LÍNEA DE REGRESIÓN MÍNIMO CUADRÁTICA BASADA EN ERRORES RELATIVOS

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1 LÍNEA DE REGRESIÓN MÍNIMO CUADRÁTICA BASADA EN ERRORES RELATIVOS Mercedes Alvargozález Rodríguez - malvarg@ecoo.uov.es Uversdad de Ovedo Reservados todos los derechos. Este documeto ha sdo extraído del CD Rom Aales de Ecoomía Aplcada. XIV Reuó ASEPELT-España. Ovedo, 3 de Juo de 000. ISBN:

2 LÍNEA DE REGRESIÓN MÍNIMO CUADRÁTICA BASADA EN ERRORES RELATIVOS Alvargozález Rodríguez, Mercedes Departameto de Ecoomía Aplcada Facultad de C.C. Ecoómcas Empresarales Uversdad de Ovedo Resume El método clásco de mímos cuadrados para la obtecó de la líea de regresó se basa e comparar los valores observados co los teórcos por dfereca cosste e cosderar aquellos parámetros que mmza la suma de los errores absolutos al cuadrado. El obetvo de esta comucacó es propoer u plateameto de la regresó co errores e térmos relatvos; e este caso los valores observados se compara co los teórcos por cocete la fucó a mmzar puede ser cosderada como ua medda de quetud cuadrátca co poderacoes al cuadrado. Se obtee los parámetros para u modelo de regresó leal smple se propoe ua medda para el estudo de la bodad del modelo que se defe como la proporcó de la quetud sobre la varable efecto que queda explcada por el modelo. El estudo coclue co alguas aplcacoes lustratvas del procedmeto propuesto.

3 1.- Itroduccó El estudo de la regresó fue troducdo por Galto e coexó co sus estudos de hereca atural 1888) está basado e el método de mímos cuadrados formulado por prmera vez por Gauss etre revsado etre e el marco de sus estudos sobre la dstrbucó de los errores e astroomía, procedmeto que fue també formulado depedetemete por Legedre e Este método cosste e cosderar aquellos parámetros que mmza la suma de los errores al cuadrado, cuatfcado los errores como dfereca etre valores observados teórcos, es decr e térmos absolutos. El obetvo de esta comucacó es platear el método de mímos cuadrados para el estudo de la regresó cosderado errores e térmos relatvos como cocete etre los errores absolutos los valores observados. E el procedmeto clásco se cosdera por gual todos los errores, es decr será guales los errores etre valores altos de la varable que etre valores pequeños, metras que e el método propuesto, al cosderar errores e térmos relatvos, a gual cuatía del error absoluto, se pealzará más los cometdos e valores pequeños de la varable. La fucó a mmzar e este caso será la suma de los errores relatvos al cuadrado, que puede ser cosderada salvo costate) como ua medda de formacó, cocretamete como ua quetud cuadrátca co poderacoes al cuadrado que queda sobre la varable depedete ua vez coocdo el modelo de regresó. Etre las meddas de formacó, destaca las de tpo cuadrátco, cocretamete la certdumbre cuadrátca que es u caso partcular de la famla de meddas de certdumbre de orde β troducda por J. Havrda, F. Charvat Z. Darócz que fue estudada por R. Pérez 1985). Este autor defe la certdumbre útl cuadrátca la quetud cuadrátca dcado las vetaas de estos dcadores frete a las meddas tpo Shao. Las meddas cuadrátcas aterormete ctadas proporcoa u marco adecuado para el estudo de la desgualdad de reta A. J. López, 1991) de la cocetracó M. J. Río R. Pérez, 1988 C. Ramos, 1993). E el tema que os ocupa 3

