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- Isabel Vázquez Campos
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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA SEGUNDO EXAMEN FINAL RESOLUCIÓN SEMESTRE - TIPO DURACIÓN MÁXIMA.5 HORAS JUNIO, NOMBRE Apelldo Patero Apelldo Matero Nombre(s. E ua clase ha 3 alumos, de los cuales estuda glés, estuda fracés ses estuda los ambos domas. Se elge a u alumo al azar se deota: Sea A el eveto que represeta el alumo elegdo aleatoramete estuda glés Sea B el eveto que represeta el alumo elegdo aleatoramete estuda fracés Determar las probabldades de: a P( A, P( A P( A A b Explcar a qué se refere cada probabldad del cso a. 5 Putos Resolucó Se defe: Sea A el eveto que represeta el alumo elegdo aleatoramete estuda glés Sea B el eveto que represeta el alumo elegdo aleatoramete estuda fracés a Se pde calcular P ( A P ( A = P( A + P( P( A que es gual a: susttuedo los datos del eucado: P( A = + = = La seguda parte de la preguta del cso a, se pde calcular: P( A = P( A + P( P( A Al susttur los datos del eucado, se tee: 4 4 P( A = + = = = De la tercera preguta del cso a, se va a calcular, al usar teoremas de la teoría de cojutos, dode A B es el espaco reducdo: P( A ( A P( ( A A ( A P( A ( A P( A P( A A = = = = P A B P A B P A B P A B PE_ EF_TIPO_-
2 5 P 3 ( A A = = = b A qué se refere cada probabldad del cso a: P A B eleccoar al meos a u alumo que estude glés o fracés S. Dagrama de Ve P( A ( Seleccoar a u alumo que estude glés o que o estude fracés. P A Dagrama de Ve P( A P( A A Seleccoar a u alumo que estude glés, s se sabe que estuda glés o que o estuda fracés. Dagrama de Ve P( A A. Supógase que la fucó de dstrbucó acumulatva de la varable aleatora X que mde el ídce de octao e motores de combustó tera es: FX ( x = 6.5x.5x+.65 La varable aleatora está defda etre..5 a Cuál es la probabldad de que el ídce de octao esté etre..3? b Obteer el promedo de octao e u ltro de gasola. PE_ EF_TIPO_-
3 5 Putos Resolucó La probabldad de que el ídce de octao esté etre..3, al utlzar la fucó acumulatva, está dada por: P. < X <.3 = P. X.3 = F.3 F. X X (. < X <.3 =.5.65 =. P. < X <.3 = P a Para calcular el promedo del ídce de octao, prmero se debe determar la fucó de desdad, se sabe que: dfx ( x = f X ( x dx para el caso, se tee: fx ( x =.5x.5 por lo tato la fucó de desdad está dada por:.5x.5 ;. x.5 fx ( x = ; e otro caso El valor esperado del ídce de octao por ltro, es: = E X x f x dx susttuedo: X E X = x.5x.5 dx =.5 x dx.5 x dx E X x x 3 = = (.5 (. (.5 ( E X = = 3. El úmero promedo de camoes taque que llega daro a Sala Cruz, Oaxaca, es tres. Las stalacoes e el puerto maeja a lo más cco camoes taque por día. a Cuál es la probabldad de que e u día cualquera los camoes se tega que regresar? b E los prmeros ocho días de cualquer mes, cuál es la probabldad de que el octavo día del mes, sea el cuarto día e que los camoes taque se tega que regresar? 5 Putos Resolucó a Sea la varable aleatora que represeta el úmero de camoes taque que llega e u día a Sala Cruz, Oaxaca. ~ Posso λ 3 camoes = día La probabldad de que e u día cualquera, los camoes taque se tega que regresar, es: P> 5 = P= 6 + P= 7 + P= +... ( > 5 = ( 5 = ( = + ( = + ( = + ( = 3 + ( = 4 + ( = 5 P P P P P P P P susttuedo los valores: e 3 e = = 3 3 P ( > 5 = = =.96.4!! b Sea R la varable aleatora que represeta el octavo día del mes, para que el cuarto día e que los camoes taque se tega que regresar, cuado llega a Sala Cruz, Oax. R ~ Pascal r = 4, p =.4 PE_ EF_TIPO_- 3
4 co lo que se va a calcular: P( R = = (.4 (.4 = (.4 ( Supógase que la fucó de desdad de probabldad cojuta de u vector aleatoro (, U f TU ( t, u - ( tu + e ; t>, u> = ; e otro caso T es: dode T es el tempo de espera e cola, e mutos, de los cletes e la caja ormal de u pequeño supermercado U es el tempo de espera e cola, e mutos, de los cletes e la caja rápda. a Determar las fucoes margales de desdad de T U b Calcular la probabldad de que el tempo de espera e cola e la caja rápda sea maor que el tempo de espera e la caja ormal. c Obteer la fucó de desdad codcoal del tempo de espera e cola de la caja ormal, dado que el tempo de espera e la cola de la caja rápda es de u muto. d Calcular el coefcete de correlacó e terpretar el resultado. Putos Resolucó Sea T la varable aleatora que represeta el tempo de espera e la cola de la caja ormal. Sea U la varable aleatora que represeta el tempo de espera e la cola de la caja rápda. a Las fucoes margales está defdas como: T = ( (, f t f t u du U = TU (, f u f t u dt TU para el caso, susttuedo: T ( + R R ( t+ u lm ( t+ u lm ( t+ u R + R + f t = e du = e du = e du ( ( R R t+ u ( t+ u ( t+ R ( t+ t ( R + R + R + f t = lm e = lm e = lm e e = e ; t > T la otra fucó margal, está dada por: U + P P ( t+ u lm ( t+ u lm ( t+ u P + P + f u = e dt = e dt = e dt P P ( t+ u ( t+ u ( P+ u ( + u u ( P + P + P + f u = lm e = lm e = lm e e = e ; u > U por tato, las fucoes margales so: t u e ; t > e ; u > ft ( t = fu ( u = ; e otro caso ; e otro caso b La probabldad de que el tempo de espera e cola e la caja rápda sea maor que el tempo de espera e la caja ormal, sgfca que: PU ( > T = PU ( T> De las propedades de la fucó de desdad cojuta, se sabe que: = ((, TU (, P T U R f t u dt du PE_ EF_TIPO_- 4
