Lógica proposicional 7. Árboles lógicos

Transcripción

1 Lógica proposicional 7. Árboles lógicos Juan Carlos León Universidad de Murcia Esquema del tema 7.1. Tablas semánticas y árboles lógicos 7.2. Reglas de inferencia 7.3. El método de árboles 7.4. Aplicación y usos del método 7.5. Procedimiento mecánico para el desarrollo de pruebas 1

2 Lógica proposicional 7. Árboles lógicos 7.1. Tablas semánticas y árboles lógicos Tablas semánticas Las tablas semánticas de Beth (1955) son un procedimiento mecánico de comprobación de la validez de argumentos La estrategia es la de una prueba indirecta: Suponer verdaderas las premisas y falsa la conclusión (lo contrario de lo que se quiere demostrar) Obtener exhaustivamente todas las consecuencias que se deriven de ello, de acuerdo con las reglas de valoración semántica Si es posible hacer eso sin incurrir en contradicción, el argumento es inválido; de lo contrario, es válido 2

3 Tablas: procedimiento Introducimos en una misma columna de una tabla la verdad de las premisas y la falsedad de la conclusión A esa misma columna se añaden todas las consecuencias posibles, aplicando las reglas de valoración semántica Cuando llegamos a una alternativa (como, por ejemplo, a partir de una disyunción), la tabla se subdivide en dos Si toda subtabla conduce a contradicción, el argumento es válido Si en alguna subtabla no pueden sacarse más consecuencias, y no hay contradicción, el argumento es inválido (y esa subtabla nos ofrece un contraejemplo) Ejemplo 1: un argumento válido p q, q r r I(p q)=v I( q r)=v I(r)=F Premisa Premisa Conclusión I(p)=V De I(p q) I(q)=V De I(p q) I( q)=v I(r)=V De I( q r) I(q)=F Contradicción en I(q) Contradicción en I(r) De I( q) 3

4 Ejemplo 2: un argumento inválido (p q), q r r I( (p q))=v I(q r)=v I(r)=F I(p q)=f Premisa Premisa Conclusión De I( (p q)) I(p)=V De I(p q) I(q)=F De I(p q) I(q)=F I(r)=V De I(q r) Contraejemplo Contradicción en I(r) Evert W. Beth 4

5 Árboles lógicos El método de árboles de Smullyan (1961) y, sobre todo, de Jeffrey (1967) se inspira en las tablas semánticas, y es tal vez el más reciente, más simple, sencillo y elegante Pero no es un método semántico, sino un cálculo sintáctico, que se desarrolla mediante reglas de inferencia La estrategia es la misma que la de las tablas semánticas (una prueba indirecta), pero usando un árbol con posibles bifurcaciones de sus ramas, análogas a las subtablas Árboles: procedimiento Comenzamos introduciendo las fbfs iniciales como líneas de una misma rama Aplicando las reglas de inferencia, se derivan conclusiones de ellas, bifurcando la rama cuando así lo establezcan las reglas Si una rama incluye una contradicción entre dos de sus líneas, decimos que está cerrada Una rama en que ya no es posible aplicar más reglas, y que no incluye ninguna contradicción, está terminada y abierta El método no está diseñado para la validez, sino que Cuando un árbol terminado tiene todas sus ramas cerradas, las fbfs iniciales son simultáneamente insatisfacibles De lo contrario, son simultáneamente satisfacibles 5

6 Ejemplo 1: tres fbfs simultáneamente insatisfacibles 1. p q (fbf inicial) 2. p r (fbf inicial) 3. q r (fbf inicial) 4. p (de 5. q 1) 6. q (de 5) 7. p 8. r (de 2) 9. q 10. r (de 3) (Hay contradicción en las tres ramas) Ejemplo 2: dos fbf simultáneamente satisfacibles 1. p (q r) (fbf inicial) 2. q r (fbf inicial) 3. p (de 4. q r 1) 5. q 6. r (de 4) 7. q 8. r 9. q 10. r (de 2) (Hay dos ramas terminadas -en 8 y en 9- sin contradicción) 6

