FACULTAD de INGENIERÍA Análisis Matemático A. TRABAJO PRÁCTICO N 6: Series numéricas - Series de potencias

Transcripción

1 FACULTAD de INGENIERÍA Aálisis Matemático A TRABAJO PRÁCTICO N 6: Series uméricas - Series de potecias a se sabe que su sucesió de sumas parciales {S } está dada por = ) De la serie + N. Calcule el carácter de la serie, y si es posible, su suma. + ) Dada la serie : ( ) = + a) Obtega los cuatro primeros térmios de la sucesió de sumas parciales. Determie ua fórmula para S c) Calcule el límite de la sucesió de sumas parciales Es covergete o divergete la serie? ) Dada la serie = a) Obtega los cuatro primeros térmios de la sucesió de sumas parciales. Determie ua fórmula para S c) Calcule el límite de la sucesió de sumas parciales Es covergete o divergete la serie? ) Dada la serie ( ) = a) Obtega los cuatro primeros térmios de la sucesió de sumas parciales. Determie ua fórmula para S c) Calcule el límite de la sucesió de sumas parciales Es covergete o divergete u oscilate la serie? 5) Aplicado el cotra recíproco del Teorema: Si la serie es covergete etoces, Verifique que las siguietes series o so covergetes. a) = c) = + = Págia

2 FACULTAD de INGENIERÍA Aálisis Matemático A 6) Aalice las siguietes series geométricas y, e caso de ser posible, calcule su suma. a) = - - = c) 8 = = - 7) Ua pelota se suelta desde ua altura de 6 metros y rebota alcazado e cada rebote / de la altura del rebote aterior. Si la pelota cotiúa rebotado idefiidamete, ecuetre la distacia total que recorre verticalmete. Nota: e la siguiete direcció puede verse ua aimació de este problema: 8) Exprese el úmero decimal como fracció: a), ,... 9) Idique si las siguietes afirmacioes so verdaderas o falsas. Justifique aalíticamete y/o co ua argumetació teórica. a) Si lim a = 5 etoces a = 5. Dada c) Como = su suma es = = = 7 lim = etoces coverge. = Si a coverge, a N etoces la serie = o coverge. = a e) Si creciete a es de térmios positivos etoces su sucesió de sumas parciales es = Págia

3 FACULTAD de INGENIERÍA Aálisis Matemático A ) Criterios de comparació Sea la serie ua serie de térmios positivos. ) Si la serie es ua serie de térmios positivos covergete y etoces coverge. ) Si la serie es ua serie de térmios positivos divergete y etoces diverge Sea y dos series de térmios positivos. ) Si etoces las dos series so covergetes o ambas series so divergetes. ) y si coverge, etoces coverge ) y si diverge, etoces diverge Determie si la serie de térmios positivos es covergete o divergete utilizado criterios de comparació. a) = + = + 5 c) = = e) = + f) = 5 + Págia

4 FACULTAD de INGENIERÍA Aálisis Matemático A ) Criterio del cociete (D Alambert) Sea la serie ua serie de térmios positivos, tal que etoces: ) La serie coverge cuado L < ) La serie diverge cuado L > ) Cuado L = el criterio o da respuesta. ) Criterio de la raíz (Cauchy) Sea la serie ua serie de térmios positivos, tal que etoces: ) La serie coverge cuado L < ) La serie diverge cuado L > ) Cuado L = el criterio o da respuesta. Determie si la serie de térmios positivos es covergete o divergete utilizado el criterio del cociete o el criterio de la raíz. a) + = = + c) e = (+ )! = + e) = (+ ) f) = (l ) g) 5 = ( + ) ) a) Aalice, segú los valores del parámetro p R + -{e }, el carácter de la serie : p! = Dada la serie determie los valores del parámetro p R + para los cuales = p la serie idicada coverge. Eucie el criterio que utiliza para su coclusió. Págia

5 FACULTAD de INGENIERÍA Aálisis Matemático A ). Series alteradas: so series de la forma Es decir sus térmios so alteradamete positivos y egativos. Teorema de Leibiz Si ua serie alterada ( o supera el primer térmio) ) es tal que etoces la serie coverge (su suma es positiva y Determie si la serie alterada es covergete o divergete. a) + ( ) = = ( ) c) ( ) = + = ( ) + e) + ( ) f) = = ( ) ) Teorema Si la serie co térmios positivos y egativos es tal que la serie compuesta de los valores absolutos de sus térmios coverge etoces la serie dada tambié coverge E símbolos:. Defiicioes: ) La serie es absolutamete covergete si la serie es covergete ) Si la serie coverge y la serie diverge etoces la serie se llama codicioalmete covergete Determie si la serie es absolutamete covergete, codicioalmete covergete o divergete. Págia 5

