(Use el Criterio de la Integral) (Diga Si es Condicional o. absolutamente convergente)

Transcripción

1 Primer Parcial Matemáticas IV Series y Sucesioes. Determie si las siguietes series so covergetes (a) (Use el Criterio de la Itegral) (b) + 3 (Use el Criterio Básico de Comparació) (c) + ( ) (Diga Si es Codicioal o absolutamete covergete) 2. Teorema: Ua sucesió moótoma acotada es covergete. Demuestre que la suceció es covergete usado el teorema: { Sea N el úmero de moscas machos esterilizados. Si el úmero de moscas esterilizadas e la població a los días es: N + (, 9)N (, 9) N Y el objetivo a largo plazo del programa, es mateer 2 moscas machos esterilizados e la població. Cuátas moscas debe liberarse cada día? SUERTE!

2 Segudo Parcial Matemáticas IV Itegrales Impropias. Sea la fució de la desidad expoecial f(x) ke kx, si x, si x < Verifique que f(x), es ua fució de desidad de Probabilidad. Sugerecia: Demuestre que a) f(x), x R b) f(x)dx = 2. Para cierto tipo de bacterias, la fució de desidad de probabilidad de modo que x horas es la vida de ua bacteria elegida al azar está dada por: 6 e x/6, Si x, Si x < Calcule: P ([5, 25]) = 25 5 al azar viva etre 5 y 25 horas) e x/6 dx (Es decir, la probabilidad de que ua bacteria elegida P ([5, ]) (La probabilidad de que la bacteria viva meos de 5 horas) 3. Sea f(x) = x x x x 2 dx discotiua. Calcule: SUERTE!

3 Tercer Parcial Matemáticas IV Serie de potecia. Ecuetre el itervalo de covergecia de las siguietes series de potecia (a) + =2 2 + x (b) + = 3 2 (x + 2) + 2. Demuestre la represetació e serie de Mclauri de la expresió dada y determie su radio de covergecia f(x) = x 2 e x 3. Ecuetre ua represetacio e serie de potecia para la expresió dada, Halle el itervalo de covergecia. ( + x) 2 Sugerecia: Use la siguiete igualdad 4. Demuestre que: + x = x + x2 x ( ) x +..., si x < Para cualquier valor de a y b (a, b) = k= ( ) k a k b k SUERTE!

4 Exame Diferido Matemáticas IV Serie de potecia. Cosidere la serie de potecias Halle su radio de covergecia + = x Sea f la fució defiida por la serie de potecias del ejercicio a) Determie el domiio de f b) Escriba la serie de potecias que derive a f y obtega su domiio. 3. Obtega ua represetació e series de potecias de tg (x) Sugerecias: = x 2 + x 4 x ( ) x Si x < +x 2 4. Exprese como ua series de potecias e x: Sugerecias: + x Use la serie del Biomio. (Teorema del Biomio) 5. Se tiee 7 libros y sólo 3 espacios e ua biblioteca y se quiere calcular de cuátas maeras se puede colocar tres libros elegidos, etre los siete dados, supoiedo que o existe razoes para preferir alguo. SUERTE!

5 Sucecioes Taller I. Escriba los primeros cuatro elemetos de las sucesioes dadas y calcule su límite si es que existe: (a) { +, R = /2 (b) 2 { 2 +, R = diverge (c) { , R = 2 (d) { l() 2, R = (e) {ta(), (f) {si(), (g) { + ( π si 2 ), (h) {( + ), R = e /3 3 R = diverge Sugerecia: lím x (x + ) /x = e (i) { 2 /, R = (j) { ( ) /, R = 2 (k) { e, (l) { 2, R =

6 2. Diga si las siguietes sicesioes coverge o diverge. (a) { 3 + (b) { cos() (c) { 4 2 (d) { (e) { (f) { (g) { (h) { (i) {e (j) {( ) (k) {( ), (l) ( ) (m) { ( 2 + ) 3 +2 () { ( ) (ñ) { ( ) /, (o) {( ) (p) ( ) (q) { ( ) si() 5 + 5

7 3. Determie si las siguietes sucesioes so crecietes o decrecietes (a) { (b) { 2 ) 4 (c) { (d) {si(π) (e) { 3 (f) { + si 2 () (g) { (h) {! 5 + (i) {! 3 (j) { 2! ( + ) 2

8 Matemáticas IV Taller II Series Ifiitas Tabla de Derivadas f(x) f (x) x x (x) u + v u v + uv ( u v ) u v uv v 2 e x e x (x) a x (a = cher) a x l(a)(x) l(x) /x (x) si(x) cos(x)(x) cos(x) si(x)(x) ta(x) sec 2 (x)(x) si (x) x 2 (x) cos (x) x 2 (x) ta (x) + x 2 (x)

9 . Calcular las derivadas de las siguietes fucioes: (a) f(x) = x 5 2x 4 + 7x (b) f(x) = x2 (x + ) (c) f(x) = x5 + 4x 3 + 2x 5x 3 + 4x (d) f(x) = [l(x)]3 x (e) f(x) = x2 e x (f) f(x) = ( + 3x) 3 (g) f(x) = (e x + x) 2/x (h) f(x) = l(x + ex ) 3x (i) f(x) = si(x) (j) f(x) = si(3x 2 + ) (k) f(x) = cos2 (x) x (l) f(x) = x 2 3x + 2 (m) f(x) = ta(5x) () f(x) = cos(x) x 2 (ñ) f(x) = si(πx) (o) f(x) = si(2x) cos(x) 2. Calcular las derivadas de los siguietes fucioes: (a) (b) ( 4) +... (c) + ( ) ( ) (d) + e ( e 3) +...

