11.1. Derivabilidad. Derivadas laterales. Continuidad y derivabilidad. f (a)

Transcripción

1 - Derivd III. L derivd +.. Derivbilidd. Derivds lterles. Continuidd y derivbilidd. L derivdes un límite f f(+h) f() () = lím y por tnto podemos plnternos los límites lterles h 0 h que este límite determin, los llmmos derivds lterles: f () = lím h 0 f(+h) f() h f +() = lím h 0 + f(+h) f() h qué representn gráficmente ls derivds lterles? Está clro que el único cmbio de y + o y respecto de y está en que hor sólo me cerco por un ldo. En mbos csos considermos ls secntes desde (, f()), pero sólo considero ls secntes desde el ldo izquierdo o desde el derecho. Los gráficos que vienen continución ilustrn lo que nos puede psr: Ambs derivds lterles existen y son igules f () = f + () f se dice derivble en x = f () f + () f () f no es derivble en x = Vemos que f () pero f + () = Al no ser continu en x= por l derech ls secntes por ese ldo se hcen verticles Recuerd que l rect tngente no se define como el límite de ls rects tngentes. L rect tngente es l rect límite de ls rects secntes desde el punto en cuestión. Cundo l función es continu y dulce en su trzo ls dos fmilis lterles de secntes tienden l mism rect tngente. L función tiene derivd (se dice que es derivble en x = ). L derivbilidd se trduce en gráfic dulce, sin picos. Cundo es continu pero present un pico en (,f()) ls dos fmilis lterles de secntes tienden distint rect tngente cuys pendientes corresponden ls derivds lterles f () y f + (). Al ser distints no existirá derivd. Cundo no es continu, tendremos que l menos un de ls fmilis de ls secntes tienden un rect verticl (pendiente ) sí que no v hber derivd. Conclusión: Si f no es continu, no es derivble. Cundo f es continu ls rects tngentes en puntos x con x o x + tienden ls rects tngentes en x = (observ los gráficos) y por tnto lím f (x) = f x () y lím f (x) = f x + + () y esto v ser un grn ventj: Conclusión: Si f es continu en x =, pr estudir l derivbilidd usremos los límites

2 2 c rfselecciones lím f (x) = f x () y lím f (x) = f x + + (), y no hrá flt usr el cociente incrementl que es más trbjoso, si no fuese continu no hy que seguir estudindo nd: no podrá ser derivble. f + () L rect es límite de tngentes pero tmbién límite de secntes. Podemos usr lím x +f (x) = f +() porque es continu. f + () Es rect es límite de tngentes no es límite de secntes. No podemos usr lím x +f (x) porque no es continu. Vemos que f + () porque ls secntes se vn hciendo verticles. No podemos usr lím x +f (x) porque no es continu. Este gráfico ilustr como pesr de cumplirse lím (x) = x f lím (x) (por ser ls dos tngentes prlels), l función en x +f cmbio no es derivble pues no hy continuidd. Ls derivds lterles (flss si no hy continuidd por el ldo en cuestión) clculds en l form lím f (x) y lím f (x) nos pueden llevr x x + un grve error, pues un de ls dos expresiones no es derivd, y que l función l menos por uno de los dos ldos no es continu. Todo esto podrímos resumirlo diciendo: Sólo si f es continu en x = l rect tngente como límite de secntes es l mism que l rect tngente como límite de tngentes. Aquí sí que el hecho de que lím (x) = lím (x) nos grntiz f () = f +() = f () pues hy continuidd. Ls derivds x f x +f lterles sí ls podemos clculr con ls expresiones lím f (x) y x lím (x) x +f Ejercicios: ). Coment l derivbilidd de ls funciones del rchivo Mil y un gráfics. { x 2 + si x < 0 2). Estudi l derivbilidd en x = 3, x = 0 y x = 4 de f(x) = 2x+ si x 0