6 FACULTAD de INGENIERÍA Aálisis Matemático A a) + ( ) = ( ) + ) = (+ c) + ( )! = = ( ) + E este trabajo práctico se ha utilizado distitos criterios para aalizar la covergecia o divergecia de ua serie. Sólo co la práctica se alcazará la habilidad e su elecció, co frecuecia so aplicables varios criterios. El objetivo es apreder a elegir el camio más eficaz para aalizar la serie e cuestió. U esquema útil para escoger el más adecuado es pregutaros: Tiede a cero el térmio -ésimo? Si o tiede a cero la serie diverge. Observar si la serie es de u tipo especial: geométrica, armóica, serie-p, alterada. So aplicables los criterios del cociete y raíz? Puede compararse co algua de los tipos especiales? 5) Estudie la covergecia de las series. a) = = + c) = + ( ) l(+ ) = + (!) e) = f) = + 6) Calcule el radio de covergecia de la serie de potecias. a) x ( ) = + c) = (x) (x) = (x) =! 7) Halle el itervalo de covergecia de las series de potecias: a) = x = ( ) x Págia 6

7 FACULTAD de INGENIERÍA Aálisis Matemático A c) ( ) + x = x =! e) x ( )! f) = = ( ) + x g) = ( ) + ( ) x 5 h) 5 ( ) i) = + (x+ ) = j) ( ) (x ) (x ) = (+ ) 8) Decida si cada uo de los siguietes euciados es verdadero o falso. Si o lo es justifique o de u ejemplo que poga de maifiesto su falsedad. Si la serie de potecias = ecesariamete para x = a coverge para x =, etoces coverge x Si la serie de potecias = ecesariamete para x = a coverge para x = etoces coverge x Ejercicios propuestos 9) Aalice la Verdad o Falsedad de la siguiete afirmació. Justifique aalíticamete. Si a= b etoces a = 5 = b ) Estudie segú los valores del parámetro a >, el comportamieto de la serie y eucie el criterio utilizado para su coclusió ( + )! = a.! b = sea absolutamete covergete y eucie el criterio utilizado para su coclusió ) Determie los valores de b > para que la serie ( ) Págia 7

8 FACULTAD de INGENIERÍA Aálisis Matemático A ) Si a y = b so dos series covergetes de térmios positivos, emplee el criterio = de comparació por paso al límite para demostrar que la serie covergete. ) Demuestre que si Respuestas: lim a = L ( L ) etoces el radio de a x es / L = ab tambié es = Demuestre que si el radio de covergecia de la serie de potecias a x es R etoces el radio de covergecia de la serie de potecias ) La serie es covergete, lim S = ) a) S = /, S = /, S= /, S = / 5 S = + c) Lim S = Covergete. ) a) S = /, S =, S= /, S = S = c) Lim S = Divergete. ) a) S = S = S=, S = si impar S = si par c) No existe Lim S Oscilate. 5) a) Lim a = 6) Lim a = c) Lim a = a) Coverge, S = Coverge, S = / c) Diverge Coverge, S = + = = a x es R Págia 8

9 FACULTAD de INGENIERÍA Aálisis Matemático A 7) metros. 8) a) 5/9 /999 9) a) F F c) F V e) ) a) Coverge Coverge c) Diverge Diverge e) Diverge f) Coverge ) a) Coverge Coverge c) Coverge Coverge e) Diverge f) Coverge g) Diverge ) a) coverge si < p < e, diverge si p>e p> ) a) Coverge o coverge c) Coverge Coverge e) Coverge f) o coverge ) a) Absolutamete covergete Codicioalmete covergete c) Absolutamete covergete Codicioalmete covergete 5) a) Diverge Coverge c) Coverge Coverge e) Diverge f) Diverge 6) a) R= R= / c) R= / R = 7) a) (,) (, c) (,) coverge para todo x R e) Coverge para x= f) (,) g) (, h) 7, i) (-;) j) [;] Págia 9