PROGRAMACIÓN LINEAL. x 0, y 0, hallar las coordenadas de los puntos en los que la función

Transcripción

1 PROGRAMACIÓN LINEAL 1. En la región determinada por 2,,,, hallar las coordenadas de los puntos en los que la función f (, ) 3 4 alcanza su valor mínimo máimo. 2. Se considera la función f (, ) 4, sujeta a las restricciones: (a) Representar la región del plano determinada por el conjunto de restricciones. (b) Calcúlese los puntos de dicha región en los que la función f (, ) alcanza su valor máimo su valor mínimo. 3. Hallar el máimo de la función f (, ) 7 5 sujeto a las siguientes restricciones: 2 ; 2 ; 3 ; 6. Indicar también el punto donde la función alcanza dicho valor máimo. 4. Hallar el máimo el mínimo de la función f (, ) sujetos a las siguientes restricciones: 3 12 ; 2 6 ; ;. Indicar también los puntos donde la función f alcanza dichos valores máimo mínimo Minimizar la función F(, ) 4 sobre la región delimitada por Dada la función g(, ) las restricciones 1 1, hallar: 5 (a) Los pares (, ) para los que la función g (, ) toma sus valores máimo mínimo. (b) Determinar los valores máimo mínimo de g (, ).

2 7. Hallar el mínimo de la función f (, ) 5 7 sujeto a las siguientes restricciones: 8 ; 2 8 ; 5 ; ;. Indicar también el punto donde la función alcanza dicho valor mínimo. 8. Considérese la región del plano definida por las condiciones: 1 ; 1 ; 3 ; ;. Se pide: (a) Dibujar la región. (b) Determinar los puntos de dicha región en los que la función alcanza sus valores máimo mínimo. (c) Calcular dichos valores máimo mínimo. f (, ) 7 9. Dibujar la región definida por las siguientes desigualdades determinar en ella el punto en el que la función F(, ) 2 toma el valor máimo Dibujar la región definida por las siguientes desigualdades determinar en ella el punto en el que la función F(, ) toma el valor máimo Minimizar la función z 3 4, sujeta a las restricciones Consideremos el recinto 1. Hallar los puntos del recinto que hacen 2 máima o mínima la función z 3.

3 13. Dibujar el recinto del plano formado por los puntos (, ) que verifican el 8 32 sistema de inecuaciones lineales: 5 2 2, determinar los puntos de dicho 3 3 recinto que hacen máima la función F (, ). 14. Minimizar la función z 3 4 sujeta a las siguientes restricciones: Dibujar la región definida por las siguientes desigualdades determinar en ella el punto en el que la función F(, ) 6 toma su valor máimo Calcular los puntos del recinto 2 que hacen mínima o máima la 2 función z 2. Cuántas soluciones ha? Calcular los puntos del recinto 2 que hacen mínima o máima la función z. Cuántas soluciones ha?. 18. Describir mediante un sistema de desigualdades la región interior del polígono conveo que tiene los vértices en los puntos O=(,), A=(,4), B=(4,), C=(3,3). 19. Determinar el valor de a b para que la función objetivo F (, ) adquiera su valor máimo en el punto (3,2) de la región definida por las inecuaciones:,, 3 a, b. 2. Una empresa de automóviles tiene dos plantas P Q de montaje de vehículos en las que produce tres modelos A, B C. De la planta P salen semanalmente 1 unidades del modelo A, 3 del B 15 del C. DE la planta Q salen semanalmente 2 unidades del modelo A, 2 del B 7 del C. La firma necesita al menos 8 unidades de A, 16 de

4 B 18 de C. Si el gasto de mantenimiento de cada planta es de 6 millones de pesetas semanales, determinar el número de semanas que ha de funcionar cada planta para que el coste de producción sea mínimo. 21. Una elaboradora industrial de mermelada puede envasar dos tipos de contenedores de mermelada, que denotaremos A B. Ambos tipos contienen dos ingredientes: azúcar fruta, la elaboradora dispone de 4 kg. de azúcar 9 kg. de fruta. Un contenedor de mermelada de tipo A requiere 5 kg. de azúcar 1 kg. de fruta, mientras que uno del tipo B requiere 1 kg. de azúcar 9 kg. de fruta. Si por cada contenedor del tipo A, la elaboradora gana 2 ptas. 1 ptas. por cada uno del tipo B, hallar cuántos debe envasar de cada tipo para conseguir una ganancia máima (Puede ocurrir que el último envase no quede lleno). 23. Una agencia de viajes vende paquetes turísticos para acudir a la final de un campeonato de fútbol. La agencia está considerando ofrecer dos tipos de viajes: el primero de ellos (A) inclue desplazamiento en autocar para dos personas, una noche de alojamiento en habitación doble cuatro comidas. El segundo (B) inclue desplazamiento en autocar para una persona, una noche de alojamiento (en habitación también doble) dos comidas. El precio de venta del paquete A es de 15 pesetas el del paquete B es de 9 pesetas. La agencia tiene contratadas un máimo de 3 plazas de autobús, 2 habitaciones dobles 56 comidas. El número de paquetes del tipo B no debe superar a los del tipo A. La empresa desea maimizar sus ingresos. Se pide: (a) Epresar la función objetivo. (b) Escribir mediante inecuaciones las restricciones del problema representar gráficamente el recinto definido. (c) Determinar cuántos paquetes de cada tipo debe vender la agencia para que sus ingresos sean máimos. Calcular dichos ingresos. 24. Un artesano fabrica collares pulseras. Hacer un collar le lleva dos horas hacer una pulsera una hora. El material de que dispone no le permite hacer más de 5 piezas. Como mucho, el artesano puede dedicar al trabajo 8 horas. Por cada collar gana 5 ptas. por cada pulsera gana 4 ptas. El artesano desea determinar el número de collares pulseras que debe fabricar para optimizar sus beneficios. (a) Eprésese la función objetivo las restricciones del problema.. (b) Represéntese gráficamente el recinto definido.