10 (e), 37 +, ()... (f), 628 +, ()... (g) (h) (i) 2 3 ( ) ( 2) (j) ( + 3)( + 4)... (k) ( ) 2 + ( ) ( ) ( + )... (l) ( + 2) (m) () (ñ) (o) (p) 3 5 ( ) 8 + ( + ) ( 3 ) 4 ( ) + 3

11 (q) [( ) ( ) ] Exprese el decimal periódico como ua serie ifiita y ecuetre el úmero racioal que represeta: (a), 23 (b), 4653 (c), 57 (d), Problemas de Aplicació: (a) Ua pelota de goma se deja caer desde ua altura de mts. E cada rebote sube hasta la mitad de la altura máxima aterior. Calcule la distacia total que recorre la pelota ates de quedar e reposo. (Rpta3) (b) La trayectoria de cada oscilació después de la primera, del disco de u pédulo es, 93 de la trayectoria de la oscilació aterior (de u lado a otro). Si la trayectoria de la primera obscilació fuera de 56cm y la resistecia del aire lleva evetualmete al pédulo al reposo Qué distacia recorre el disco del pédulo ates de alcazar el reposo? (c) Los lados de u triágulo equilátero mide 4 uidades. Se costruye otro triágulo equilátero dibujado segmetos de recta que ue los putos medios de los ladoa del primer triágulo. Si éste proceso puede repetirse u úmero ilimitado de veces Cuál es el perimetro total de todos los triágulos que se forma? (d) E u programa para radicar ua plaga se libera cada dia N moscas machos esterelizados y el 9 % de ellos sobrevive al fializar el día. (i) Demuestre que el úmero de moscas esterelizadas e la població a los días es:

12 N + (, 9)N (, 9)N (ii) Si el objeto a largo plazo del programa es mateer 2 machos esterelizados e la població. Cuátas moscas debe liberarse cada día.

13 Matemáticas IV Taller III Series Ifiitas. Use el criterio de la itegral para determiar si la serie coverge o diverge: (a) (c) (e) (3 + 2), C (b) , D (d) l(), D (f) ( 2 + ) 3/2 4 + (2 5), C (g) 3 2 +, D (h) ( + )( + 2) 2. Use el criterio de comparació para determiar si la serie coverge o diverge: (a) (c) , C (b) 3, C (d) , C (), C (e) , D (f) 2 + cos(), C 2 (g) + 4, D (h) =2 43 5, C 3. Usado el criterio de la razó y de la raíz determie si las siguietes series coverge o diverge

14 (a) 3 + 2, C (b) =2 (l()) 2, C (c) 5 (3 + ), C (d) e, C (e), C (f)! arcta(), C 2 (g)! e, D (h) =2 2 +, C 4. Determie si la serie es absolutamete covergete, codicioalmete covergete o diverge. (a) ( ) l( + ), CC (b) ( ) 3 +, CC (c) ( ) 5 3 +, AC (d) cos( π) 6, AC 2 (e) ( ) =2 l(), D (f) ( ) si ( ), D (g) ( ), AC (h)! ( ) l(), CC (i) ( ) , D (j) ( 5), D

15 Matemáticas IV Taller IV Series Ifiitas. Determie si las siguietes itegrales impropias coverge o diverge cuado f es cotiua. (a) e x/3 dx (b) e x dx (c) x5 x2 dx (d) x2 x dx (e) 2 x dx (f) 5 dx x (g) x 2 e x dx (h) e x cos(x)dx (i) xdx 6 + x 2 (j) l(x)dx (k) 3 3dx x (l) xe x2 dx

16 2. Determie si las siguietes itegrales so covergetes o divergetes cuado f o es cotiua (a) dx x (b) 6 dx x 3/4 (c) 3 5 xdx x2 9 (d) 4 2 dx 6 x 2 (e) 4 xdx 6 x 2 (f) 4 dx (x + 3) 3 (g) dx x 3 (h) l(x)dx (i) 2 dx (x + ) /3 (j) +2 dx x x 2 (k) dx x 2 (l) 3 dy 3 y 2 ((ñ)) 2 xdx x (l) π/2 ta(σ)dσ

17 Matemáticas IV Taller V Serie de Potecias Ecuetre el itervalo de covergecia de las siguietes series de potecias () + = + 4 x, (2) + = x (3) + = 2 2 x, (4) + ( 3) (5) + ( ) x, (6) + l( + ) x (7) + =2 2 + x, (8) 4 x (9) + =2 l() 3 x, () + = + x 32 () + = + (x 4), (2) + (x 2) ( + ) (3) + = (x 2), (4) + = (x 5) 5

