Tema 10: Espacio Afin Tridimensional

Transcripción

1 Te Espcio Afin Tridiensionl Se ll sise de referenci del espcio fín E l conjuno (O, u, u, u ). Siendo O un puno de E u, u, u res vecores libres que forn un bse de V. Ls recs OX, OY, OZ que psn por O son prlels respecivene los vecores u, u, u se lln ejes de coordends del sise de referenci (O, u, u, u ). El puno O es el origen de coordends. Todo puno P del espcio deerin el vecor OP, v en l figur, lldo vecor de posición de P, l que OA v u u u. Ddos dos punos A(,, ) B(b,b,b ) ls coordends del vecor AB respeco de l bse u, u, } son AB b, b, b ). (..- Ecuciones del plno en el espcio. Pr deerinr un plno en el espcio necesios conocer { u Un puno A dos vecores direcores (prlelos l plno) u w. (deerinción linel del plno) Tres punos A, B, C no linedos Un puno A un vecor norl (perpendiculr) l plno. Se un plno definido por A(,, ) w( u, u, u) v( v, v, v)...- Ecución vecoril. Si cogeos un puno X del plno, el vecor AX es linelene dependiene de los vecores u w, es decir, podeos escribir el vecor AX en función de los vecores u w AX v s w donde s son núeros reles. Por no Rng( AX, u, w ) Si son los vecores de posición de los A X, respecivene AX coo AX v s w Podeos escribir v sw que se corresponde con l ecución vecoril de un plno Escribiendo ls coponenes de cd vecor, l ecución vecoril qued de l for (,, ) (,, ) ( v, v, v) s( w, w, w ) Meáics Curso inensivo Julio-Sepiebre de 8 Rúl G.M. 7

2 Ecuciones prérics Si sepros l ecución vecoril en cd un de sus coponenes, obeneos ls ecuciones prérics v sw v sw v sw...- Ecución Generl o iplíci Coo heos viso, los vecores AX, u w son linelene dependienes, por no su deerinne es nulo u u u v v Si desrrollos ese deerinne siplificos, nos quedrá un ecución linel de l for v b c d Donde el vecor n (, b, c) es el vecor norl (perpendiculr) l plno. Curo o s punos del espcio son coplnrios cundo perenecen l iso plno. Sen A, A,A, A n n punos no linedos, l condición necesri suficiene pr que sen coplnrios es que enre los vecores A A, A A, A A,..., A An solo h linelene independienes, es decir A, A,A, A n son coplnrios Rng A A, A A, A A,..., A A ) ( n En l siguiene bl se recogen ls disins ecuciones de los plnos cresinos...- Ecución Segenri Se l ecución generl de un plno b c d que no ps por el origen de coordends (es decir d ) Meáics Curso inensivo Julio-Sepiebre de 8 Rúl G.M. 8

3 Si psos l érino de l derech el érino independiene, eneos b c d b c Si dividios bs pres de l iguldd por (-d), eneos d d d b c Y si hceos los siguienes cbios de vrible,, l ecución qued d d n d Que recibe el nobre de ecución segenri. Los punos A(,,,), B(,n,) C(,,) son los punos de core del plno con los res ejes de coordends Ecución Norl n Se A(,, ) un puno del plno, culquier oro puno X(,,) del plno deerin con A un vecor AX. Coo los vecores AX el vecor norl l plno n (, b, c) son perpendiculres, su produco esclr es nulo AX n ( ) b( ) c( ) De donde si siplificos b c d..- Ecuciones de un rec en el espcio. Un rec qued deerind por Dos de sus punos. Dos plnos no prlelos, que se corn dndo lugr un rec. Por un puno por el que ps un vecor direcor (prlelo l rec) Se r un rec definid por A(,, ) r u( u, u, u)...- Ecución vecoril u Que podeos escribir (,, ) (,, ) ( u, u, u)...- Ecuciones Prérics Escribiendo cd un de ls coponenes por seprdo u u u Pr cd vlor de, obeneos un puno de l rec. Meáics Curso inensivo Julio-Sepiebre de 8 Rúl G.M. 9

