Fórmula de Taylor. Si f es continua en [a,x y derivable en (a,x), existe c (a,x) tal que f(x) f(a) f '(c) f(x) f(a) f '(c)(x a)

Transcripción

1 Aproimació de ua fució mediate u poliomio Cuado y=f tiee ua epresió complicada y ecesitamos calcular los valores de ésta, se puede aproimar mediate fucioes secillas (poliómicas). El teorema del valor medio permite aproimar el valor de ua fució para u puto e cocreto y acotar el error cometido e dicha aproimació. Si f es cotiua e [a, y derivable e (a,), eiste c(a,) tal que f f(a) f '(c) f f(a) f '(c)( a). a Dar ua cota del valor utilizado el teorema del valor medio. Defiimos f que es ua fució cotiua y derivable e R +, e particular lo es e el itervalo [,]. Aplicado el teorema del valor medio e este itervalo, se obtiee f () f () () co c,, es decir, <c< co lo c c cual c, 5, por cosiguiete, c c, 5, 5,5 c E geeral, buscamos u poliomio que coicida co f e u puto dado =a y que sea aproimadamete igual e las cercaías de dicho puto (etoro del puto). La aproimació más secilla correspode a la recta tagete a f e =a que se deomia aproimació lieal: y-f(a)=f '(a)(-a) f f (a) f '(a)( a) Dar ua aproimació de l(.9) utilizado la recta tagete. La fució a utilizar es f=l e el puto a=, puesto que se cooce f()=l=, obteiedo: f(.9)=l(.9)=f(a)+f (a)(-a)=f()+f ()(,9-)=-., ya que f =/. U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía

2 E u puto próimo a a el error al utilizar la recta tagete e lugar de la epresió de la fució, será: E=f-f(a)-f (a)(-a) Supoiedo que la Tierra es ua esfera perfecta y que su radio es igual a 637, m, qué efecto tedría la toleracia, e uestra estimació del área de la superficie del globo? ds Como S 4 r S' 8 r ds 8 rdr dr r=637) que correspode a dr =, es: ds 8 rdr 8 637, Siedo el error relativo dr, porcetual,34% y el icremeto de la recta tagete a S (e 69 m que se deomia error propagado. ds 8 rdr S 4 r r ,4, o bie el error Costrucció del poliomio Buscamos u poliomio tal que f(a)= (a), f (a)= (a),, f ) (a)= (a). El método debe ser cosistete, es decir, si cosideramos f= la aproimació o debe producir igú error. Sea el poliomio de grado : segú las potecias de -a resulta: a a a... a a que ordeado b b ( a) b ( a)... b ( a) b ( a) co (a)=b o para calcular el resto de los coeficietes b calculamos las derivadas sucesivas del poliomio: ' b ( a) b ( a)... b ( a) b ( a) ;' (a) b '' b... ( )b ( a) ( )b ( a) ;'' (a) b.. i) i i) i i ( )...( i )b ( a) ; (a) b i!.. ( )( ) b ; (a) b! ) ) E cosecuecia los coeficietes ha de ser: b (a) (a)! ) (a) y el poliomio queda:! U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía

3 Ordear segú las potecias de -. ara e a= resulta ()=8 y las sucesivas derivadas: ' 5 4 3;' () 9 '' 3 4; '' () 74 ''' 3; ''' () 3 que sustituyedo e la epresió aterior: 3 ' '' 3 (a) (a) (a) (a) 3 ( a) (a) ( a) ( a) ( a)!!! 3! ( ) ( ) ( ) 8 9( ) 37( ) 5( )!! 3! Defiició: Dada ua fució y=f co derivadas hasta u cierto orde e u puto a, se deomia poliomio de Taylor de grado de f e a: f(a)! f"(a)! f (a)! ) f (a) ( a) ( a)... ( a) o abreviadamete T f,a ) f (a) ( a)! Determiar el poliomio de Taylor de grado =3 de f=l e a=. Calculamos las derivadas sucesivas e a=: f l f() l f' /f'() f '' f ''() 3 f ''' f '''() T 3 f l,a 3 ) 3 f () ( ) ( ) ( ) f () f '()( ) f ''() f '''()!! 3! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! 3! Defiició: ara el valor cocreto de a= el poliomio de Taylor se dice oliomio de Maclauri: T f, ) f ()! U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía 3