7 Raymond Smullyan y Richard C. Jeffrey Lógica proposicional 7. Árboles lógicos 7.2. Reglas de inferencia 7

8 Reglas para la negación A A A A La primera nos dice que si una rama contiene una contradicción entre dos de sus líneas, no debemos concluir nada, sino simplemente marcar con el signo que la rama está cerrada En la segunda regla, el signo no forma parte de la premisa, sino que es una marca para indicar que ya se ha aplicado una regla a esa premisa y, por tanto no debe volver a usarse La raya vertical indica que la conclusión ha de introducirse al final de todas las ramas que contengan la premisa Reglas para conjunción y disyunción A B A B A A B B (A B) (A B) A B A B Las rayas oblicuas indican que hay que bifurcar la rama en dos, e introducir cada conclusión en una de esas ramas 8

9 Reglas para condicional y bicondicional A B A B A B A A B B (A B) (A B) A A A B B B Lógica proposicional 7. Árboles lógicos 7.3. El método de árboles 9

10 Instrucciones y terminología (1) Introducimos en una misma rama todas las fbfs cuya satisfacibilidad simultánea se quiere comprobar Decimos que una rama está cerrada sii contiene como líneas una fbf y su negación. En caso contrario, la rama está abierta al aplicar una regla a una línea, se marca esa línea (con el signo ), y se escriben sus conclusiones al final de toda rama abierta que contenga a esa línea (y sólo en esas ramas). No puede aplicarse una regla a una línea ya marcada Tras la aplicación de una regla se comprueba si alguna rama contiene una fbf y su negación. En tal caso, la rama está cerrada, lo cual se indica marcándola al final con el signo Instrucciones y terminología (2) Es preferible, aunque no necesario, aplicar primero las reglas que no bifurcan la rama Una rama está terminada sii está cerrada o han sido marcadas todas sus líneas excepto aquellas que contengan únicamente una letra proposicional o la negación de una letra proposicional Un árbol está terminado sii todas sus ramas están terminadas Un árbol está cerrado sii todas sus ramas están cerradas. Caso contrario, el árbol está abierto 10

11 Ejemplo: tres fbfs satisfacibles 1. p (q r) (fbf inic.) 2. r q (fbf inic.) 3. (p q) (fbf inic.) 4. p 5. q r (de 1) 6. q (de 7. r 5) 8. r (de 7) 9. r 10. q 11. r 12. q (de 2) 13. p 14. q 15. p 16. q (de 3) 17. q (de 14) (Queda abierta la rama terminada en la línea 17) Lógica proposicional 7. Árboles lógicos 7.4. Aplicación y usos del método 11

12 Satisfacibilidad Una fbf A es satisfacible sii tiene un árbol terminado y abierto (e insatisfacible sii tiene un árbol cerrado) Un conjunto de fbfs es simultáneamente satisfacible sii tiene un árbol terminado y abierto (y simultáneamente insatisfacible sii tiene un árbol cerrado) Esta es la aplicación directa del método Contingencia Una fbf A es contingente sii tanto A como A tienen un árbol terminado y abierto, pues Si A tiene un árbol terminado y abierto será satisfacible; o sea, puede ser verdadera Y si A tiene un árbol terminado y abierto, será también satisfacible (puede ser verdadera), lo que implica que A puede ser falsa Si A o A tuvieran un árbol cerrado, la fbf A no sería contingente 12

13 Validez Un argumento es válido sii el conjunto formado por todas las premisas junto con la negación de la conclusión tiene un árbol cerrado Ya que Γ A sii {Γ, A} es insatisfacible (lo que el árbol comprueba es esta insatisfacibilidad) Una fbf A es válida (tautológica) sii A tiene un árbol cerrado Pues A sii { A} es insatisfacible Equivalencia Dos fbfs A y B son equivalentes sii (A B) tiene un árbol cerrado Pues A B sii A B Y A B sii (A B) es insatisfacible Será preciso demostrar en metalógica que todas las anteriores afirmaciones son ciertas En particular, que un conjunto de fbf es satisfacible (semántica) sii tiene un árbol terminado y abierto (sintaxis) De ello se sigue el resto de afirmaciones respecto de la validez y la equivalencia 13