5 (c) Obténgase el número de collares pulseras correspondientes al máimo beneficio. 25. Una empresa que sirve comidas preparadas tiene que diseñar un menú utilizando dos ingredientes. El ingrediente A contiene 35 g de grasas 15 Kilocalorías por cada 1 g de ingrediente, mientras que el ingrediente B contiene 15 g de grasas 1 Kilocalorías por cada 1 g. EL coste es de 15 ptas. por cada 1 g del ingrediente A 2 ptas. por cada 1 g del ingrediente B. El menú a diseñar debería contener no más de 3 g de grasa al menos 11 Kilocalorías por cada 1 g de alimento. Se pide determinar las proporciones de cada ingrediente a emplear en el menú de manera que su coste sea lo más reducido posible. (a) Indíquese la epresión de las restricciones la función objetivo del problema. (b) Represéntese gráficamente la región delimitada por las restricciones. (c) Calcúlese el porcentaje óptimo de cada ingrediente a incluir en el menú. 26. Los alumnos de un instituto pretenden vender dos tipos de lotes, A B, para sufragarse los gastos del viaje de estudios. Cada lote de tipo A consta de una caja de mantecados cinco participaciones de lotería; cada lote de tipo B consta de dos cajas de mantecados dos participaciones de lotería. Por cada lote del tipo A vendido los alumnos obtiene un beneficio de 1225 ptas. por cada lote de tipo B de 125 ptas. (a) Por razones de almacenamiento, pueden disponer a lo sumo de 4 cajas de mantecados. Los alumnos cuentan con 12 participaciones de lotería desean maimizar sus beneficios. (b) Determinar la función objetivo eprésese mediante inecuaciones las restricciones del problema. (c) Cuántas unidades de cada tipo deben vender los alumnos para que el beneficio obtenido sea máimo?. Calcúlese dicho beneficio. 27. Un hipermercado quiere ofertar dos clases de bandejas: A B. La bandeja A contiene 4 gramos de queso manchego, 16 gramos de roquefort 8 gramos de camembert; la bandeja B contiene 12 gramos de cada uno de los tres tipos de queso anteriores. Para confeccionarlas dispone de 1,4 kilos de queso manchego; 17,6 kilos de roquefort 11,2 kilos de camembert. El precio de venta es de 58 pesetas la bandeja A 732 pesetas la bandeja B. El hipermercado desea maimizar los ingresos. (a) Epresar la función objetivo.