4 Determiar el poliomio de Maclauri de grado = de f=ch. Calculamos las derivadas sucesivas e a=: T f ch,a e e f ch f() ch e e f' sh f'() sh e e f '' ch f ''() ) f () ( ) f () f '() f ''()!!!! Usar el poliomio de Maclauri de grado =4 para dar ua aproimació del úmero e. E este caso utilizaremos la fució f=e para la cual f()=e: T 4 f e,a 4 ) f () ( ) f () f '() f ''() f '''() f ''''()!! 3! 4!! 3! 4! ara = resulta e,78! 3! 4! 4 Defiició: Sea f ua fució para la cual eiste el oliomio de Taylor de orde e el puto a, se defie resto de orde de f e a: R f,a f T f,a 3 Cálculo del resto: Q R f,a (a) ( )! Busquemos ua fució Q tal que sea Como f T f,a R f,a, etoces: f (a) f "(a) f (a) Q f f(a) ( a) ( a)... ( a) ( a)!!! ( )! Sea fijo. Utilizamos la fució auiliar: ). U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía 4

5 f (t) f "(t) f (t) Q F(t) f f(t) ( t) ( t)... ( t) ( t)!!! ( )! ) defiida e t [a,]. F verifica las hipótesis del Teorema de Rolle, ya que: ) f(a) f"(a) f (a) Q F(a) f f(a) ( a) ( a)... ( a) ( a)!!! ( )! ) f f " f Q F f f ( ) ( )... ( ) ( )!!! ( )! Luego, F(a)=F. Además F(t) es cotiua e [a,] y derivable e(a,) siedo: ) ) f "'(t) f "(t) f (t) f (t) F'(t) f '(t) f ''(t)( t) f '(t) ( t) ( t)... ( t) ( t)!!!! Q f "'(t) ( )( t) F'(t) f '(t) f ''(t)( t) f '(t) ( t) f ''(t)( t)... ( )!! ) ) ) f (t) f (t) Q f (t) Q.. ( t) (t) (t) (t) (t)! ( )!!! ()! Etoces, c (a,) tal que F (c)=, es decir, ) f (c) Q ) F'(c) (c) (c) Q f (c)!! resultado que el resto -ésimo es: R f,a f T f,a ( )! ) f (c) ( a) co a<c< ó <a<c epresió que se cooce como el resto de Lagrage o térmio complemetario. 4 Acotació del error: Al aproimar f T f,a se comete u error: E R f,a ) f (c) ( a) ( )! y=f T (f,a) f( ) R (f,a) T (f( ),a) =a U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía 5

6 Si f +) es ua fució acotada e u etoro de a (por ejemplo, si es cotiua) f (c) ( a) ( a) ( a) má f (c) ) ) ( )! ca, ( )! ( )! odemos aproimar f por e u etoro de =a co la precisió deseada si más ( a) que tomar suficietemete grade ya que para cada fijo, lim =. ( )! 5 Fórmula de Cauchy para el térmio complemetario o resto: Otra forma equivalete del resto se obtiee escribiedo c a ( a) siedo f (c) f (a (a)) R ( a) ( a) ( )! ( )! ) ) E particular, si a=: R ) f (ah) h ) f ( ) ( )! ( )! siedo h=-a 6 Fórmula de Taylor: Teorema: sea f ua fució derivable hasta el orde +, co derivadas cotiuas hasta el orde e u etoro del puto a, etoces, eiste c (a, ) o bie c (,a) tal que: f(a) f"(a) f f (a) ( a) ( a)!! Si a= se obtiee la fórmula de Maclauri: f() f f ()! f"()! ) f (a)... ( a)! ) f ()...! ) f ( ) ( )! ) f (c) ( a) ( )! co Qué error se comete al adoptar 65/4 como valor del úmero e? Teemos: f=e ; a=; =4 y = (véase el ejemplo aterior) y el error ) 5 f ( ) E R e ( )! 5! E() R 4() e e 3,5 5! 5! 5! 4 ya que la fució epoecial es creciete y el valor de e lo podemos acotar por 3, pues segú el poliomio de Maclauri que e uestro caso da 65/4 es mayor que. U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía 6

