EJERCICIOS DE CÁLCULO I. Para Grados en Ingeniería. Capítulo 3: Sucesiones y series. Domingo Pestana Galván José Manuel Rodríguez García

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1 EJERCICIOS DE CÁLCULO I Para Grados e Igeiería Capítulo 3: Sucesioes y series Domigo Pestaa Galvá José Mauel Rodríguez García Ídice 3. Sucesioes y series. 3.. Sucesioes de úmeros reales Series de úmeros reales Series de Taylor

2 3 Sucesioes y series. 3. Sucesioes y series. 3.. Sucesioes de úmeros reales. Problema 3.. Sea {x } ua sucesió covergete e {y } ua divergete; qué se puede decir de la sucesió producto {x y }, suma {x + y }, y cociete {y /x } supoiedo que x 0 para todo IN)? i Prueba que si {x } es covergete, etoces la sucesió { x } tambié es covergete. Es cierto el recíproco? ii Qué se puede decir de ua sucesió de úmeros eteros que es covergete? iv) Demuestra que toda sucesió covergete es acotada. Problema 3..2 Dadas las siguietes sucesioes e forma recurrete, escribe el térmio geeral y calcula el ite. a 0 = 0, a + = a + 2 ; i b 0 =, b + = 2b. Problema 3..3 Calcula los siguietes ites: ii a, a > 0), i 3/, a + b a + b, a, b > 0), iv) 2 ), a, b > 0), ) v) 2 +, v ), vi ) , vii 2. 3 Problema 3..4 Calcula los siguietes ites: e / e se / ) se π, i π se /, ii , iv) log!, 2 2 v), v! 2, vi , vii ) 2.

3 3 Sucesioes y series. 2 Problema 3..5 Calcula los siguietes ites: cos b ) + a se b ; i u a bu a + u, si u = 0, a > 0. Problema 3..6 Calcula los siguietes ites: se π k k=, i 2k ) /2, ii log k= k= k 2 2 se k. Problema 3..7 Sabiedo que a = l, halla a + a a log + ). Problema 3..8 Sea {a } ua sucesió de térmios positivos que verifica a ) = L. a Demuestra que =. i Demuestra que loga /) = L. a + Problema 3..9 Sea {a } ua sucesió de úmeros positivos que verifica = l. a Calcula, utilizado el criterio de Stolz, el ite 2 a a a 2 a. Problema 3..0 Demuestra que las siguietes sucesioes so moótoas, estudia si so acotadas, y calcula el ite caso de existir. 2, 2 2, 2 2 2,... i 2, 2 + 2, ,... ii u + = 3 + u 2, u 0 = 0. iv) u + = 3 + 2u, u 0 = 0. v) u + = u3 + 6, a) u 0 = /2, b) u 0 = 3/2, c) u 0 = 3. 7 Problema 3.. Se cosidera la sucesió defiida por a + = + 3a, a 0 = /2. Demuestra que es covergete y calcula su ite. a + i Calcula a. Problema 3..2 Sea la sucesió defiida por b + = b 2, co b 0 = 0. Comprueba que se trata de ua sucesió oscilate, sigob + b ) = sigob b ). i Calcula el posible ite l. ii Demuestra que se tiee b + l = 2 b l.

4 3 Sucesioes y series. 3 iv) Demuestra que efectivamete b = l. Idicació: ii b l = 2 ) l. Problema 3..3 Cosidera la sucesió defiida por c + = fc ), dode fx) = + x, c 0 = 0. Demuestra que es covergete mediate los pasos siguietes: Calcula el posible ite l. i Demuestra que si x [/2, ] etoces fx) [/2, ]. ii Comprueba que se tiee f x) k < para todo x [/2, ]. iv) Demuestra que c [/2, ] para todo. v) Demuestra la estimació c + l k c l para todo. Problema 3..4 Utiliza la técica del problema aterior co la sucesió y el itervalo [3, 0/3]. d + l i Calcula d l. d 0 = 2, d + = d, 0, Problema 3..5 Se cosidera la sucesió de úmeros reales defiida de forma recurrete x =, x = x + x ) + 2x. Demuestra que es covergete y calcula su ite. Problema 3..6 Describe el comportamieto de las sucesioes recurretes de los problemas ateriores, represetado e dos ejes cartesiaos cada par de térmios cosecutivos diagrama de la telaraña).