6 (b) Escribir mediante inecuaciones las restricciones del problema representar gráficamente el recinto definido. (c) Determínese el número de bandejas de cada clase que debe vender para que los ingresos obtenidos sean máimos. Calcúlense dichos ingresos. 28. En una consulta médica, una visita rutinaria de un paciente requiere 1 minutos del personal de enfermería, 5 minutos de los de médicos 5 minutos de laboratorio. Una visita ehaustiva requiere 5 minutos del personal de enfermería, 25 minutos de los médicos 1 minutos de laboratorio. En una semana, el personal de enfermería dispone de 625 minutos, los médicos de 11 el laboratorio de 5. La consulta gana 3 ptas. por cada visita rutinaria 5 ptas. por cada visita ehaustiva. (a) Encontrar dibujar la región factible decidir razonadamente si la consulta puede realizar 45 visitas rutinarias 35 ehaustivas cada semana. (b) Determinar el número de visitas de cada clase que hace máimo el beneficio. 29. Un fabricante de papel utiliza pulpa de papel usado madera para hacer dos tipos diferentes de papel. Una tanda de papel del tipo A se hace con 18 kg. de pulpa de papel usado 4 kg. de madera, mientras que una tanda de papel de tipo B se hace con 15 kg. de pulpa de papel usado 1 kg. de madera. El fabricante dispone de 66 kg. de pulpa de papel usado de 1 kg. de madera. Una tanda de papel de tipo A produce un beneficio de 5 ptas., mientras que una del tipo B produce 25 ptas. Calcular la cantidad de tandas de cada tipo de papel que deberá fabricarse para obtener el máimo beneficio posible. Determinar dicho beneficio máimo. 3. Un cinéfilo dispone de 2 ptas. a la semana para ir al cine. Las salas donde puede ver solamente una película cuestan 4 ptas., mientras que las que ofrecen dos películas cuestan 3 ptas. Si desea ir al menos una vez a las salas más caras, cómo debe distribuir su asistencia a ambos tipos de locales para poder ver el maor número de películas a la semana. En tal caso, le sobra dinero?. 31. Un almacén de confección que dispone de 7 camisetas, 12 camisas 11 pantalones, hace liquidación de eistencias. Quiere ponerlas a la venta en dos tipos de lotes: el lote A formado por 2 camisa, 1 pantalón 1 camiseta, se venderá a 6 ptas. cada uno; el lote B, formado por 1 camisa, 2 pantalones 1 camiseta, se venderá a 7 ptas. cada uno. Calcular cuántos lotes conviene que se haga de cada clase para obtener el máimo de ganancias cuánto dinero ingresarán por su venta.

7 32. Para fabricar chasis de un modelo de automóvil se dispone de 1 m 2 de chapa 14 m 2 de pintura. Se fabrican dos tipos de chasis, uno de ellos con una sola capa de pintura el otro con dos. Cada chasis tiene 2 metros cuadrados de superficie las ganancias netas son de 3 ptas. por metro cuadrado para la chapa 5 ptas. Por metro cuadrado para la pintura. Qué cantidad de cada tipo de chasis conviene fabricar para que la ganancia sea máima?. 33. Un fabricante de salchichas utiliza tres ingredientes de los que posee las siguientes cantidades: 5 kg. de carne de ternera, 3 kg. de carne de cerdo 4 kg. de relleno. La receta para hacer salchichas de ternera requiere 1 kg. de carne de ternera por paquete. La receta para hacer salchichas normales necesita medio kg. de carne de cerdo, un cuarto de kilo de carne de ternera un cuarto de kilo de relleno. El beneficio que se obtiene con las salchichas normales es de 7 ptas. por cada paquete vendido con las salchichas de ternera de 8 ptas. Cuántos paquetes de cada clase debe fabricar para obtener el máimo beneficio posible?. 34. Una empresa organiza a su personal en dos categorías: primera segunda. Cada trabajador de primera fabrica tres objetos diarios controla la calidad de dos, cobrando 1 ptas. diarias. Cada trabajador de segunda cobra 8 ptas. diarias, fabrica des objetos diarios controla la calidad de cuatro objetos cada día. Determinar el coste mínimo del personal necesario para fabricar controlar un número mínimo de 3 objetos al día. Determinar el personal requerido para ello su distribución por categorías. 35. Una compañía posee dos minas: la mina A produce diariamente 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media 5 de baja calidad; la mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita, al menos, 8 toneladas de mineral de alta calidad, 16 toneladas de mineral de calidad media 2 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2 ptas. en cada mina, cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?. 36. Una fábrica produce mesas sillas. Cada mesa da un beneficio de 1 ptas. cada silla de 4 ptas. Cada mesa requiere 3 kilos de madera cada silla 1 kilo. La fábrica dispone de 21 toneladas de madera por semana. Sabiendo que por cada cuatro sillas se debe fabricar al menos una mesa, determinar la producción semanal de mesas sillas que da lugar al beneficio máimo. Calcular dicho beneficio máimo.

