que l serie se covergete y otr pr l que se divergete. d) Qué se puede decir sobre el crácter de l serie b? Prof: José Atoio Abi Vi Grdo de Ig. Electróic Idustril y Automátic : Curso 07 08

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