TEMA 6. PROBABILIDAD

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1 TEMA 6. PROBABILIDAD ACCESO CICLO SUPERIOR En este tema vamos a estudiar el comportamiento del azar. A pesar de que entendemos la palabra azar como sinónimo de imprevisible, vamos a ver cómo, en realidad, el azar tiene ciertas regularidades y leyes que lo rigen. Por ejemplo, si lanzamos una moneda al aire, podemos considerar que es igual de probable que salga cara o que salga cruz. O bien, si lanzamos un dado, cualquiera de de los seis posibles resultados tienen la misma probabilidad. Otro ejemplo típico es sacar una carta de una baraja. Cada vez que realizamos un experimento de este tipo (lanzar una moneda, un dado ) estamos realizando una experiencia aleatoria. Las experiencias anteriores son regulares, pero hay otros casos en los que es imposible predecir el valor de las probabilidades de lo que pueda acontecer. Por ejemplo, no podemos saber la probabilidad de que una persona sufra un accidente de tráfico un día determinado, o de que el próximo coche que pase por la calle sea de color rojo. En estas experiencias, que llamamos irregulares, sólo podemos conocer aproximadamente el valor de las probabilidades haciendo muchas observaciones repetidas del fenómeno aleatorio. 1. SUCESOS ALEATORIOS Cuando realizamos una experiencia aleatoria pueden darse varios resultados. Cada uno de ellos se llama suceso elemental. Ejemplo: Cuando lanzamos un dado, tenemos seis sucesos elementales, que son sacar 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Al conjunto de todos los sucesos elementales se le llama espacio muestral, y se designa por E. En el ejemplo anterior, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Pero a veces, nos puede interesar el estudio de varios sucesos elementales a la vez, como el caso de sacar cifra par al lanzar un dado. Éste sería el suceso {2, 4, 6} formado por tres sucesos elementales. Llamamos suceso a cualquier subconjunto de E, incluyendo el propio E y el conjunto vacío Ø. Ejemplo: Al lanzar un dado, los posibles sucesos serían { Ø, {C}, {+}, {C,+} } Al suceso E se le llama suceso seguro y al suceso Ø, suceso imposible. Ejemplo: En el experimento extraer una carta de una baraja española, el espacio muestral está formado por las 40 cartas, que son los sucesos elementales. Además, otros sucesos podrían ser: AS = { as de oros, as de copas, as de bastos y as de espadas } OROS = { 1 de oros, 2 de oros,.., caballo de oros y rey de oros} 1

2 2. RELACIONES ENTRE SUCESOS Unión de dos sucesos A y B (A B) es el suceso formado por los elementos que pertenecen a A y los que pertenecen a B. Ejemplo: Supongamos que lanzamos un dado y que nos interesamos por los sucesos A = menor que 5 = {1, 2, 3, 4} y B = número par = {2, 4, 6}. Entonces, A B = {1, 2, 3, 4, 6} Intersección de dos sucesos A y B (A B) es el suceso formado por los elementos que pertenecen a A y a B simultáneamente. Ejemplo: A B = {2, 4} Sucesos incompatibles son los que no tienen en común ningún suceso elemental, es decir, A B = Ø. Ejemplo: Menor que 3 = {1, 2} y Mayor que 4 = {5, 6} son incompatibles. Suceso contrario de S ( S ) es el suceso formado por los sucesos elementales que no pertenecen a S, de forma que entre S y S completan el espacio muestral y se cumple que S S = E y S S = Ø. Ejemplo: par = {2, 4, 6} e impar = {1, 3, 5} son contrarios. 1) Una bolsa contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. La experiencia consiste en extraer una bola. a) Cuál es el espacio muestral? b) Consideramos los sucesos A = extraer número primo y B = obtener múltiplo de 3. Escribe los sucesos A, B, A, B, A B, A B, A A y A A. 2) Lanzamos tres veces una moneda. a) Escribe todos los sucesos elementales. b) Cuál de estos sucesos componen el suceso S = la primera vez salió cara? c) Escribe un suceso que sea incompatible con S 3. PROBABILIDAD DE UN SUCESO La probabilidad de que ocurra el suceso seguro es 1, ya que tiene el 100% de probabilidades porque ocurre siempre, y la probabilidad del suceso imposible es 0. Los demás sucesos tendrán una probabilidad entre 0 y 1. P(E) = 1 P(Ø) = 0 0 P(S) 1 Además, P(S ) = 1 P(S) 2