4 Ecución coninú Si en cd un de ls ecuciones prérics despejos, obeneos Por no u u u u u u Que es l ecución de un rec en for coninu....- Ecuciones eplícis Cundo eneos plnos, esos se pueden corr en un rec. Por no podeos deerinr l ecución de un rec edine l inersección de dos plnos secnes (que se corn). Eso es lo que se lln ecuciones eplícis, son ls dos ecuciones de los plnos que se corn b c d b c d Pr deerinr el vecor direcor de l rec, r, prir de ls ecuciones eplícis, bs clculr el produco vecoril de los vecores norles bos plnos dr n (, b, c) n (, b, c) Y pr obener un puno de ell, clculos un de ls infinis soluciones del sise (S.C.I.) fordo por ls ecuciones de los dos plnos. Dos o ás punos del espcio se dicen que esán linedos o son colineles cundo perenecen l is rec. Sen A, A,A, A n n punos, l condición necesri suficiene pr que esén linedos es que los vecores A, A A, A A,... A A sen proporcionles, es decir A, n A, A,A, A n esán linedos Rng A A, A A, A A,..., A A ) ( n..- Incidenci enre puno rec puno plno. Se dice que un puno A es incidene con un rec r, cundo el puno perenece l rec r. Pr coprobr si un puno es incidene con un rec bs con susiuir ls coordends del puno en ls ecuciones de l rec, pr ver que se verificn. Se dice que un puno A es incidene con un plno, cundo el puno perenece l plno. Pr coprobr si un puno es incidene con un plno bs con susiuir ls coordends del puno en l ecución generl del plno pr ve si l verific...- Posiciones relivs de dos recs. Dos recs pueden ser Prlels (No ienen ningun puno en coún) Prlels Coincidenes (Todos los punos son counes) Secnes (Tienen un puno en coún) No Prlels Cruds (Ningun puno en coún esn en disinos plnos) Meáics Curso inensivo Julio-Sepiebre de 8 Rúl G.M.

5 A(, Se l rec r definid por, ) dr ( r, r, r ) B( b, b, b ) l rec s por ds ( s, s, s ) El vecor AB b, b, b ) iene su origen sobre l rec r su ereo sobre l rec s. ( Según l dependenci de los vecores dr, ds, AB se ienen los siguienes csos Cso Rng ( dr, ds) Rng ( dr, ds, AB) Ls recs se Crun Cso Rng ( dr, ds) Rng ( dr, ds, AB) Ls recs se Corn Cso Rng ( dr, ds) Rng ( dr, ds, AB) Ls recs son Prlels disins Cso Rng ( dr, ds) Rng ( dr, ds, AB) Ls recs son Coincidenes Tbién lo podeos esudir de or for (unque coo vereos es l is) Cso r r r b b b s s s r r r Ls recs son Coincidenes r r r b b b b Cso ó s s s r r r r Ls recs son Prlels disins r r r r r r r Cso ó s s s s s s s b b b Ls recs se corn Cso r s r r r r r r ó s s s Ls recs se crun s s s b b b b c d b c d Si nos dn ls dos recs en for eplíci r s b c d b c d b c b c d b c b c d Escribios ls rices M b c M * esudios sus rngos. b c d b c b c d Si Rng(M) Rng(M*) Ls recs r s se crun Si Rng(M) Rng(M*) Ls recs r s se corn Si Rng(M) Rng(M*) Ls recs r son prlels Si Rng(M) Rng(M*) Ls recs r s son coincidenes..5.- Posición reliv de rec plno Un rec un plno en ser Prlelos (No ienen ningun puno en coún) Prlelos Rec conenid en plno (Todos los punos son counes) No Prlelos { Secnes (Tienen un puno en coún) Meáics Curso inensivo Julio-Sepiebre de 8 Rúl G.M.

6 A(, Se l rec r definid por, ) dr ( r, r, r ) el plno por b c d Si hceos el produco esclr del vecor norl l plno n (, b, c) el vecor direcor de l rec dr ( r, r, r ) Si n dr r br cr L rec el plno son prlelos. Si dr r br cr L rec cor l plno. n Pr disinguir si l rec es prlel l plno o esá conenid en él, coprobos si el puno A perenece l plno. Si perenece, l rec esá conenid en el plno, si no perenece, l rec el plno son prlelos. A B C D r Si nos dn l rec en for eplíci; eneos A B C D { A B C D A B C Si escribios l ri de coeficienes M A B C, l ri plid A B C A B C D M * A B C D. Según los rngos de ls rices se ienen los siguienes csos A B C D Cso Si Rng(M) Rng(M*) Rec plno son Secnes Cso Si Rng(M) Rng(M*) Rec plno prlelos Cso SI Rng(M) Rng(M*) Rec plno coincidenes.6 Posición Reliv de dos plnos Sen los plnos b c d b c d. Ls posiciones relivs de dos plnos en el espcio son Meáics Curso inensivo Julio-Sepiebre de 8 Rúl G.M.

7 Meáics Curso inensivo Julio-Sepiebre de 8 Rúl G.M. Si escribios l ri de coeficienes c b c b M, l ri plid * d c b d c b M.Según los rngos de ls rices se ienen los siguienes csos Cso Si Rng(M) Rng(M*) Los plnos se corn en un Rec Cso Si Rng(M) Rng(M*) Prlelos Cso SI Rng(M) Rng(M*) Plnos coincidenes.7.- Posiciones Relivs de plnos Sen los plnos d c b, d c b d c b L ri de coeficienes será C B A C B A C B A M, l ri plid * D C B A D C B A D C B A M. Según los disinos rngos de ls rices M M *, se ienen los siguienes csos Cso Si Rng(M) Rng(M*) Los plnos se cor en un puno (SCD) Cso Si Rng(M) Rng(M*) Dos plnos prlelos oro secne bos, o los plnos se corn dos dos. Cso Si Rng(M) Rng(M*) Los plnos se corn en un rec. Cso Si Rng(M) Rng(M*) Prlelos

8 Cso 5 Si Rng(M) Rng(M*) Los plnos son coincidenes..8.- H de plnos prlelos. Se ll h de plnos prlelos, l conjuno de plnos prlelos uno ddo. El h de plnos prlelos viene deerindo por un plno culquier del iso. Su ecución es ABCK, K R Pueso que odos los plnos son prlelos, odos ienen el iso vecor norl n ( A, B, C)...- Ejercicios.9.- H de plnos Secnes. Se ll h de plnos secnes l conjuno de plnos que psn por un rec que se ll ris del h. (r en el dibujo). El h de plnos qued deerindo por dos plnos disinos de iso, su ecución es ( A B C D) s( A B C D) con, s R.- Hll l ecución del plno que ps por el origen de coordends es prlelo ls recs 7 8 r s 5.- Deerin el plno que coniene l rec r es prlelo l rec s.- Hll l ecución iplíci del plno que ps por el puno P(,,) es prlelo α β β β Meáics Curso inensivo Julio-Sepiebre de 8 Rúl G.M.

9 Meáics Curso inensivo Julio-Sepiebre de 8 Rúl G.M. 5.- Hll l ecución del plno que coniene l rec r es prlelo l rec s 5.- Esudi si los punos (,,); (,,); (-5,,-) esán linedos. En cso firivo hll ls ecuciones prérics coninu que definen en cso negivo, l ecución del plno correspondiene. 6.- Consideros l rec 5 8 r, el plno el puno P(,,). Obén un rec s prlel r que pse por el puno P. Clcul el puno de inersección de r. 7.- Dd l fili de plnos () () ) Clculr l ecución del plno de es fili que ps por el puno (,,-) b) Clculr l ecución del plno de es fili perpendiculr l rec 5 r 8.- Esudir l posición reliv de ls recs r s obener si es posible el ángulo que forn. 9.- Dd l rec r el plno, hllr rondene ) El vlor de pr que r sen prlelos. b) Los vlores de pr que r sen perpendiculres c) Eise lgún vlor de pr el que l rec r esé conenid en el plno?.- Esudir l posición reliv de los plnos ) ( según los vlores de..- Hllr el vlor de k pr que los plnos k engn un rec coún..- Hllr l ecución de un rec que ps por el puno A(,,) cor perpendiculrene l rec s.- Hllr el vlor de p pr que ls recs r p p s sen perpendiculres, el puno de inersección l ecución del plno que deerinn..- Deducir un ecución pr el plno que es perpendiculr 6 que coniene l rec inersección de µ µ 5.- Los punos A(,,5) B(,,) son vérices consecuivos de un recángulo ABCD. El vérice C, consecuivo de B, esá en l rec de ecuciones 6 r. Deerinr los vérices C D.

10 6.- Ddos el plno l rec r, se pide 6 ) Hllr l ecución generl del plno que coniene r es perpendiculr. b) Escribir ls ecuciones prérics de l rec inersección de los plnos. 7.- Obén el vlor de pr el cul ls recs r s se coren, hllr el puno de core. 8.- Se puede consruir un riángulo que eng dos de sus ldos sobre ls recs r s..- Soluciones.- Hll l ecución del plno que ps por el origen de coordends es prlelo ls 7 8 recs r s Pr deerinr l ecución de un plno, necesios puno vecores direcores, pues bien, en ese ejercicio coo el plno ps por el origen de coordends (,,) ese v ser el puno del plno, hor necesios vecores direcores, coo el plno es prlelo ls recs r s, pues los vecores direcores de r de s vn ser lo vecores direcores del plno. Por no dr(,,) ds(,,). α β Así que α β. Coo no e piden l ecución de ningun for en concreo, α β escribios l ás fácil, en ese cso es l Ecución Préric. 5.- Deerin el plno que coniene l rec r s. es prlelo l rec Al igul que en el ejercicio nerior, pr deerinr un plno necesio un puno dos vecores. Coo l rec r esá conenid en el plno, de quí obeneos un puno un vecor, coo l rec s es prlel l plno, de quí obeneos el oro vecor. Y de es ner podeos escribir l ecución del plno. Pr clculr el vecor de l rec r, que e l dn coo inersección de dos plnos, eneos que hcer el produco vecoril de los vecores norles de cd plno i j k dr i () j ( ) k ( ) (,, ), hor, pr clculr un puno de l rec, lo 5 que hceos es resolver el sise hciendo, de quí obeneos Meáics Curso inensivo Julio-Sepiebre de 8 Rúl G.M. 6

11 Meáics Curso inensivo Julio-Sepiebre de 8 Rúl G.M. 7 5 por Guss Por no el puno de l rec, que bién es del plno es P(-,-,). Ahor de l rec s eneos su vecor direcor ds(,,) Y enonces l ecución del plno pedid es β α β α β α.- Hllr l ecución iplíci del plno que ps por el puno P(,,) es prlelo β β β α Teneos que el puno P es (,,) los vecores direcores son los isos que los del oro plno pueso que bos son prlelos. Por no V(,,) u(-,,-). Así que l ecución del plno pedid es 6 ) ( ) ( Y siplificndo nos qued.- Hll l ecución del plno que coniene l rec r es prlelo l rec s Ese ejercicio es igul que los neriores, coo l rec r esá en el plno de ell scos un puno un vecor. P(,,) dr(,-,) de l rec s que es prlel l plno scos un vecor ds(,,). L ecución del plno pedid es β α β α β α 5.- Esudi si los punos A(,,),B(,,),C(-5,,-) esán linedos. En cso firivo, hll ls ecuciones prérics de l rec que definen, en cso negivo, l ecución del plno correspondiene. Pr que un conjuno de punos esén linedos, iene que ocurrir que el rngo de los vecores que los unen se, o lo que es lo iso, si odos los punos esán en l is rec, enonces odos los vecores serán prlelos. Y sbeos que los vecores prlelos son proporcionles, los vecores proporcionles son dependienes, los vecores dependienes ienen rngo. Por no clculos los vecores que vn de A B de A C, veos coo son. (,,) AB ), 6, ( AC

12 Veos si son proporcionles. Coo 6, no son ni proporcionles ni prlelos, por no no esán linedos porque el rng ( AB, AC ), sí que con ellos podeos definir un plno. Teneos vecores un puno, pues l ecución del plno es 6β β β 6.- Consideros l rec r, el plno el puno P, siendo 8 r ; -; P(,,) 5 Obén un rec s prlel r que pse por P. Clcul el puno de inersección de r. Pr obener un rec prlel r que pse por p, lo único que eneos que hcer es susiuir el puno de l rec r por el nuevo puno. s 5 8 Ahor, pr clculr el puno de inersección enre r -, 5 escribo l ecución de l rec en for préric. r 8 l susiuo en el plno 5 ( ) ( 8 ) ( 5 ) Por no el puno de inersección enre l rec el plno P es (,, ) 7.- Dd l fili de plnos ( ) ( ) ) Clculr l ecución del plno de es fili que ps por el puno (,,-) b) Clculr l ecución del plno de es fili perpendiculr l rec r 5 ) Teneos un h de plnos secnes, pues bien, pr clculr l ecución del plno que ps por el puno (,,-) eneos que susiuir el puno en l ecución del h. Por no, ( ) ( ) ( ) 6 6 De ner que l ecución del plno pedid es de donde siplificndo eneos Meáics Curso inensivo Julio-Sepiebre de 8 Rúl G.M. 8

13 b) Si el plno es perpendiculr l rec, quiere decir que el vecor direcor de l rec el vecor norl del plno son prlelos. Vos clculr priero el vecor direcor de l rec, pr ello hceos el produco vecoril de los dos vecores norles los plnos ˆ i ˆ j ˆ k dr n n ˆ( i ) ˆ( j 5) ˆ() k (,5,) 5 El vecor direcor del h de plnos es (,,-), por no bos vecores, ienen que ser proporcionles. (,5,) k (,, ) De quí k 5 k Teneos un sise, que si resolveos eneos k 5 Uilindo l ª l ª Y si uilios l ª l ª 9 9 Por no, eneos un sise incopible. 9 7 Así que en ese h de plnos no eise ningún plno perpendiculr l rec dd. 8.- Esudir l posición reliv de ls recs r s de ecuciones r s Teneos l rec r en ecuciones prérics, su vecor de posición es dr(,,), l rec s esá en ecuciones eplícis, vos clculr su vecor direcor ds i j k ds n n ()( j k ) (,, ) Veos que los vecores dr ds no son proporcionles no ls recs no son prlels. O son Secnes, o se crun. dr kds (,,) k (,, ) Por Vos coger un puno de cd un de ells, vos crer el vecor que ls une. Un puno de r es (,,) un puno de s será (resolviendo el sise) b (,,). En ese cso veos que el puno (,,) perenece bs recs, por no son secnes. Si l clculr oro puno de s no nos sle el iso, enonces eneos que clculr el vecor b, después ver el rngo de dr, ds, b. Si el rngo es, enonces bs esán en el iso plno se corn, si el rngo es, no esán en el iso plno se crun. Meáics Curso inensivo Julio-Sepiebre de 8 Rúl G.M. 9

14 Meáics Curso inensivo Julio-Sepiebre de 8 Rúl G.M Dd l rec r el plno, hllr rondene ) El vlor de pr que r sen prlelos. b) Los vlores de pr que r sen perpendiculres. c) Eise lgún vlor de pr el que l rec esé conenid en el plno?. ) Pr que r sen prlelos, h de ocurrir que el vecor norl del plno el vecor direcor de l rec sen perpendiculres. n dr,),) (,, ( - b) Pr que r sen perpendiculres, los vecores norl l plno direcor de l rec, hn de ser prlelos. Por no kdr n (,-,)k(,,) k - c) Pr que l rec esé conenid en el plno, iene que ocurrir que que un puno de l rec perenec l plno. Por ejeplo el puno (-,,). Veos si perenece susiuendo en. (-)()()- - No eise ningún..- Esudir l posición reliv de los plnos ) ( según. Escribios l ri M l ri * M esudios sus rngos. ) ( ) ( M Si Rng(M)Rng(M*) Los plnos se corn en un puno. Si Rng(M) * M 8 ) 6 ( 6) ( Rng(M*) Los plnos son secnes dos dos (porque ninguno es prlelo).

15 Hllr el vlor de k pr que los plnos engn un rec coún. k Pr que plnos engn un rec coún, iene que ocurrir que el Rng(M)Rng(M*). Pr que eso ocurr, un ecución iene que ser cobinción linel de ls ors dos. Por no, siple vis veos que si K7, l ª ecución es igul ª ás l ª..- Hlr l ecución de un rec que ps por el puno A(,,) cor perpendiculrene l rec s L rec s esá deerind por dos plnos. Vos clculr su vecor direcor i j k ds i j k (,,) Un puno de ell es por ejeplo Si Q (,,). Si escribios l rec s en for préric eneos s ; un puno genérico de ell serí el puno B(-,-,), por no el vecor BA (,, ). Y coo bs recs hn de ser perpendiculres, enonces el produco esclr ds BA, iene que ser nulo. Así que ds BA (,,) (,, ) 6 Por no el vecor direcor de l rec r es (-,,). Y podeos escribir ls ecuciones prérics de l rec r.- Hllr el vlor de p pr que ls recs r p s p sen perpendiculres, el puno de inersección l ecución del plno que deerinn. Pr que sen perpendiculres, el produco de sus vecores direcores h de ser nulo, por no dr ds (,,) (, p,) p 6 p p6 Pr que sen perpendiculres p6. Pr clculr el puno de inersección, escribios bs ecuciones en for préric Meáics Curso inensivo Julio-Sepiebre de 8 Rúl G.M. 5

16 Meáics Curso inensivo Julio-Sepiebre de 8 Rúl G.M. 5 r 5 6 s Y hor igulos bs 5 6 resolveos ese pequeño sise Pr clculr el puno de inersección susiuo en culquier de ls ecuciones prérics, obsérvese que si susiuios en l ecución de r en l ecución de s, obeneos el iso puno. El puno de inersección de ls recs r s es (,,) Pr clculr l ecución del plno que deerinn, necesios un puno dos vecores, por no 5.- Deducir un ecución pr el plno que es perpendiculr 6 que coniene l rec inersección de µ µ Si el plno coniene l rec inersección de los plnos, vos clculrl, porque de ell vos obener un puno un vecor. Susiuios l ecución del plno en el plno ) ( ) ( ) ( µ µ Por no l ecución de l rec conenid en el plno es µ µ r Así que un puno de l rec es el puno (,,) el vecor direcor es (,,). Coo eneos que clculr l ecución de un plno, perpendiculr oro, eneos que el vecor norl del plno 6 es n(,-6,) es prlelo l oro. Por no eneos puno vecores; por lo que podeos escribir ls ecuciones prérics del plno que nos piden µ µ 6

17 5.- Los punos A(,,5) B(,,) son vérices consecuivos de un recángulo ABCD. El 6 vérice C, consecuivo de B, esá en l rec de ecuciones r. Deerinr los vérices C D. Si el vérice C esá en l rec, iene por coordends genérics (,6, ), coo l figur es un recángulo, enonces los vecores AB BC son perpendiculres, sí que si produco esclr será nulo. AB (,, ) (,6, ) 6 Por no el puno C es,,. Se el puno D(,,), el vecor DA es (,,5 ) ese vecor bién es perpendiculr l vecor AB, enonces DA (,,5 )(,, ) 5 AB 5 Coo l figur es un recángulo, ls coponenes e del puno D ienen que ser igules que ls del puno C, sí que el puno D es,,5 6.- Ddos el plno l rec r, se pide 6 ) Hllr l ecución generl del plno que coniene r es perpendiculr. b) Escribir ls ecuciones prérics de l rec inersección de los plnos. Coo el plno coniene l rec, de ell scos un puno un vecor, coo deás ese plno es perpendiculr, el vecor norl de es prlelo l plno, sí que eneos puno dos vecores, por lo que podeos escribir l ecución del plno. A(,,); u (6,,); n (,, ) 6 5 ( ) 7( ) 6 Por no l ecución del plno es Ls ecuciones eplícis de l rec inersección son r Lo priero es clculr el vecor direcor de l rec i j k dr n n 55ˆ i ˆ j ˆ k dr ( 5,,), hor necesios un puno. Si hceos, nos qued Si uliplico l prier por 5 suos bs ecuciones, - P(-,,) 5 Por no l rec inersección de los plnos es r Meáics Curso inensivo Julio-Sepiebre de 8 Rúl G.M. 5

18 Meáics Curso inensivo Julio-Sepiebre de 8 Rúl G.M Obén el vlor de pr el cul ls recs r s se coren, hllr el puno de core. Pr que dos recs se coren sus vecores direcores no pueden ser proporcionles, dr(,,) ds(/,-,). Mucho cuiddo con l ecución en for coninu, coo heos viso en clse, l for coninu es v, quí prece, por no heos de escribirl bien. Ess recs no son prlels, pueden ser secnes o que se crucen. Pr que sen secnes Pr hllr el puno de core, escribios bs recs en for préric s r igulndo Por no el puno de inersección es ( ),, 8.- Se puede consruir un riángulo que eng dos de sus ldos sobre ls recs r s Pr poder consruir un riángulo sobre ess dos recs, bs hn de ser secnes. Si veos el vecor direcor de r (,,) el vecor direcor de s (,,), veos que bos son proporcionles (el iso), por no ls recs son prlels. No podeos consruir un riángulo con dos de sus ldos sobre ls recs r s. 9.- Se sbe que los punos A(,,), B(,,), C(,,) D(7,,) esán en un iso plno.hllr clculr l ecución de dicho plno. Si odos los punos esán en un iso plno, el rngo de los vecores que foros desde un puno los oros v ser dos. ) (7,, (,,) ),, ( BD BC BA Vos clculr 7 Rng pr ello clculos el deerinne ) ( 7 7 F F

19 Ese deerinne iene que ser nulo porque los vecores son coplnrios. ( ) - BA (,, ) Si -, susiuendo, obeneos BC (,,) BD (7,, ) Pr escribir l ecución del plno, podeos uilir el puno (,,) los vecores BC (,,) BD (7,, ) α β Por no α β α β b) Esán los punos B, C D linedos? Pr que los punos B,C D esén linedos, el Rngo de los vecores que unen bos punos iene que vler. BC (,,) BD (7,, ) Rng 7 Por no no esán linedos. Meáics Curso inensivo Julio-Sepiebre de 8 Rúl G.M. 55