INGENIERÍA EN INFORMÁTICA MODELOS ABSTRACTOS DE COMPUTO I

Transcripción

1 INGENIERÍA EN INFORMÁTICA MODELOS ABSTRACTOS DE COMPUTO I 18 de enero de 2008 APELLIDOS Y NOMBRE: DURACIÓN: 3 hors. SOLUCIÓN del EXAMEN L primer pregunt es un test, que const de 8 supregunts corts y puntú 2,5 Dee contestrse en l propi hoj que se d. Pregunt [Puntos] 1.1 [0,3] Consider el lenguje L = {x {0,1}*: x 1 > 2}. Indic si ls siguientes firmciones son cierts o flss: ) L L Fls ) L* Ciert c) 0101 L {01} Fls 1.2 [0,2] Se L un lenguje culquier. Señl cuál de ls siguientes firmciones es fls (sólo un lo es) : ) L + = L L* ) x (x L x L + ) c) L + = L* - {ε} Fls l respuest c) cundo ε L d) L + = L n n [0,3] Di si ls siguientes firmciones son cierts o flss según el tipo de utómt M = (Q,Σ,q 0,δ,F) l que se refiern: ε-afn AFN ) ε L(M) q 0 F Fls Ciert ) δ(q,s) = δ*(q,s) con s Σ Fls Ciert c) x L(M) δ*(q 0,x) F con x Σ* Ciert Ciert 1.4 [0,2] Resuelve ls siguientes ecuciones sore expresiones regulres: ) X = X + X X X = ( + )X L X = ( + )* = ) X = X X = X ( ) L X = ()* ( )

2 1.5 [0,2] Di cuál de ls siguientes definiciones se corresponde con l función de trnsición de los utómt con pil definidos en clse. ) δ: Q Σ ( Γ { }) (Q Γ*) L definición ) ) δ: Q Σ ( Γ { } {ε}) Q Γ* c) δ: Q Σ ( Γ { }) Q Γ* d) δ: Q Σ Γ { } (Q Γ*) 1.6 [0,3] Siendo G=(N,, S, P) con N={S,A,B,C} y ={}, indic pr cd un de ls regls de P si es posile o no encontrrl en un grmátic del tipo indicdo (GRD= Grmátic regulr l derech, GIC= Grmátic independiente del contexto, FNG= Form norml de Greich). GRD GIC GIC en FNG ) A BC No Si Si ) A BC No Si No c) A ε Si Si No 1.7 [0,6] Clsific los siguientes lengujes indicndo si son regulres (R) o no y si son independientes de contexto (IC) o no: R IC ) { i j k : i=j=k} No No ) { i j k i=k} No Si c) { i j k : i,j>0} Si Si 1.8 [0,4] Di si ls siguientes firmciones son cierts o flss. ) Todo utómt con pil no determinist tiene un utómt con pil determinist equivlente. ) Ningún lenguje independiente de contexto es regulr c) L derivción de un plr por un grmátic en FNG tiene tntos psos como su ceptción por un AP. d) Si G es un grmátic tl que ε L(G), entonces G no puede tener producciones nuls. ) Fls ) Fls c) Ciert d) Fls

3 2. [1 pto] Construye un expresión regulr que denote el lenguje L = { w {,,c} * : w 1}. Es imprescindile incluir revemente el rzonmiento utilizdo. Rzonmiento: L puede definirse como l unión de dos lengujes L = L1 L2 con L1 = {w {,,c}* : w = 0} y L2 = { w {,,c}* : w > 1} ( c)* denot L1 y un solución es : ( c)*..( c)*..( c)* denot L2, por tnto ( c)* ( c)*..( c)*..( c)* 3. [1,5 ptos] Construye un utómt finito determinist que cepte quells plrs sore el lfeto = {, } que tienen un número pr de s y terminn por. Es imprescindile incluir el rzonmiento utilizdo pr su construcción. q 0 q 1 q 2 q 3 q0 : plrs con un número pr de s, no terminds en ni en. Estdo inicil y no finl. q1 : plrs con un número impr de s. Estdo no finl. q2 : plrs con un número pr de s, terminds en. Estdo no finl. q3 : plrs con un número pr de s, terminds en. Estdo finl. 4. [1,5 ptos] Sore el lfeto ={, } se define L como el lenguje compuesto por ls plrs que contienen dos s seprds por un número impr de símolos. El siguiente utómt finito no determinist M reconoce dicho lenguje L.,,, q 0 q 1 q 2 q 4,