14 Ejemplo 1: un argumento válido p q, q r r p 1. p q (premisa) 2. q r (premisa) 3. ( r p) ( conclusión) 4. r (de 5. p 3) 6. p (de 5) 7. p 8. q (de 1) 9. q 10. r (de 2) El árbol cierra. Luego, las fbfs iniciales son insatisfacibles. Luego, el argumento es válido Ejemplo 2: un argumento inválido p q r, r p q 1. p q r (premisa) 2. r (premisa) 3. (p q) ( conclusión) 4. (p q) 5. r (de 1) 6. p (de 7. q 4) 8. p 9. q (de 3) El árbol queda abierto. Luego, las fbfs iniciales son satisfacibles. Luego, el argumento es inválido 14

15 Ejemplo 3: una tautología Ejemplo 4: una fbf inválida (p q) (q p) 1. ((p q) (q p)) ( conclusión) 2. p q (de 3. (q p) 1) 4. q (de 5. p 3) 6. p 7. q (de 2) El árbol queda abierto. Luego la fbf inicial es satisfacible. Luego, sin negación será inválida 15

16 Ejemplo 5: dos fbfs equivalentes Interpretaciones y árboles abiertos Cuando un conjunto de fbfs es satisfacible, las ramas abiertas del árbol terminado determinan una interpretación que hace verdaderas a la vez a todas las fbfs de la rama, y por tanto a esas fbfs iniciales Si el árbol trataba de comprobar la validez de una inferencia o de una fbf, o la equivalencia de dos fbfs, esa interpretación constituirá un contraejemplo La interpretación consiste en asignar el valor V a las letras proposicionales que aparezcan como líneas independientes en la rama, y el valor F a todas las demás (tanto si aparecen negadas como si no aparecen) Demostraremos esta afirmación en el tema de metalógica 16

17 Ejemplo 6 Consideremos el siguiente árbol terminado y abierto: 1. p (q r) (fbf inicial) 2. q r (fbf inicial) 3. p (de 4. q r 1) 5. q 6. r (de 4) 7. q 8. r 9. q 10. r (de 2) (Las letras proposicionales sólo aparecen como líneas independientes en 3, 5 y 8) Interpretaciones a partir del árbol Sigamos entonces la rama terminada en 8, y hagamos estas asignaciones: I(p)=V, I(q)=V y I(r)=V Con esa interpretación, todas las fbfs de la rama resultan verdaderas a la vez La rama terminada en 9, por su parte, nos ofrece otra interpretación con el mismo efecto: I(p)=V, I(q)=F y I(r)=F 17

18 Lógica proposicional 7. Árboles lógicos 7.5. Procedimiento mecánico para el desarrollo de pruebas El método como programa INICIO: comience un árbol con un conjunto de fbfs (premisas y negación de conclusión, si es una inferencia) Aplique la regla para en todas las ramas posibles Quedan ramas abiertas? Sí Las línea sin marcar en las ramas abiertas son letras proposicionales o letras proposicionales negadas? No No Sí FIN: el conjunto es insatisfacible (la inferencia es válida) FIN: el conjunto es satisfacible (la inferencia es inválida) Aplique una regla (preferiblemente una que no bifurque la rama) 18

19 Adecuación del método El método de árboles nos proporciona (como los métodos semánticos anteriores) un procedimiento de demostración (sintáctico) enteramente mecánico o computacional Pero no es obvio que sea un método totalmente adecuado: Que su aplicación rutinaria (mecánica) siempre termine tras un número finito de casos Que siempre que un árbol se cierre, el conjunto inicial sea insatisfacible (o la inferencia válida) Que siempre que un árbol quede terminado y abierto, el conjunto inicial sea satisfacible (o la inferencia inválida) La metalógica se ocupará principalmente de la demostración de estos hechos metateóricos: metateoremas de decidibilidad, corrección y completitud Ejercicios 7.01 a 7.12 (Árboles) 7.01 Comprobar la satisfacibilidad de ( p q) 7.02 Comprobar la satisfacibilidad de (p q) ( p q) 7.03 Comprobar: (p q q) p 7.04 Comprobar: (p q) (q r) 7.05 Comprobar la contingencia de (p q) ( q p) 7.06 Comprobar la contingencia de p (p q r) 7.07 Comprobar la satisfacibilidad simultánea de (p q) y p q 7.08 Comprobar la satisfacibilidad simultánea de (p q) y q p 7.09 Comprobar: p q p q q 7.10 Comprobar: p q, r s, p r q s 7.11 Comprobar: (p q) q p q 7.12 Comprobar: p q (p q) 19