5 3 Sucesioes y series Series de úmeros reales Problema 3.2. Estudia la covergecia de las siguietes series de térmios positivos: iv) ) +, i 2 + ), v) 3 ) 2, ii 2 4 +, se 2 +, v se 2 ), vi arc se ), vii 3 2), ix) 3!, x) ), x + ) 2 3, xi + ) 2 e, xii xv log ), xiv) log + ), xvi 2 log ), xv) log, xvii [ 2 + ], log ) log. Idicacioes: e geeral se puede aplicar más de u criterio);, vii, x), x, xii, xiv), criterio de la raíz; ix), criterio del cociete; i, ii, iv), v), v, vi, xv), xv, xvi, xvii, comparació; xi, calcula el ite ver?? i). Problema Demuestra que la serie a 2 b ) 2 + es covergete si y sólo si a = b. Problema Estudia la covergecia de la serie + a) e a, segú los valores de a >. i La misma preguta para la serie a, segú los valores de a > 0.!!e ii La misma preguta para la serie, segú los valores de a IR. +a Idicacioes: i y ii utiliza la fórmula de Stirlig. Problema Estudia la covergecia absoluta y codicioal de las siguietes series alter-

6 3 Sucesioes y series. 5 adas: ) log, i seπ + /), ii ) arc tg /) 2, iv) ) arc tg ) 2, v) ) [ 2 ], v ) log + ), vi ) cos/)), vii ) loge + e ). Utilizado el desarrollo de Taylor de la fució arc tg x, estudia la cover- Problema gecia de la serie arc tg ). Problema Calcula cuátos térmios hay que tomar para aproximar las siguietes sumas co u error meor que 0 3 : ), i! 4. Problema Calcula la suma de las siguietes series: iv) =0, i + + ), v) 2, ii =0 [ ] + 2) log + ) , Problema Demuestra que la serie b 0, dode b {0,,..., 9} para y b 0 ZZ, =0 coverge. Qué represeta esta serie y cuál es su importacia? i Calcula la suma aterior para los casos: Problema a) b = 9, 0; b) b = { = 2k 2 = 2k +, k 0. Demuestra que la ecuació tg x = x tiee ua úica solució λ e cada itervalo 2 )π/2, 2 + )π/2), =, 2, 3, i Prueba que la serie es covergete. λ 2

7 3 Sucesioes y series. 6 Problema Sea la sucesió defiida por x + = + 2x, x 0 =. Demuestra que es covergete y calcula su ite. i Calcula los ites ii Estudia la covergecia de las series x + a), b) x x. a) x, b) =0 x 2. = Series de Taylor. Problema 3.3. Halla el itervalo de covergecia de las siguietes series de potecias: x 2 2, i!x, ii x 0, iv) x, v) 3 2x), v x 2) 2. Problema Desarrolla e serie de potecias la fució f k x) =, para k =, 2, 3. x) k Calcula el radio de covergecia y la suma de las siguietes series de pote- Problema cias: x, i + )2 x. =0 Desarrolla e serie de potecias, idicado el domiio de validez del desarro- Problema llo, las fucioes: fx) = se 2 x, i fx) = x, co a, b > 0, a + bx ii + x fx) = log, iv) fx) = x 2 x 2, v) fx) = ex2. Problema Calcula la suma de las siguietes series ii ) 2!, i 2, 2, iv) ) 2 +. Problema Sea C 0 u círculo de radio r. Obté u rectágulo Q 0, iscrito e C 0, de área máxima.

8 3 Sucesioes y series. 7 i Sea ahora C el círculo máximo iterior a ese rectágulo, cocétrico co C 0, e iscribe u rectágulo Q de área máxima e C. Calcula la suma de las áreas de la sucesió {C } =0 de círculos obteidos iterado el proceso. Problema Problema Dada la fució fx) = x, calcula los valores de f0), f) y f2).! Halla ua fució fx), desarrollable e serie de potecias, que verifique f x) = fx) + x, f0) = 2.