IX. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA

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Gregorio Ruiz San Segundo
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1 DE LA FÍSICA

2 Índice 1. Símolos del lenguje mtemático 2. Álger 3. Geometrí 4. Trigonometrí 5. Cálculo vectoril 6. Cálculo diferencil 2

3 1 Símolos del lenguje mtemático = es igul, equivle x 0 incremento de x tiende cero no es igul, es distinto de x es proximdmente igul x i n i=1 vlor soluto de x, mgnitud de x (siempre positiv) sum de tods ls cntiddes x cuyo ordinl se sitú entre 1 y n es proporcionl dx dt derivd de x con respecto t > es myor que integrl < es menor que integrl definid entre y x vrición de x, incremento de x implic que, se desprende que 3

4 2 Álger Sum o rest ± d c = c ± d c Producto de potencis x n x m = x n+m Producto División c = c c d = c d : c d = d c División de potencis Potencis elevds x n = xn m xm 1 = x m xm x n m = x n m x 2 + x + c = 0 x = ± 2 4c 2 4

5 3 Geometrí Teorem de Pitágors Figurs geométrics c A = πr 2 h h = c 2 L = 2πr A = h A = h 2 Ecuciones rect Y y = mx + y 0 Y práol xy = cte. Y hipérol y 0 y = x 2 + y 0 y 0 X X X 5

6 4 Trigonometrí C A AB OA = CD OC OB OA = OD OC AB OB = CD OD D B O c seno de coseno de tngente de senα = cosα = tgα = cteto opuesto hipotenus cteto contiguo hipotenus = = c cteto opuesto cteto contiguo = c sen α ± β = senαcosβ ± cosαsenβ Si α = β sen2α = 2senαcosα cos α ± β = cosαcosβ senαsenβ Si α = β cos2α = cos 2 α sen 2 α sen 2 α + cos 2 α = 1 6

5 Cálculo vectoril Mgnitudes Físics Esclres

t Tempertur T Trjo W Presión P Mgnitudes

7 5 Cálculo vectoril Mgnitudes Físics Esclres Vectoriles Quedn definids con su vlor numérico Quedn definids medinte tres triutos: módulo, dirección y sentido Mgnitudes esclres Ms m Tiempo t Tempertur T Trjo W Presión P Mgnitudes vectoriles Posición r Velocidd v Acelerción Fuerz F Cmpo eléctrico E 7

8 5 Cálculo vectoril 5.1. Notción vectoril Mgnitud vectoril: v Módulo de l mgnitud vectoril: v o v Vectores unitrios Culquier vector se puede expresr como: v = vu donde u = 1 Y Y Z j k i X j = dirección i X 8

2cosα s L resultnte de l sum de dos vectores es l digonl del

9 5 Cálculo vectoril 5.2. Operciones con vectores Sum de vectores s s = + s = cosα s L resultnte de l sum de dos vectores es l digonl del prlelogrmo que formn los dos vectores y cuyo origen coincide con el origen de los dos vectores 9

10 5 Cálculo vectoril 5.2. Operciones con vectores Rest de vectores d d = = + ( ) c = cosα d s d 10

11 5 Cálculo vectoril 5.2. Operciones con vectores Componentes de un vector y = x + y x y y componentes rectngulres x x = cosα y = senα = x i + y j = x 2 + y 2 = x i + y j + z k = x 2 + y 2 + z 2 11

12 5 Cálculo vectoril EJERCICIO 1 Cierto vector tiene por módulo 15 y form 30º con el eje X. Clcul sus componentes y represéntlo en notción vectoril en función de dichs componentes. EJERCICIO 2 Ddo el vector v = 3i + 4j Determin su módulo, sí como el ángulo que form con el eje X. 12

13 5 Cálculo vectoril EJERCICIO 3 ) Hll l resultnte de los vectores de l figur: 60º º 3 c ) Qué dirección form l resultnte con el eje X? 13

14 5 Cálculo vectoril 5.2. Operciones con vectores Producto esclr de dos vectores = cosα cosα = i i = 1 1 cos0 o = 1 j j = 1 1 cos0 o = 1 k k = 1 1 cos0 o = 1 i j = j i = 1 1 cos90 o = 0 i k = k i = 1 1 cos90 o = 0 j k = k j = 1 1 cos90 o = 0 = x i + y j + z k x i + y j + z k = x x + y y + z z 14

15 5 Cálculo vectoril EJERCICIO 4 Clcul el producto esclr de los vectores = 2i 3j = 3i + 5j Y el ángulo que formn. 15

16 5 Cálculo vectoril 5.2. Operciones con vectores Producto vectoril de dos vectores Y Módulo: = senα Z X Dirección: Sentido: Perpendiculr l plno que formn y Regl de l mno derech o sccorchos i i = 0 j j = 0 k k = 0 i j = k i k = j j k = i j i = k k i = j k j = i 16

17 5 Cálculo vectoril 5.2. Operciones con vectores Producto vectoril de dos vectores h = senα = senα = h (áre prlelogrmo) = x i + y j + z k x i + y j + z k = ( y z z y )i ( x z z x )j + ( x y y x )k 17

18 5 Cálculo vectoril EJERCICIO 5 Ddos los vectores coplnrios = 2i 3j + k = 3i + 5j k Determinr: ) Su producto vectoril. ) El áre del triángulo que formn los dos vectores. c) Un vector de módulo 3 perpendiculr l plno que formn los dos vectores. 18

19 Consideremos un función: Donde: x es l vrile independiente y es l vrile dependiente IX. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS 6 Cálculo diferencil y = y(x) L vrición de l función y(x) en un determindo intervlo de x, se expres: Δy Δx y x + x = x y(x) Δy lim Δx 0 Δx El vlor de ese límite es lo que conocemos como derivd de y con respecto de x: dy dx = lim Δy Δx 0 Δx = lim y x + x Δx 0 x y(x) 19

20 6.1. Cálculo de l derivd de l función y(x) = x n Aplicndo l definición de derivd: IX. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS 6 Cálculo diferencil dy dx = lim (x + x) n x n Δx 0 x + n = n + n 1! n 1 + x + x n = x n + n 1! xn 1 x + n n 1 2! n n 1 2! n x n 2 ( x) 2 + dy dx = lim Δx 0 x n + n 1! xn 1 x + n n 1 2! x x n 2 ( x) 2 + x n = nx n 1 n n 1 x + = lim 2! Δx 0 x x n 2 ( x) 2 + nx n 1 x = lim Δx 0 x = nx n 1 20

21 6 Cálculo diferencil 6.2. Propieddes de ls derivds Derivd de l sum de dos funciones d(y + z) dx = dy dx + dz dx Derivd de un producto de dos funciones d(y z) dx = dy dx z + y dz dx Derivds de lguns funciones d dx = 0 ( = constnte) d (senx) = cosx dx d dx (xn ) = nx n 1 d dx cosx = senx 21

22 6 Cálculo diferencil EJERCICIO 6 Cuál es l derivd de y = 3x 3? Qué vlor tom pr x = 2? 22

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