3 - Derivd III 3 x 2 + 2x+ f(x) = observo que izquierd y derech de x = 3 f(x) = x 2 + es un función polinómic, continu y derivble, y f (x) = 2x existe derivd y vle f ( 3) = 6 En x = 4, del mismo modo, f (4) = 2, pero y en x = 0? f viene definid de forms distints lrededor de x = 0. Estudiemos primero si es continu en x = 0: lím = lím +) = 0+ = x 0 f(x) x 0 ( x2 lím = lím = 2 0+ = lím f(x) = } x 0 f es continu en x = 0 x 0 +f(x) x 0 +(2x+) f(0) = Como es continu, podrí ser derivble. Vemos hor si f es derivble en x = 0 En (,0) f(x) = x 2 + f (x) = 2x y en (0,+ ) f(x) = 2x+ f (x) = 2; por tnto f (x) = 2x 2 0 f (0) pues f (0) f + (0), o se f no es derivble en x = 0 f (0) = lím (x) = lím = 2 0 = 0 x 0 f x 0 ( 2x) f + (0) = lím (x) = lím x 0 +f x 0 +2 = 2 (Not I: Usmos los límites lterles de l derivd leglmente pues sbemos que f es continu en x = 0). (Not II: Dibuj l función y reflexion sobre los resultdos obtenidos y l gráfic). 3). Estudi l derivbilidd en x = 0 de f(x) = en l sección nterior. { x 2 + si x < 0 x 2 si x 0 y reflexionsobre lo comentdo.2. Estudio de l derivbilidd. Ls funciones de uso frecuente son, como muestrn sus gráfics, derivbles trozos. Tienen problems en puntos prticulres por no ser continus o, en lgún cso especil por tener lgún pico. Si nos preguntn por l derivbilidd y se en un punto concreto o en generl, estudiremos primero l continuidd siguiendo ls puts que y conocemos, pr seguir con l derivbilidd en quellos puntos en que l función resulte continu. Sirv de ejemplo el estudio de l derivbilidd de un vrid función definid trozos: 4). Estudi l derivbilidd de f(x) = x 2 + si x < 0 2 si x = 0 x+ si 0 < x < x si x y d f (x) Lo mejor es orgnizrnos primero con un esquem: Y comenzmos por comentr l continuidd y derivbilidd en los intervlos biertos donde sbemos que no vmos tener problems: En (,0), f(x) = x 2 +, función polinómic, continu y derivble, demás f (x) = 2x En (0,), f(x) = x+, función polinómic y por tnto continu y derivble, con f (x) = En (,+ ), f(x) = x, función polinómic y por tnto continu y derivble, siendo f (x) = f (x) = 2x 0 De est mner sólo nos qued estudir qué ps en los puntos que nos hemos dejdo. Se pegrán los trozos nteriores? lo hrán dulcemente? Veámoslo: Estudiemos qué ps en x = 0 lím f(x)? x 0 lím = lím +) = x 0 f(x) x 0 ( x2 lím = lím x 0 +f(x) x 0 +( x+) = lím x 0 f(x) = f(0) = 2 lím f(x) f(0) x 0