4 utlzaremos també dcadores de tpo cuadrátco para defr ua medda de la bodad del modelo. Ua vez que se tee defda la fucó a mmzar obtedremos los parámetros para el caso de u modelo leal smple. A cotuacó defremos ua medda de la bodad del modelo aalzaremos alguas propedades e el caso leal. Falmete presetaremos alguas aplcacoes del método propuesto comparado los resultados co los del método clásco..- Método de mímos cuadrados co errores relatvos. Caso leal Sea ua varable bdmesoal X, Y) que toma valores x, ) co frecuecas absolutas =1,..., k; =1,..., l). Cosderamos X la varable causa e Y la varable efecto deotamos por f a la líea de regresó que explca Y a partr de X que depede de parámetros: Y=fX, a 1,..., a ). Para cada valor observado de la varable depedete X: x, podemos cosderar dos valores de la varable depedete Y: - El valor observado. - El valor teórco t que se obtee medate la fucó de auste t = fx,a 1,...,a ). La dfereca etre el valor observado el valor teórco es el error o resduo absoluto : e = - t, que dca el desacerto cometdo al estmar el valor de Y correspodete a x. El error relatvo 1 será el cocete etre el error absoluto el valor observado de Y: e r t t = = 1. La fucó a mmzar que propoemos es la suma de los errores relatvos al cuadrado, es decr: O be: E r = t 1 ) = t 1) 1 El error relatvo sólo está defdo para valores o ulos de la varable Y. 4

5 t 1) dode f es la frecueca relatva del valor x, ). f Esta últma fucó puede ser cosderada como ua quetud cuadrátca co poderacoes al cuadrado que queda sobre la varable Y ua vez que se tee el * modelo, es decr ua quetud resdual que deotaremos por + ). e r E el caso del modelo leal smple Y=a+bX la fucó a mmzar será: a + bx + * er) = 1) Dervado esa fucó respecto a los parámetros del modelo e gualado las dervadas a cero obteemos las ecuacoes ormales: f a. + b x =. a x + b x = x Resolvedo el sstema de dos ecuacoes co dos cógtas obteemos el valor de los parámetros: b =. ) x. x ) ) ). ) x x ) ) a =. b. x 5

6 S defmos para cada X la fucó: x g X ) = Etoces:. b = g XY) g X ) g Y) g X ) g X ) a = g Y ) bg X ) Las expresoes resultates para el cálculo de los parámetros so smlares a las obtedas co el método de mímos cuadrados ordaros, cosderado e lugar de la meda la aplcacó defda como gx). Como casos partculares teemos los sguetes: ) S X e Y so depedetes e probabldad, etoces b=0, a = Cuado las varables so depedetes e probabldad el modelo se reduce a ua costate... ) S Y=kX, etoces b=k, a=0 S ha ua relacó leal exacta etre las varables el modelo reflea esa relacó. 3.- Medda de la bodad del modelo. Propedades La quetud cuadrátca co poderacoes al cuadrado asocada a la varable Y se puede defr como : La quetud cuadrátca asocada a ua varable Y fue defda por R. Pérez 1985) como dfereca etre la certdumbre útl cuadrátca la certdumbre cuadrátca vee dada por la sguete expresó: * Y Y ) = 1) f. La medda que aquí aparece es smlar auque co poderacoes al cuadrado. 6

7 + * Y Y ) = 1) f Dcha medda puede descompoerse de la maera sguete: + * Y ) = Y t ) f + t 1) f + 4 Y t ) t 1) f = = + * Y ) + t + * e ) + 4 r Y t ) t 1) f * dode el prmer sumado, que deotamos por + ), puede ser cosderado como la quetud cuadrátca co poderacoes al cuadrado explcada por el modelo el * segudo sumado, que deotamos por + ), como la quetud cuadrátca co poderacoes al cuadrado resdual que queda sobre Y ua vez coocdo el modelo. e r Y t Y t t E el caso leal se tee que: 4 ) 1) f = 0 Por tato e el caso leal la quetud cuadrátca co poderacoes al cuadrado asocada a la varable Y puede descompoerse como ua quetud explcada por el modelo más ua quetud resdual, es decr: + * Y ) = + * Y ) + + * t e r ) Esta gualdad es smlar a la que se verfca e el método clásco etre varazas, segú la cual la varaza de Y se descompoe e ua varaza explcada por el modelo más ua varaza resdual. Se puede defr ua medda de la bodad del modelo a partr de la quetud resdual de modo aálogo a como se hace e el método clásco co la varaza resdual: R + * + * = 1 + * er ) Y) 7