4 ) Otén ( prtir de M) un AFD N que cepte L. Llmemos δ l función de trnsición de M. Construcción de N: p 0 = {q 0 } γ(p 0, ) = δ(q 0, ) = {q 0 } = p 1 γ(p 0, ) = δ(q 0, ) = {q 0 } = p 0 γ(p 1, ) = δ(q 0, ) δ(q 1, ) = {q 0 } = p 2 γ(p 1, ) = δ(q 0, ) δ(q 1, ) = {q 0 } = p 3 γ(p 2, ) = δ(q 0, ) δ(q 1, ) δ(q 2, ) = {q 0,q 3 γ(p 2, ) = δ(q 0, ) δ(q 1, ) δ(q 2, ) = {q 0 } = p 2 γ(p 3, ) = δ(q 0, ) δ(q 2, ) = {q 0 } = p 5 γ(p 3, ) = δ(q 0, ) δ(q 2, ) = {q 0 } = p 1 γ(p 4, ) = δ(q 0, ) δ(q 1, ) δ(q 2, ) δ(q 3, ) = {q 0 γ(p 4, ) = δ(q 0, ) δ(q 1, ) δ(q 2, ) δ(q 3, ) = {q 0 γ(p 5, ) = δ(q 0, ) δ(q 1, ) δ(q 3, ) = {q 0 γ(p 5, ) = δ(q 0, ) δ(q 1, ) δ(q 3, ) = {q 0 } = γ(, ) = δ(q 0, ) δ(q 2, ) δ(q 3, ) = {q 0 } = p 5 γ(, ) = δ(q 0, ) δ(q 2, ) δ(q 3, ) = {q 0 } = p 5 Los estdos finles de N son p 4, p 5, por contener l estdo q 3 finl en M. El utómt N es:, p 2 p 4 p 0 p 1 p 3 p 5, ) Minimiz el AFD N otenido. Equivlenci nivel 0: [p 0, p 1, p 2, p 3 ] no finles y [p 4, p 5, ] finles Equivlenci nivel 1: [p 0, p 1 ] [p p ] 2, 3 [p 4, p 5, ] Equivlenci nivel 2: [p 0 ] [p 1 ] [p 2 ] [p 3 ] [p 4, p 5, ] Equivlenci nivel 3 = equivlenci nivel 2.

5 El utómt mínimo es: p 2, p 0 p 1 p 3 p 4 5. [1,5] Consider el utómt con pil M = (Q, Σ, Γ, δ, q0, F) con Q = {q 0 }; F ={q 2 } Γ = { A }; = {, } y δ definido como sigue: δ (q 0,, ) = { (q 1, ε) } δ (q 1,, A) = { (q 2, ε) } δ (q 1,, ) = { (q 1, AA) } δ (q 2,, A) = { (q 2, ε) } δ (q 1,, Α) = { (q 1, AAA) } ) Descrie L(M) L(M) = { i 2i : i>0 } ) Encuentr un grmátic G tl que L(G) = L(M). G = ({S,A}, {,}, S, P), donde P es el conjunto de regls siguiente: S A A A 6. [1 pto] Simplific l grmátic G cuys regls vienen dds continución y descrie L(G). S A BB A A ε B B CC C B Eliminr símolos inútiles: B y C son estériles, por tnto G se simplific: S A A A ε S y A son ccesiles. No hy más símolos inútiles.

6 S es no recursivo. Eliminr producciones nuls: A ε dee ser elimind, sustituyendo A por ε en el resto de regls, por tnto: S A A A No hy producciones unitris. L grmátic está simplificd. El lenguje que descrie G es L(G) = { n : n es impr }. Este lenguje es regulr y puede descriirse medinte l expresión regulr: ()* 7. [1 pto] Demuestr que el lenguje L= {w {,,c} * : w > w } no es regulr. Demostrción por reducción l surdo. Supongmos que L es regulr, entonces existe un AFDt M = (Q, Σ, δ, q0, F) tl que L(M) = L. Considermos el conjunto infinito de plrs C = { n : n 0 }. Al ser M un AFDt, necesrimente existen l menos dos plrs de C que l ser leíds por M llegn l mismo estdo, esto es: existen i y k con i k tles que δ*(q0, i ) = δ*(q0, k ). Entonces, pr tod x {,,c} * : δ*(q0, i.x) = δ*(q0, k.x) Es decir, pr tod x {,,c} * : i.x L(M) k.x L(M). (1) Ahor ien, supongmos que i> k. Y consideremos l plr x = k. Tenemos: i. k L y que i. k > i. k k. k L y que k. k = k. k y, por (1), se tiene demás que i. k L(M) k. k L(M). Esto contrdice l hipótesis de que L(M) = L. Conclusión: no existe un AFDt M que reconozc L. Esto implic que L no es un lenguje regulr.