4 4 c rfselecciones Por tnto f(x) no es continu en x = 0, hy discontinuidd evitble, y por tnto tmpoco será derivble en x = 0 Vemos que ps hor en x = lím f(x)? x lím = lím x f(x) x ( x+) = 0 lím = lím x +f(x) x +(x ) = 0 Por tnto f(x) es continu en x = lím x f(x) = 0 f() = = 0 lím f(x) = f() x será derivble?, como es continu podemos usr pr comprobrlo l derivbilidd lterl: lím f (x) = f ()? x f () = lím (x) = lím = x f x ( ) f + () lím (x) = lím x +f x +() = f () CONCLUSIÓN: f(x) es continu en (,0) (0,+ ), en x = 0 present un discontinuidd evitble y es derivble en 2x si x < 0 (,0) (0,) (,+ ) siendo f (x) = si 0 < x < si x >.2.. Apéndice I: L regl del Mrqués de l Hôpitl El pdre de los hermnosbernoulli, Jkob y Johnn, creísber bien lo que les ib cd uno de sus hijos. A Jkob l teologí y Johnn l medicin. L verdd es que no certó con ninguno. Por hí los encuzó y por esos cminos comenzron cd uno en l universidd de Bsile. Pero l trcción de l mtemátic fue tl que, después de termindos los estudios prescritos por su pdre, ést les bsorbió completmente y en ell descollron extrordinrimente. En 962, en un vije que Johnn hizo Prís, conoció un joven mrqués, G.F.A. de l Hôpitl, entusismdo con el nuevo cálculo infinitesiml. Éste, prte de recibir lecciones de Johnn Bernoulli, firmó con él un contrto por el que Johnn, de vuelt Bsile, cmbio de un sueldo regulr, se comprometí comunicr l mrqués sus descubrimientos y el mrqués podrí hcer de ellos el uso que le precier. El mrqués escribió en 696 un mgnífico libro, Análisis de los infinitésimos, grcis l yud de Johnn Bernoulli, libro que tuvo un éxito extrordinrio durnte todo el siglo XVIII y h hecho psr l mrqués l histori. Este nunc pretendió hcerse con l pternidd de los resultdos que publicb en él, sino que reconoce clrmente el mérito de Bernoulli. De tods forms, un de ls herrmients más útiles pr hllr límites de expresiones indeterminds 0 0 llev el nombre de regl de l Hôpitl. Dice sí: Si dos funciones f y g cumplen f() = 0 y g() = 0, y el límite lím x f (x) g (x) = L f(x) entonces se verific tmbién lím x g(x) = lím f (x) x g (x) = L senx Por ejemplo: lím = 0 pero si derivmos numerdor y derivmos denomindor obtenemos: x 0 x 0 cosx lím = cos0 senx = plicndo L Hospitl lím = x 0 x 0 x Al morir l Hôpitl, Johnn Bernoulli reclmó pr sí el mérito de quell regl. Ndie le creyó. Más delnte el descubrimiento de l correspondenci entre Bernoulli y el mrqués h puesto ls coss en su lugr.

5 - Derivd III 5 Demostrción en un cso simplificdo: Hemos definido l derivd en x = como el límite cundo h 0 f () = lím h 0 f(+h) f() h pero si llmmos x = +h h = x y seránequivlentesh 0yx porloque f () = lím x f(x) f() x y sí prece definid muy frecuentemente. Supongmos f y g tles que f() = f(b) = 0 y lím x f(x) g(x) = [ ] 0 0 f(x) tendremos lím x g(x) = lím f(x) 0 x g(x) 0 = lím f(x) f() x g(x) g() = lím x x f (x) g (x) = L f(x) f() x g(x) g() x x = lím x f (x) g (x) = L legl, pues hemos dividido rrib y bjo por x 0 pues recordrás que l efectur un límite cundo x, x se cerc, pero sin tocr. Not importnte: L regl tmbién es plicble ls indeterminciones del tipo Vemos con qué fcilidd se puede plicr l Hôpitl: Ejercicios: e x 5). Hll el límite lím x 0 x e x [ ] 0 e x lím = x 0 x 0 x 0 = lím e x = x 0 x Recuerd que no se trt de l derivd de un cociente sino de f 6). Clcul lím x 0 cosx x cosx lím = x 0 x 7). Hll el límite lím x 0 + ln(x+) x ln(x+) lím = x 0 + x e x 8). Clcul lím x + x 2 e x lím x + x 2 = [ ] 0 senx cosx = 0 lím = 0 0 x 0 x 0 x [ ] 0 0 x 0 + x+ [ ] + e x + x + 2x = g ln(x+) = lím = x 0 + x [ ] + e x?... + x + 2 e x = + lím x + x 2 = + (El límite nterior ilustr cómo l exponencil puede con culquier polinomio se del grdo que se.) lnx 9). Clcul lím x + x lnx lím x + x = [ ] + x + x + = lím x + x = 0 lím lnx x + x = 0 (El límite nterior ilustr cómo el logritmo pierde con culquier polinomio se del grdo que se.)

6 6 c rfselecciones Límites que nos costbn trbjo se simplificn grcis l Hôpitl: 0). Hll lím x 3 x 2 5x+6 x 2 2x 3 lím x 3 x 2 5x+6 x 2 2x 3 = [ ] 0 2x 5 0 x 3 2x 2 = 4 lím x 2 5x+6 x 3 x 2 2x 3 = 4 (Recuerd que el límite nterior nos obligb descomponer los polinomios. Ahor es más rápido y sencillo.)