8 E el caso leal esta medda será: R + * + * = + * Yt ) Y) que puede ser terpretada como la proporcó de quetud de Y que queda explcada por el modelo de regresó. Alguas propedades de esta medda e el caso leal so las sguetes: ) 0 R + * 1 La medda de bodad está acotada etre 0 1. ) S Y=kx etoces R = 1 + * S ha ua relacó leal etre las varables la medda de bodad alcaza la cota superor. 4.- Aplcacoes I) Se ha cosderado datos de la Cotabldad Regoal de España CRE) para el año 1995 de las sguetes varables expresadas e mlloes de ptas.) para las comudades autóomas españolas, cludas Ceuta Mellla: X: reta bruta dspoble de los hogares Y: cosumo fal de los hogares La sguete tabla recoge los parámetros del modelo leal que explca el cosumo fal de los hogares a partr de la reta bruta dspoble, obtedos tato por el método de mímos cuadrados co errores relatvos como por el método clásco, la medda de bodad defda aterormete el coefcete de determacó para los dos modelos: Parámetro b Parámetro a R R + * Método de mímos cuadrados co errores relatvos Método clásco de mímos cuadrados 0, ,18 99,99% 99,8% 0, , ,98% 99,81% 8

9 El valor de la pedete del modelo es smlar e los dos métodos, o sedo así el valor de la costate; las meddas de bodad de los modelos so smlares se puede observar que se cumple las relacoes etre ellas, es decr la medda de bodad propuesta es maor para el modelo obtedo co errores relatvos, puesto que este es el que mmza la quetud del error, metras que el coefcete de determacó es superor e el modelo obtedo medate el método clásco a que éste mmza la varaza resdual). E el sguete gráfco se represeta la ube de putos sere 1), el modelo obtedo por el método de mímos cuadrados co errores relatvos sere ) el modelo obtedo por el método clásco sere 3): Sere1 Sere Sere

10 II) Se ha cosderado datos de la Cotabldad Nacoal de España CNE) para el período de las sguetes varables expresadas e mlloes de ptas. a precos corretes): X: reta acoal eta dspoble Y: ahorro acoal eto La sguete tabla recoge los parámetros de los modelos leales que explca el ahorro partr de la reta las meddas de bodad: Parámetro b Parámetro a R R + * Método de mímos cuadrados co errores relatvos Método clásco de mímos cuadrados 0, ,478 97,1% 89,6% 0, , ,46% 89,73% El valor de la pedete del modelo es smlar e los dos métodos, o sedo así el valor de la costate; las meddas de bodad de los modelos so també smlares. E el sguete gráfco se represeta la ube de putos sere 1), el modelo obtedo por el método de mímos cuadrados co errores relatvos sere ) el modelo obtedo por el método clásco sere 3): Sere1 Sere Sere

11 III) Se ha cosderado datos de la Ecuesta Idustral de las Empresas EIE) elaborada por el INE para el año 1998 de las sguetes varables por comudades autóomas: X: úmero de persoas ocupadas Y: mporte eto de la cfra de egoco e mles de euros) La sguete tabla recoge los parámetros de los modelos leales que explca la cfra de egocos partr de la ocupacó las meddas de bodad: Parámetro b Parámetro a R R + * Método de mímos cuadrados co errores relatvos Método clásco de mímos cuadrados 141, ,641 99,7 97,9 139, ,91 99,61 97,93 El valor de la pedete del modelo es smlar e los dos métodos, o sedo así el valor de la costate; las meddas de bodad de los modelos so smlares. E el sguete gráfco se represeta la ube de putos sere 1), el modelo obtedo por el método de mímos cuadrados co errores relatvos sere ) el modelo obtedo por el método clásco sere 3): Sere1 Sere Sere