5 susttuedo: S R ( t+ u ( t+ u PU ( > T = e dudt= lm lm e du dt S + R + t t S S R ( t+ u ( t+ R ( t+ t PU ( > T = lm lm e dt = lm lm ( e ( e dt S + R + t S + R + S S ( t+ R 3t 3t PU ( > T = lm lm ( e ( e dt = lm ( ( e dt S + R + S + S 3 S t 3t 3S PU ( > T = lm e dt = lm e = lm e =.666 S + 3 S + 3 S + 3 c Para determar la fucó de desdad codcoal del tempo de espera e la cola de la caja ormal, cuado el tempo de espera e la cola de la caja rápda es de u muto. De la defcó de fucó codcoal, se sabe que: ftu ( t, u ; fu ( u > ftu u( t u = fu ( u = ; e otro caso susttuedo: ( t + e ; t > f ( t u = TU = = e ; e otro caso smplfcado: t e ; t > f ( t u = T U = = ; e otro caso d Para determar s es depedete permaecer e la cola ormal o rápda, por depedeca de varables aleatoras cojutas, se sabe que: f ( tu TU = ft ( t etoces so varables aleatoras cojutas depedetes, susttuedo: f tu = f t T ( TU t t e = e por tato, sí so depedetes. Dado que la permaeca e las colas ormal rápda es depedete, etoces la covaraca vale cero la correlacó també. Cov( T, U = ( TU ρ, = 5. S la vda meda de operacó de ua pla de ltera es de 4 horas está dstrbuda ormalmete co ua desvacó estádar de tres horas. Cuál es la probabldad de que ua muestra aleatora de plas, tega ua meda muestral que se desvíe más de 3 mutos del promedo real? 5 Putos Resolucó Sea la varable aleatora que represeta la vda de operacó de ua pla de ltera. ~ ( 4, 3 h,,,3,4,..., Normal μ = h σ = = Por el Teorema del Límte Cetral, para el promedo de vda de operacó de la muestra aleatora: σ ~ Normal μ = μ, σ = susttuedo: PE_ EF_TIPO_- 5
6 3 ~ Normal μ = 4 h, σ = h La probabldad de que la muestra aleatora de plas, tega u promedo que se desvíe más de 3 mutos de su promedo, esto es: P( μ > 3 = P μ > = P μ < etoces: μ P μ P μ P < P Z = < < < < = 3 σ 3 < < 6 6 P μ < = P(.67 < Z <.67 = FZ (.67 FZ ( P μ > =.95 =.95 Al usar calculadora o excel: P μ > = P μ < = P(.67 < Z <.67 = FZ (.67 FZ (.67 [ ] E la produccó de herrametas de acero, se ha cosderado lustrar la relacó etre la deformacó ( x la dureza Brell ( x [ mm ] kg mm a Elaborar el dagrama de dspersó. b Estmar la recta de regresó. c Iterpretar el resultado del coefcete de determacó. Putos Resolucó a Dureza Brell kg/mm Dagrama de Dspersó = -.375x R = Deformacó mm b El ajuste de los datos a u modelo leal de regresó por el crtero de mímos cuadrados está dado por: ŷ= ˆ β + ˆ β x PE_ EF_TIPO_- 6
7 dode ˆ β ˆ = βx ˆ SSx β = SSxx Al realzar los productos las sumas, se tee de dode: SS SS x x x Suma: x = ( 7 xx = x = 4496 = 3.5 = x ( 7( 37 = = x = x = = = susttuedo: ˆ SSx.75 β = = =.375 SSxx 3.5 para calcular los promedos: x= x = ( 7 =.5 = = = ( 37 = = susttuedo: ˆ β = (.37(.5 = 77.5 por lo tato el modelo de regresó leal es: ˆ =.375 x c El coefcete de correlacó está defdo por SSx r = SSxx SS Al realzar los cálculos ecesaros: 7.75 PE_ EF_TIPO_- 7
8 SS = ( 37 = = = = por lo que el coefcete de correlacó es:.75 r = = El coefcete de determacó está defdo por: R = r =.9 =.9765 Se coclue que el modelo explca mu be a la varable de etrada, a que es mu bueo el porcetaje de explcacó: R =.9765 Valores de la fucó de dstrbucó acumulatva ormal estádar z PE_ EF_TIPO_-
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2.5. Área de una superficie.
.5. Área de ua superfce. Sea g ua fucó co prmeras dervadas parcales cotuas, tal que z g( x y), 0 e toda la regó D del plao xy. Sea S la parte de la gráfca de g cuya proyeccó e el plao xy es como se lustra
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1.3. Longitud de arco.
.. Logtud de arco. Defcó. Sea C ua curva suave defda paramétrcamete por la fucó vectoral f : R R / f () t = ( f() t, f() t,, f ( t) ) e el espaco R, co t [ a, b], que se recorre exactamete ua vez cuado
Distribuciones Muestrales
Estadístca II / Fucoes Varables Aleatoras. Ig. Dey Gozález Dstrbucoes Muestrales Muestreo Aleatoro Poblacó Muestra Herrametas Estadístcas Medaa Muestral ) ) / (( ) / ( ) / ( ; es mpar ; es par = = Meda
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