7 - Derivd III 7.3. Curvtur: Concvidd, convexidd y puntos de inflexión Comenzmos prtir de un función f(x) derivble y pr l que tmbién existe f (x). Cundo ls rects tngentes quedn siempre por debjo de l gráfic, f se dice cóncv hci rrib o simplemente cóncv. Si observs con tención el gráfico, verás que ls pendientes de ls tngentes vn creciendo desde muy negtivs l izquierd hst muy positivs l derech, es decir f es creciente, luego su derivd será (f ) = f > 0 Silsrectstngentesquednsiempreporencimdelgráfic,f sedicecóncvhcibjoosimplemente convex. Si observs con tención el gráfico, verás que ls pendientes de ls tngentes vn disminuyendo desde muy positivs l izquierd hst muy negtivs l derech, es decir f es decreciente, luego su derivd será (f ) = f < 0 En los puntos en que hy cmbio de cóncv convex o vicevers l tngente trvesrá l gráfic y tendremos un punto de inflexión. Ls posibles inflexiones estrán entonces entre los ceros de f, pues l cmbir el sigo de f est no tendrá más remedio que nulrse. Pero ojo!, recuerds que ser cero de l derivd no grntizb ser extremo?, lo mismo ps con los ceros de f, hy que confirmr que son inflexiones estudindo el signo de f. Ls tngentes siempre por Ls tngentes siempre por L tngente en (,f() debjo de l gráfic. encim de l gráfic. trvies l gráfic. f se dice CÓNCAVA. f se dice CONVEXA. en x = hy INFLEXIÓN. Ejercicios: ). Estudi curvtur e inflexiones de y = x 3 3x 2 y = 3x 2 6x y = 6x 6 (posible inflexión x = ) y = 6(x ) 2). Estudi curvtur e inflexiones de y = 2x2 x 2 + y = 4x (x2 +) 2x 2x 2 (x 2 +) 2 = 4x3 +4x 4x 3 (x 2 +) 2 = 4x (x 2 +) 2 Convex Cóncv +++ Inflexión y = 4 (x2 +) 2 2 (x 2 +) 2x 4x = 4x2 +4 6x 2 (x 2 +) 43 (x 2 +) 3 = 2x2 +4 (x 2 +) 3 = 2 ( x 2 3) (x 2 +) 3 = ( )( ) 2 x+ 3 x 3 (x 2 +) 3 posibles inflexiones x = 3 0,58, 3 0,58

8 8 c rfselecciones y +++ 0,58 0,58 Inflex Inflex 3). Estudi curvtur e inflexiones de y = x 4 ojo!, el denomindor x 2 + no se nul nunc. y = 4x 3 y = 2x 2 (posible inflexión x = 0) y = 2x No hy inflexión. Es siempre cóncv. 4). Estudi curvtur e inflexiones de y = x x 2 y = x2 2x (x ) (x 2 ) 2 = x 2 2x(x ) = x+2 x 43 x 3 y = x3 3x 2 ( x+2) (x 3 ) 2 = x 3 3 x 2 ( x+2) = 2x 6 x 64 x 4 = 2(x 3) x 4 posible inflexión x = 3 y Inflex 5). Estudi curvtur e inflexiones de y = x2 x y = 2x (x ) x2 (x ) 2 = 2x2 2x x 2 (x ) 2 = x2 2x (x ) 2 y = (2x 2) (x ) 2 2 (x ) (x 2 2x) (x ) 43 = 2x2 2x 2x+2 2x 2 +4x (x ) 3 = No hy posibles inflexiones (el numerdor no se nul) Aunque hy cmbio de signo en y, no es en un inflexión, sino en un síntot verticl. Estudi l curvtur e inflexiones de: 2 (x ) 3 6). y = 3x 2 2x+5 7). y = x 3 + 8). y = x 3 6x 2 +8x 9). y = xe x 20). y = ln(x+) 2). y = x 3 3x+4 22). y = x 3 3x 23). y = x 2