12 5.- Reflexoes fales A modo de coclusoes de campos abertos para futuros trabaos haremos las sguetes reflexoes: 1) Metras que el método clásco cosdera por gual los errores etre valores baos que etre valores elevados de la varable, el método de mímos cuadrados co errores relatvos, a gual cuatía de error absoluto, pealza más los errores cometdos etre valores pequeños de la varable que etre valores elevados. ) Las expresoes obtedas para estmar los parámetros resulta más compleas que e el método clásco puesto que e la fucó a mmzar por cosderar errores relatvos) fgura valores observados de la varable Y e el deomador; s embargo s defmos ua fucó que ormalza los valores, las expresoes so smlares a las obtedas e el método clásco. 3) E los casos extremos de depedeca e probabldad depedeca fucoal los parámetros obtedos tee u comportameto smlar a los del método clásco. 4) La quetud cuadrátca co poderacoes al cuadrado asocada a la varable Y tee u comportameto smlar al de la varaza e el método clásco permte defr ua medda de la bodad del modelo que, al gual que el coefcete de determacó, está acotada etre 0 1 vale 1 e el caso de depedeca fucoal. Sería deseable aalzar el comportameto de esta medda e el caso de depedeca e probabldad e troducr el cocepto de depedeca e quetud 3. 5) E las aplcacoes presetadas hemos estmado los modelos por el método de mímos cuadrados co errores relatvos por el método clásco tato los parámetros como la bodad de los modelos ha resultado smlares e todos los casos, lo que poe de mafesto certa cossteca de ambos procedmetos. 6) Además del modelo leal tratado podría realzarse u plateameto más geeral para otro tpo de modelos també cosderar el estudo de la 3 Este cocepto fue troducdo por M. Alvargozález R. Pérez 1989) para el caso de la certdumbre cuadrátca. 1

13 regresó múltple, que supodrá u aumeto de la compledad de los cálculos. 7) Ua vez realzado el plateameto descrptvo de la regresó co este procedmeto deberá cosderarse u efoque ferecal, obteedo u modelo ecoométrco estudado las característcas las propedades de los estmadores de los parámetros. BIBLIOGRAFÍA: - ALVARGONZÁLEZ, M. R. PÉREZ 1989): Iformacó cuadrátca e depedeca e formacó. Actas de las XIV Joradas Hspao-Lusas de Matemátcas. Teerfe. - DARÓCZY, Z. 1970): Geeralzed formato fuctos. Iform. ad Cotrol 16, pp DAVID, F. N. 1976): Galto, Fracs. Ecclopeda Iteracoal de las Cecas Socales; Tomo 5, pp Ed. Agular. - EISENHART, CH. 1976): Gauss, Carl Fredrch. Ecclopeda Iteracoal de las Cecas Socales; Tomo 5, pp Ed. Agular. - GIL, M. A. 1979): Icertdumbre utldad. Tess doctoral. Uversdad de Ovedo. - GIL, P. 1981): Teoría matemátca de la formacó. Ed. ICE. - HAVRDA, J. ad F. CHARVAT 1967): Quatfcato method of classfcato processes. Kberetka 3, pp LÓPEZ, A. J. 1991): Desgualdad de reta pobreza. Tess doctoral. Uversdad de Ovedo. - PARDO, L. 1997): Teoría de la formacó estadístca. Ed. Hespérdes. - PÉREZ, R. 1985): Estmacó de la certdumbre. La certdumbre útl la quetud e poblacoes ftas. Ua aplcacó a las meddas de desgualdad. Tess doctoral. Uversdad de Ovedo. - PÉREZ, R. OTROS 1997): Aálss de datos ecoómcos I. Métodos descrptvos. Ed. Prámde. - RAMOS, C. 1993): Relacó etre la cocetracó dustral el beestar socal.tess doctoral. Uversdad de Ovedo. 13

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