7 COMENTARIOS A LA FÓRMULA DE TAYLOR Notació: T f,a oliomio de Taylor de f de grado e = a. Cuado o haya cofusió posible, por simplificar epresioes, podremos simplemete T. ) ara cada fijo qué ocurre cuado? Es decir, a medida que crece el grado del poliomio de Taylor va siedo mejor la aproimació f T? ( a) ) Esto ocurrirá cuado R, es decir, cuado f (c). ( )! ( a) Como, para cada fijo, puede demostrarse que, basta que ( )! fució acotada e u etoro de a para que se cumpla. a ) Y, e este caso, será R M, siedo M = sup f (z). ( )! z(a,) ) f sea ua Ejercicio: Aplicado lo aterior, es fácil probar que el resto e las series de Maclauri de las fucioes se, cos y e, tiede a cero cuado tiede a ifiito (precisamete por que sus derivadas de orde +: se ( ), cos ( ), y para próimos a cero). ) ara cada fijo qué ocurre cuado a? e, so fucioes acotadas a) R es u ifiitésimo e a, es decir, lim R a E efecto: lim R lim f - T f (a) T (a) f (a) f (a) a a fucioes cotiuas e a.., por ser f y T b) R es u ifiitésimo e a de orde mayor que. E efecto: ara =, ( a) f f (a) f '(a)( a) f ''(a) R lim lim! a ( a) a ( a)? U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía 7

8 L`Hôpital lim a f ' f '(a) f ' '(a) ( a) ( a)! L`Hôpital lim a f '' f ''(a) f '' es cotiua e a ara = 3, se haría eactamete igual, pero, aplicado la regla de L Hôpital tres veces e lugar de dos. ara =, se aplicaría la regla de L Hôpital veces, llegado al mismo resultado: R lim. a ( a) Notació: A veces se escribe, e el desarrollo de Maclauri, f T O( ) idicado co O( ) u ifiitésimo de orde mayor ó igual que + (que o es otro que el resto R ). E geeral, e = a: f T O(( a) ) c) E el caso particular de que f sea u ifiitésimo cuado a, al ser R otro ifiitésimo e = a y verificarse que f T R, se tiee que: c ) T f R es tambié u ifiitésimo e a (por ser resta de dos ifiitésimos ). ) Además, por ser lim T f(a) f '(a) f ''(a) f (a) lim... a ( a) a - - ( - a) ( - a)!( - a)!( - a) ( a) lim a T se deduce que orde que R. T es u ifiitésimo de orde meor que, y por tato, de meor c ) Como cosecuecia de lo aterior y aplicado que la suma de ifiitésimos es u ifiitésimo equivalete al sumado de meor orde, se verifica: es decir, f y poliomio ulo. f T R T T so ifiitésimos equivaletes e a, para u tal que o sea el T c 3 ) Si g es otro ifiitésimo e a que cumple las hipótesis de la fórmula de Taylor, se verifica: U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía 8

9 lim a supoiedo T f,a y T g,a m f g T lim a T m f,a g,a e u etoro de = a (se toma y m los meores que lo verifica, pudiedo ser y m distitos etre sí). Esta igualdad de límites se obtiee aplicado la propiedad de que u ifiitésimo e = a que aparezca como factor o divisor e ua epresió de la que se quiera calcular su límite cuado a, puede sustituirse por otro ifiitésimo equivalete y el límite o varía. Álgebra de los oliomios de Taylor. ara obteer el oliomio de Taylor de ua fució compuesta, muchas veces es preferible desarrollar por separado las fucioes compoetes y sumar, restar o multiplicar los poliomios de Taylor de las respectivas fucioes. 3) Si f y g so dos fucioes que cumple las hipótesis de la Fórmula de Taylor e u etoro de = a, llamado T (f ) y T (g) a los respectivos poliomios de Taylor de grado e = a, se verifica: a) T (f g) T (f ) T (g) térmios e b) T (f g) T (f ) T (g) a, a,..., a. 4) Fórmula de Taylor para la fució compuesta f a b c Ff Si coocemos los desarrollos de Taylor de las fucioes y e = a, y de y f e (a) b: () c c( a) c ( a)... c ( a) O ( a) () f a a ( b) a ( b)... a ( b) O ( b etoces, se verifica: ) (3) F f ( ) b b ( a) b ( a)... b ( a) O ( a ), obteiédose estos coeficietes b i de la siguiete forma: E () se sustituye por y luego se sustituye por su desarrollo (), efectuado las correspodietes operacioes matemáticas y coservado solo los térmios e la forma b ( a, co =,,...,. ) U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía 9

10 E el caso particular: etoces: m ( ) A y f a a a... a O( ) f ( ) a a (A ) a (A )... a (A ) m m m Si h es la fució derivada de f etoces T h, T f, Si h es ua fució primitiva de f etoces: T h, T f (t), Fórmulas de Maclauri de alguas fucioes: dt 3 4 c e... e co c, o bie c,! 3! 4!!! 3 4 () l( )... ( ) ( ) c 3 4 c, o bie c, s e... s e s e c 3! 5! 7!!! c, o bie c, 4 6 cos... cos cosc! 4! 6!!! ( )... ( )! 3!! 35 ( ) co c, o bie c,! 3 3 c c, o bie c, U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía