TEMA 3.- MODELOS DISCRETOS

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1 TEMA 3.- MODELOS DISCRETOS 3.1. Introducción Distribución uniforme discreta de parámetro n. 3.3.Distribución Bernoulli de parámetro p. 3.4.Distribución Binomial de parámetros n y p. Notación: X Bn, p 3.5 Distribución Geométrica de parámetro p. Notación: X G p 3.6 Distribución Poisson de parámetro. Notación: X P 3.7. Procedimiento para abordar problemas INTRODUCCIÓN. Estudio de algunas variables aleatorias discretas que sirven como modelos en situaciones reales. De cada una de ellas, vamos a ver: 1. Situaciones en las que se utiliza y definición. 2. Distribución de probabilidad xi, pi. Comprobación de que los p i son función de masa pi 0, pi 1 3. Medidas: media, xi pi, y varianza (formulario) 4. Cálculo de probabilidades (tablas). 5. Otras propiedades: reproductividad, falta de memoria, teoremas de aproximación,... 1

2 3.2. Distribución uniforme discreta de parámetro n Definición: Diremos que X sigue una distribución uniforme discreta de parámetro n si itoma un número finitoit de valores x 1, x 2,, x n todos ellos con la misma probabilidad 1/n. Este modelo recoge situaciones de máxima incertidumbre. Ejemplo 1: Las siguientes variables siguen una distribución uniforme discreta: X: número que se obtiene al elegir aleatoriamente un número entero entre 1 y 4. Y: número que se obtiene en el sorteo de la lotería de Navidad. Z: resultado que se obtiene en el lanzamiento de un dado FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE UNIFORME DISCRETA En el último tema del curso usaremos la función de distribución de este modelo. Si suponemos ordenados de menor a mayor los valores que toma la variable x1 x2... xn la función de distribución es: 0 x x1 1/ n x1 x x2 Ejemplo 2: Obtener la 2/ n x2 x x3 función de distribución de Fn x X: número que se obtiene i/ n xi x x al elegir aleatoriamente un i1 número entero entre 1 y 4. 1 x xn 2

3 3.3. Distribución de Bernoulli de parámetro p o binomial de parámetros 1 y p X B 1, p Situación: Se realiza un experimento aleatorio en que nos interesa observar si se verifica o no un cierto suceso A que tiene probabilidad p, P(A) = p. Por ejemplo, en un dado, obtener un 5 (A) o no obtener un 5; en un proceso de fabricación, que una pieza sea defectuosa (A) o no. Definición: La variable X que toma el valor 1 si ocurre A y 0 si no ocurre A se dice que tiene distribución de Bernoulli de parámetro p o binomial de parámetros 1 y p. Ejemplo 3: Obtener la distribución de probabilidad de X: número de veces que sale un 5 al lanzar 1 vez un dado. PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI 1. Distribución de probabilidad x i p i 0 1-p 1 p 2. E X 0(1 p) 1 p p E X 0 (1 p) 1 p p V X E X E X p p p p ( ) (1 ) 3

4 3.4.Distribución Binomial de parámetros n y p. X B n, p Situación: Se realiza un experimento aleatorio: Nos interesa observar si se verifica o no un cierto suceso A que tiene probabilidad p, P(A) = p. P(A) = p, se mantiene constante al repetir el experimento Se repite el experimento n veces de forma independiente. Definición: En la situación anterior, la v.a. definida como X: número de veces que ocurre el suceso A (éxito) en las n repeticiones del experimento. se dice que tiene distribución BINOMIAL de parámetros n y p. 3.4.Distribución Binomial de parámetros n y p. Ejemplo 4: La variable X: número de veces que sale un número menor o igual que 2 al llanzar 3 veces un dado, d es B(3,1/3). a) Calcular la probabilidad de salga dos veces un número menor o igual que 2 al lanzar 3 veces un dado. b) Obtener la distribución de probabilidad de X. Ejemplo 5: Se sacan 4 cartas de una baraja española sin reemplazamiento y se define la variable X: número de oros que se obtienen en las 4 extracciones. La variable X NO es binomial porque no se mantiene constante la probabilidad de obtener un oro en las 4 extracciones.. 4

5 PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 1. La función de masa para X B n, p, 0 < p < 1, es: (demostrar) n n P X p 1 p, 0,1,2,..., n 2. EX [ ] npyv( X) np(1 p) (demostrar) 3. La distribución binomial verifica la propiedad de reproductividad para el parámetro n (si p se mantiene fijo) , Si X B n, p, X B n, p,..., X B n, p, independientes X X X B n n n p Ejemplo 6: Si X 1 : número de veces que sale 5 al lanzar 6 veces un dado y X 2 : número de veces que sale 5 al lanzar 8 veces más un dado, X 1 y X 2 son independientes. Entonces, Y: : número de veces que sale 5 al lanzar 14 veces el dado es: X B 6,1/6, X B 8,1/6 Y X X B 14,1/ Diagramas de barras de la distribución binomial 0,5 0,4 0,5,8 0,5 0,4 0,3,8 03 0,3 0,3 0,1 0, Si p = 0.5, la distribución ib ió binomial i es simétrica. i Si p < 0.5, la distribución binomial es asimétrica a la derecha. Si p > 0.5, la distribución binomial es asimétrica a la izquierda. 10 5

6 TABLAS DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL X B n, p Las tablas dan la función de distribución de X, F(): P X F, 012 0,1,2,..., n En las tablas de la binomial 0< p 0.5 y n 10 Si hay que hacer cálculos para una binomial donde p > 0.5, usaremos la propiedad: Si X B n, p, p0.5 Y B n,1 p verifica (1 p) 0.5 X B6,1/ 3 Además, P X P Y n, 0,1, 2,..., n Ejemplo 7: Si calcular: PX ( 3), P X4, P X2, P2 X4 Ejemplo 8: Si X B8,0.6 calcular PX ( 5) 3.5 Distribución geométrica de parámetro p X G p Definición: Sea un experimento aleatorio del que observamos si se verifica o no un cierto suceso A con P(A) = p, 0<p<1. Supongamos que p se mantiene constante al repetir de forma independiente el experimento. Entonces la variable: X: número de veces que hay que repetir el experimento ANTES de que ocurra por primera vez el suceso A (primer éxito) se dice que tiene distribución GEOMÉTRICA de parámetro p 6

7 3.5 Distribución geométrica de parámetro p X G p Ejemplo 9: La variable X: número de veces que hay que lanzar un dado antes de que salga por primera vez un 5 es geométrica con p = 1/6. a) Calcular la probabilidad de tener que lanzar el dado exactamente 7 veces antes de obtener un 5. b) Obtener la distribución de probabilidad de X. c) Calcular la probabilidad de tener que lanzar el dado más de tres veces antes de obtener un 5. PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA 1. La distribución de probabilidad para X G p es: P X 1 p p, 0,1,2,3,..., 0 p1 2. La media y varianza son: 1 p 1 p EX [ ] 1 p p, V( X) 2 p p 0 3. Esta distribución NO es reproductiva respecto de p. 4. No hay tablas de la distribución geométrica. Para hacer cálculos podemos usar la igualdad: 1 P X p 7

8 PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA 5. La distribución geométrica es la única variable discreta que verifica la propiedad p de falta de memoria: P X n / X P X n, n, 0,1,2,... Observación: El suceso que condiciona SIEMPRE tiene que ser del tipo X. El suceso del que hay que calcular la probabilidad puede ser: X > n+, X n+, X = n+, X < n+ óx n+. Ejemplo 10: Sea X~G(0.2), calcular usando la falta de memoria: 6/ 4, 8/ 5, 8/ 6 P X X P X X P X X Diagramas de barras de la distribución geométrica Distribución Geométrica 0,8 0,6 0,8 0,6 0,5 0,4 0, La distribución geométrica siempre es decreciente y asimétrica a la derecha. Cuanto más se acerca p a 1, más rápido decrece el diagrama de barras hacia

9 3.6. Distribución de Poisson de parámetro λ X P Condiciones para su definición: Ocurrencia de sucesos independientes en el tiempo λ= número medio de sucesos/unidad tiempo, se mantiene constante a lo largo del tiempo. Se dice que X: número de sucesos que ocurren en una unidad de tiempo, tiene distribución de Poisson de parámetro λ. Su distribución de probabilidad viene dada por, 0,1,2,3,... P X e! (demostrar) Observación: A veces se trabaja en otras unidades continuas distintas del tiempo: superficie, volumen, Ejemplo 11: Variables con distribución de Poisson 1. Si el número medio de vehículos que llegan al peaje de una autopista es de 2 cada 15 min y esta pauta se mantiene constante en el tiempo, la variable X: número de vehículos que llegan al peaje en 1 hora, sigue un modelo de Poisson de parámetro λ = 8. Calcular la probabilidad de que en una hora lleguen al peaje de la autopista más de dos coches. 2. X: número de defectos en una plancha de metal de 1 m X: número de bacterias en 1 cm 3 de un cultivo de laboratorio. 9

10 PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON 1. EX [ ] yv( X) 2. La distribución de Poisson verifica la propiedad de reproductividad Si X1 P1, X2 P2,..., X P, independientes X X... X P Ejemplo 12: Sean X 1: número de vehículos que llegan al peaje de una autopista en 1 hora. Supongamos que X 1 es P(8) y X 2 : número de vehículos que llegan al peaje en la hora siguiente es P(8), entonces, el número de coches que llegan al peaje en esas dos horas es X1 X2 P(16) Diagramas de barras de la distribución Poisson 0,4 0,3 3 0,4 0,3 6 0,1 0, ,4 0,3 0, Esta distribución siempre es asimétrica a la derecha pero conforme crece, tiende a ser cada vez más simétrica 20 10

11 TABLAS DE LA DISTRIBUCIÓN POISSON X P Las tablas dan la función de distribución F(): PX F, 0,1,2,... Solamente tenemos tablas para λ 10. Ejemplo 13: Si X P 5 calcular: 4, 6, 5, 2 7 P X P X P X P X APROXIMACIÓN BINOMIAL B(n,p) POR POISSON(np) Teorema: Si X Bn, p, n, p0 y np es constante n n lim p 1 p e n! Consecuencia: Si n es grande (n 100), p pequeño (p < 0.1) y np permanece constante (np 10), la distribución B(n,p) se aproxima bien por una variable de Poisson de parámetro = np. Notación: B n, p P( ) Ejemplo 14: Sea X variable B(n=100, p=0.05). Calcular P(X > 7) de forma exacta (usando Statgraphics, que sustituye en la función de masa de la binomial) y usando la aproximación 22 por la distribución de P(5). Compararlas. 11

12 3.7. PROCEDIMIENTO PARA ABORDAR PROBLEMAS 1º Paso: DEFINIR UNA VARIABLE ALEATORIA, X, QUE PERMITA ESCRIBIR LA PREGUNTA QUE NOS HACEN EN TÉRMINOS DE ELLA. 2º Paso: VER SI ESTA VARIABLE X SIGUE UNO DE LOS MODELOS DE DISTRIBUCIÓN ESTUDIADOS EN EL TEMA. MODELOS ESTUDIADOS UNIFORME DISCRETA: TOMA UN NÚMERO FINITO DE VALORES, 0, 1, 2,..., n todos con la misma probabilidad 1/n. X: RESULTADO DEL EXPERIMENTO (de los n posibles) BINOMIAL(n,p): TOMA UN NÚMERO FINITO DE VALORES, 0, 1, 2,..., n. X: NÚMERO DE VECES QUE OCURRE UN SUCESO A (éxito) EN n REPETICIONES INDEPENDIENTES DE UN EXPERIMENTO. 12

13 MODELOS ESTUDIADOS GEOMÉTRICA(p): TOMA UN NÚMERO INFINITO NUMERABLE DE VALORES 0, 1, 2,... X: NÚMERO DE VECES QUE HAY QUE REALIZAR EL EXPERIMENTO ANTES DE QUE OCURRA POR PRIMERA VEZ EL SUCESO A (éxito). POISSON(): TOMA UN NÚMERO INFINITO NUMERABLE DE VALORES 0, 1, 2,... X: NÚMERO DE VECES QUE OCURRE UN SUCESO POR UNIDAD DE TIEMPO (LONGITUD, VOLUMEN,...) EJEMPLOS DE APLICACIÓN Ejemplo 15: En un hospital se comprobó que la aplicación de un nuevo medicamento en enfermos de cirrosis produce una cierta mejoría en el 20% de los casos. Si se aplica el tratamiento a 10 personas, calcular la probabilidad de que mejoren más de 5 Cuál es el número medio de personas que se espera que mejoren? Ejemplo 16: Sabiendo que en un puesto de servicio el Ejemplo 16: Sabiendo que en un puesto de servicio el número medio de llamadas por avería en las últimas semanas ha sido 2, calcular la probabilidad de que en un mes (cuatro semanas) cualquiera se produzcan menos de 10 llamadas por avería. 13

14 EJEMPLOS DE APLICACIÓN Ejemplo 17: En una cadena de montaje se sabe que los empleados cometen un error en una pieza una de cada 20 veces. Si suponemos independiente el montaje de las distintas piezas a) Calcular la probabilidad de que el primer error se cometa en la cuarta pieza que se monta. b) Obtener el número medio de piezas que se montan antes de que se produzca el primer error. 14