3 Además de estos axiomas que se cumplen siempre para cualquier probabilidad, la regla que utilizaremos para calcularla será la Ley de Laplace. P(S) = casos favorables casos posibles La ley de Laplace tan sólo es válida para sucesos equiprobables (que tengan la misma probabilidad todos los sucesos elementales) Ejemplos: Al lanzar un dado, P(número par) = 3/6 = 0.5. En una baraja española, P(Oros) = 10/40 = 0.25 y P(As) = 4/40 = 0.1 3) Se extrae una carta de la baraja española. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que sea una figura. b) Que sea bastos o espadas. c) Que sea oros o rey. 4) De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una al azar. Calcula la probabilidad de que: a) Sea impar. b) Sea mayor que 5. c) No sea el 7. 5) Se extrae una bola de una bolsa que contiene 4 bolas blancas, 5 rojas y 3 azules. a) Cuál es la probabilidad de que sea roja? b) Y la probabilidad de que no sea blanca? 6) Al lanzar dos dados, Cuál es la probabilidad de que la suma sea 4? Y que sea 2? y 3? y 7? y 11? y mayor que 5? 4. COMPOSICIÓN DE EXPERIENCIAS ALEATORIAS La experiencia lanzar tres veces una moneda se puede considerar formada por experiencias simples: lanar primero la moneda, luego otra vez y otra vez. Y es más fácil calcular la probabilidad de los sucesos compuestos si los descomponemos en sucesos más simples. Las experiencias simples que forman una experiencia compuesta pueden ser: Independientes: Cuando el resultado de cada experiencia no influye en el de las siguientes (por ejemplo, cuando lanzas tres monedas seguidas). 3

4 En este caso, la probabilidad de que ocurra la experiencia compuesta es igual a su producto. P(A y B y C) = P(A B C) = P(A) P(B) P(C) Ejemplo: Al lanzar tres monedas, la probabilidad de que salgan tres caras sería: P(Cara Cara Cara) = P(Cara) P(Cara) P(Cara) = ½ ½ ½ = 1/8 7) Extraes una carta de una baraja española. La miras y la devuelves al montón y haces otra extracción. Cuál es la probabilidad de que sean dos reyes? 8) Lanzas dos monedas y un dado. Halla la probabilidad de obtener dos caras y un cinco. Dependientes: Cuando el resultado de cada una de las experiencias influye en el resultado de las siguientes (por ejemplo, cuando sacas tres cartas de una baraja) En este caso, para calcular la probabilidad de la experiencia compuesta, habremos de tener en cuenta las experiencias ya realizadas. P(A B) = P(A) P(B sabiendo que ha ocurrido A) = P(A) P(B/A) P(A B C) = P(A) P(B/A) P(C/A y B) A las probabilidades de tipo P(A/B) se les llama probabilidades condicionadas. Ejemplo: Si sacamos dos cartas de una baraja española sin reemplazamiento, calcular la probabilidad de que sean dos oros. P(la 1ª sea Oros la 2ª sea Oros) = P(1ª sea Oros) P(2ª sea Oros sabiendo que la primera ya ha sido Oros) = P(1ª sea Oros) P(2ª sea Oros / 1ª ha sido Oros) = PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE SUCESOS Para calcular la probabilidad de la unión hemos de diferenciar dos casos: Sucesos incompatibles: Son aquellos que no pueden suceder a la vez, es decir los que cumplen que A B = Ø. En este caso, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) 4

5 Ejemplo: Al extraer una carta de una baraja española, calcular la probabilidad de que sea rey o sota. Estos sucesos son incompatibles porque una carta no puede ser rey y sota a la vez. Por lo tanto, 4 4 P(rey o sota) = P(rey sota) = P(rey) + P(sota) = Sucesos compatibles: Son los que sí que pueden suceder a la vez, en los que la intersección no es el suceso vacío, A B Ø. Por ejemplo, al sacar una carta de una baraja española, el suceso sacar as y el suceso sacar oros son compatibles porque el as de oros pertenece a los dos sucesos. En este caso, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Ejemplo: Al lanzar un dado consideremos los sucesos A = impar = {1, 3, 5} y B = primo = {2, 3, 5}. Son dos sucesos compatibles porque el 3 y el 5 pertenecen a ambos ( A B = {3, 5} Ø ). Entonces, P(impar o primo) = P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) =3/6+3/6 2/6=4/6=2/3 ya que: P(A) = 3/6, P(B) = 3/6 y P(A B) =2/6. 10) Calcula la probabilidad de que al lanzar dos dados alguna de las puntuaciones sea mayor que 4. 11) Tenemos una urna con 3 bolas verdes y 2 bolas rojas. Extraemos dos bolas. cuál es la probabilidad de que ambas sean verdes? 12) Extraemos dos cartas de una baraja española. Cuál es la probabilidad de que la primera sea un rey y la segunda un as? 13) Se lanzan dos monedas y un dado. Cuál es la probabilidad de obtener cara en ambas monedas y un 6 en el dado? Cuál la de obtener cruz en las monedas y par en el dado? 14) Se lanzan 5 monedas. Halla la probabilidad de obtener 5 caras y también la de obtener alguna cruz. 15) Se extraen, una tras otra, 3 cartas de una bajara española, con reemplazamiento. Cuál es la probabilidad de obtener bastos las tres veces? 16) Una urna contiene 5 bolas negras y 3 blancas. Extraemos tres bolas. Cuál es la probabilidad de que las tres sean blancas? Y negras? 5

6 Soluciones: 11) ) 4/390 13) 1/24 y 1/8 14) 1/32 y 31/32 15) 1/64 16) 1/56 y 5/28 6