18 (5) + = (x + 4), (6) + = (x + 3) 2 + (7) + l() e (x e), (8) + ( ) (2x ) 6 (9) + = 3 + (3x + 4), (2) + ( ) 2 3 x (2) +! x, (22) + = ( + )! (x 5)

19 Matemáticas IV Taller VI Series de Potecias. Ecuetre ua represetació e serie de potecias para la expresió dada y determie el itervalo de covergecia (a) x (b) x (c) x 2 + x (d) x 2 3x 2. Ecuetre la represetació e serie de Mclauri de la expresió dada y determie su radio de covergecia (a) e x (b) e 2x (c) x 2 e x (d) xe 2x (e) x 2 si x (f) cos x 2 3. Sea S 5 el cojuto de 5 frutas distitas: S 5 = { Mazaa, Piña, Mora, Pera, Durazo Represetados por la siguiete otació: [Ma] := Mazaa, [Pi] := Piña [Mo] := Mora [D] := Durazo [Pe] := Pera (a) De Cuátas maeras se puede escoger 2 frutas de dichos cojutos? (Escoger todas las maeras) (b) De Cuátas formas puede ordearse los elemetos del cojuto S 5 Justifique Su Repuesta ( ) 4. Demuestre que (a + b) = k k= a k b k, para cualquier valor de a y b

20 Matemáticas IV Primer Trabajo Series y Sucesioes. Ua població de 35 pájaros vive e tres islas, Cada año, % de la població de la isla A emigra a la isla B, 2 % de la població de la isla B emigra a la isla C y 5 % de la població de la isla C emigra a la isla A. Sea A, B y C,las catidades de las aves que hay e el año e las islas A, B, y C respectivamete, ates de la imigració: (a) Demuestre que: A + =, 9 A B + =, A C + =, 95 C +, 5 C +, 8 B +, 2 B (b) Supoiedo que lím A, lím B, lím C existe, Calcule el úmero de pájaros que habrá e cada isla detro de muchos años. 2. Determie si la serie alterate coverge o diverge (Use el Criterio de Series Alterates) ( ) Determie si la serie es absolutamete covergete, codicioalmete covergete o diverge. ( ) l() 4. Teorema: Ua sucesió moótoma acotada es covergete a) Demuestre que la sucesió es covergete empleado el teorema ( 5 ) + 5 2

21 b) Ecuetre u ejemplo de ua sucesió que sea acotada y coverge pero o es moótoa. 5. Demuestre que si ua serie a absolutamete covergete etoces a es covergete.

22 Matemáticas IV Segudo Trabajo Itegrales Impropias. Diga si la siguiete itegral impropia coverge o diverge 2. Demuestre que la itegral impropia x( + x 2 ) dx diverge π cos(x)dx si(x) x( + x 2 ) 2 dx coverge y que 3. Demuestre que la fució de desidad expoecial defiida por ke kx, si x f(x) =, si x < es ua fució de desidad de probabilidad 4. La trasformada de Fourier es útil para resolver alguas ecuacioes difereciales. La trasformada coseoidal de fourier de ua fució f está dada por F [f(x)] = f(x) cos(5x)dx Para todo úmero real s para el que coverge la itegral impropia. Calcule F [e ax ] para a > 5. Sea l la recta coordeada co el orige e el cetro de la tierra. La fuerza de gravedad ejercida e u puto sobre L a ua distacia x de, está dada por f(x) = k/x 2, dode k = cher. Calculeel trabajo requerido para eviar a u objecto co peso de libras fuerza (lbf), desde la superficie de la tierra hasta u puto fuerza de su campo de atracció gravitatoria, a lo largo de la recta l. Use 64Km como el valor del radio de la tierra.

23 Matemáticas IV Tercer Trabajo Serie de Potecia. Utilice el criterio de la raíz a fi de determiar los valores de x para los cuales la serie de potecias es covergete. 2. Sea a) Determie que f es cotiua e + 3 x e t, t si t, si t = b) Obtega ua represetació e serie de potecias de c) Determie su radio de covergecia x f(t)dt d) Obtega la represetacio e series de potecias de: ex, Al difereciar térmio x a térmio la serie aterior demuestre que: + ( + )! = 3. a) Determie los 3 primeros térmios diferetes de de la serie de McLauri para ta(x) b) Utilice la respuesta (a) y la itegració térmio a térmio para obteer los 3 primeros térmios diferetes de de la serie de McLauri para l(si(x)) 4. a) Exprese 4 + x 2 como ua serie de potecias e x, obteiedo primero ua serie de potecias para 4 + x y reemplazado después x por x 2 b) Use el resultado de (a) para ecotrar el valor aproximado de /2 4 + x2 dx

24 5. Ecuetre la represetació e serie de McLauri de las siguietes fucioes: (a) e x (b) l( + x) (c) ta (x)