8 37. Un club de jubilados quiere organizar un viaje para 2 socios. Contratan una agencia que dispone de 4 microbuses de 23 plazas 5 autobuses de 5 plazas, pero sólo dispone de 6 conductores. El alquiler de los autobuses es de 16 ptas. Por día el de los microbuses, 7 ptas. En estas condiciones, cómo deben hacer para que el costo del viaje sea el menor posible?. Razonar la respuesta. 38. Un taller artesano produce sillas silloncitos. Para su construcción tiene que pasar por las secciones de carpintería tapicería, que funcionan durante un máimo de 9 8 horas diarias respectivamente. Los silloncitos necesitan 1 hora de trabajo en carpintería 2 en tapicería. En cambio, las sillas requieren 3 horas de carpintería 1 de tapicería. Sabiendo que el beneficio que se obtiene de las sillas es el doble del obtenido con los silloncitos, calcular la producción diaria de cada tipo para maimizar el beneficio. 39. Los precios de venta de dos productos A B son 3 ptas. 2 ptas. por kilo, respectivamente. La producción por día en kilos de A es maor o igual que la tercera parte de la producción de B, menor o igual que el triple de la B. La suma de kilos producidos entre ambos productos cada día no puede superar los 12 kilos. Determinar el números de kilos que se han de fabricar cada día ce cada producto A B, para maimizar el beneficio. Calcular dicho beneficio. 4. Una empresa produce dos artículos A B tiene dos fábricas. En la primera, producir una unidad del artículo A cuesta 6 días-operario una del B cuesta 2 díasoperario, estando limitada la producción total a 3 días-operario. En la segunda fábrica producir una unidad del A cuesta 2 días-operario una del B también 2 días-operario, estando limitada la producción a 14 días-operario. Sabiendo que el beneficio por unidad del artículo A es de 6 ptas. del B de 3 ptas. por unidad, calcular la producción de A B para obtener un beneficio máimo. 41. Una cooperativa debe construir al menos 45. metros cuadrados de viviendas. Debe construir viviendas de dos tipos: las de tipo A son de 15 metros cuadrados su coste es de 1 millones de pesetas. Las de tipo B tienen una superficie de 25 metros cuadrados su coste es de 2 millones de pesetas. En total no pueden construirse más de 25 viviendas de las de tipo B se hará, a lo más, el doble de las de tipo A. Cuántas deben edificarse de cada tipo para que el coste sea mínimo?. 42. Una empresa tiene dos centros de producción que fabrican tres tipos de productos: A, B C. Sus compromisos comerciales les obligan a entregar semanalmente al menos 18 unidades de l tipo A, 16 del tipo B 6 del tipo C. El primer

9 centro de producción le cuesta diariamente 1 6 pesetas produce, también diariamente, las siguientes unidades: 9 de A, 4 de B 1 de C. El segundo centro de producción le cuesta diariamente pesetas produce 3 unidades de A, 4 de B 3 de C. Cuántos días por semana debe trabajar cada centro de producción para que, cumpliendo sus compromisos comerciales, se reduzcan al mínimo los costes de producción?. 43. Un supermercado quiere promocionar una marca desconocida D de aceites utilizando una marca conocida C. Para ello hace la siguiente oferta: Pague sólo a 25 ptas. el litro de aceite C a 125 ptas. el litro de aceite C siempre cuando: 1) Compre en total 6 litros o más 2) La cantidad de aceite C esté comprendida entre la mitad el doble de la cantidad comprada de aceite D. Si disponemos de un máimo de 3125 ptas., se pide: (a) Representar gráficamente los modos eistentes de acogerse a la oferta. (b) Acogiéndose a la oferta, cuál es la mínima cantidad de aceite D que podemos comprar? cuál es la máima de C?. 44. Una conservera dispone diariamente de 35 Kg. de mejillones que debe envasar en latas de dos tamaños: normal familiar. Las latas de tamaño normal llevan 14 g de mejillones suponen un beneficio de 3 ptas. por lata. Las de tamaño familiar llevan 44 g de mejillones su beneficio es de 1 ptas. por lata. Por razones de producción, al menos el 7% de las latas deben ser de tamaño familiar. Cuál debe ser la producción diaria para que el beneficio sea máimo?. 45. Un orfebre dispone de 1 kg. de oro. Recibe un encargo por el que debe confeccionar medallas de dos tamaños el número de medallas pequeñas tiene que ser al menos el doble de las grandes. Además, esas medallas deben contener 1 5 gramos de oro respectivamente. El orfebre sabe que la confección de cada medalla grande le reporta una ganancia de cuatro tercios de la que obtiene con cada medalla pequeña. Cómo se tiene que organizar para obtener el maor beneficio?. 46. Se pretende confeccionar bocadillos de jamón queso, reforzando algunos con el doble de jamón. Cada bocadillo normal contiene 5 gramos de queso 5 de jamón. Se dispone de 1 kilos de queso 14 de jamón. Cada bocadillo normal reporta 12 ptas. de ganancia 19 los reforzados. Qué cantidad de cada tipo de bocadillo conviene confeccionar para obtener la máima ganancia?. 47. Una fábrica de muebles ha de decidir su producción de un modelo de silla S un modelo de mesa M. Cada silla requiere 1 dm 3 de madera 8 horas de trabajo de los

10 ebanistas. Cada mesa eige 3dm 3 de madera también 8 horas de trabajo de los ebanistas. En el almacén se dispone de 5 dm 3 de madera. La plantilla de ebanistas debe trabajar eactamente 24 horas mensuales. La ganancia de la fábrica es de 4 ptas. por cada silla 12 ptas. por mesa. Suponiendo que la producción está asegurada que los ebanistas dedican eclusivamente a fabricar sillas S las mesas M, qué número de sillas de mesas han de fabricar el próimo mes para que las ganancias sean máimas?.