1. Función cuadrática y traslación vertical. Completa la siguiente tabla y di qué números se obtienen en la última fila: 36 Diferencia de áreas

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1 0 Función cuadrática. Función cuadrática y traslación vertical Completa la siguiente tabla y di qué números se obtienen en la última fila: P I E N S A C A L C U L A Longitud del lado: x 0 Superficie: y = x 9 Diferencia de áreas Longitud del lado: x 0 Superficie: y = x 0 9 Diferencia de áreas 7 9 Son los números impares. A P L I C A L A T E O R Í A Cuáles de las siguientes funciones son cuadráticas? a) y = x b) y = x + x c) y = x x + x d) y = x + b) y d) Representa la parábola y = x a) Escribe su eje de simetría. b) Cuándo es creciente? c) Cuándo es decreciente? d) Escribe el vértice y di si es máximo o mínimo. e) Es convexa ( ) o cóncava ( )? f) A partir de ella dibuja la parábola y = x a) x = 0 b) Cuando x > 0 c) Cuando x < 0 d) V(0, 0) es mínimo. e) Es convexa, ( ) 78 SOLUCIONARIO

2 f) Halla la ecuación de las siguientes parábolas: a) b) Representa la parábola y = x. A partir de ella dibuja la parábola y = x +. De ésta: a) a) Escribe el eje de simetría. b) Cuándo es creciente? Cuándo es decreciente? c) Escribe el vértice y di si es máximo o mínimo. d) Es convexa ( ) o cóncava ( )? V(0, ) c =, a = y = x b) V(0, ) c =, a = y = x + a) x = 0 b) Creciente: cuando x < 0 Decreciente: cuando x > 0 c) V(0, ) es máximo. d) Es cóncava, ( ) UNIDAD 0. FUNCIÓN CUADRÁTICA 79

3 . Traslación horizontal y vertical. Desarrolla mentalmente los siguientes cuadrados: a) (x + ) b) (x ). Factoriza mentalmente los siguientes trinomios: a) x + x + b) x 0x + P I E N S A C A L C U L A. a) x + x + 9 b) x x +. a) (x + ) b) (x ) A P L I C A L A T E O R Í A Representa la parábola y = x Representa la parábola y = x A partir de ella dibuja la parábola y = (x ).De ésta halla: A partir de ella dibuja la parábola y = (x + ). De ésta halla: a) El eje de simetría. a) Su eje de simetría. b) El vértice. Di si es máximo o mínimo. b) El vértice. Di si es máximo o mínimo. a) x = b) V(, 0) es un mínimo. a) x = b) V(, 0) es un máximo. 80 SOLUCIONARIO

4 7 Representa la parábola y = x A partir de ella dibuja la parábola: y = (x + ) A partir de ella dibuja la parábola y = (x + ). De ésta halla: a) El eje de simetría. b) Su vértice. Di si es máximo o mínimo. 9 Halla el eje de simetría de la siguiente parábola: y = x x + b x = a a =, b = x = = 0 Halla el eje de simetría de la siguiente parábola: y = x + x a) x = b) V(, ) es mínimo. 8 Representa la parábola y = x A partir de ella dibuja la parábola: y = (x ) A partir de ella dibuja la parábola: y = (x ) + De ésta halla: a) El eje de simetría. b) El vértice. Di si es máximo o mínimo. b x = a a =, b = x = = = ( ) Halla el eje de simetría de la siguiente parábola: y = x + x + b x = a a =, b = x = = = Halla el eje de simetría de la siguiente parábola: y = x + 8x b x = a a =, b = x = = = ( ) 8 a) x = b) V(, ) es máximo. UNIDAD 0. FUNCIÓN CUADRÁTICA 8

5 . Parábola general y = ax + bx + c El eje de una parábola es x = y se sabe que a =. Cuánto vale b? P I E N S A C A L C U L A b x = b = ax b = a Calcula mentalmente el punto donde corta al eje la parábola siguiente: y = x x + (0, ) A P L I C A L A T E O R Í A Dada la parábola siguiente: y = x + x a) Halla el eje de simetría. b) Halla el vértice. Di si es máximo o mínimo. c) Representa la parábola. Dada la parábola siguiente: y = x x + a) Halla el eje de simetría. b) Halla el vértice. Di si es máximo o mínimo. c) Representa la parábola. a) x = b) V(, ) es máximo. c) Gráfica: V(, ) a) x = b) V(, ) es mínimo. c) Gráfica: x = x = V(, ) 8 SOLUCIONARIO

6 Dada la parábola siguiente: y = x + x a) Halla el eje de simetría. b) Halla el vértice. Di si es máximo o mínimo. c) Representa la parábola. a) x = b) V(, ) es mínimo. c) Gráfica: x = Halla la ecuación de las siguientes parábolas: 8 x = (0, ) V(, ) V(, ) 7 Dada la parábola siguiente: y = x 8x a) Halla el eje de simetría. b) Halla el vértice. Di si es máximo o mínimo. c) Representa la parábola. a = x =, b = ax b = 8 c = y = x + 8x + a) x = b) V(, ) es máximo. c) Gráfica: 9 V(, ) x = V(, ) (0, ) a = x =, b = ax b = c = y = x + x + x = UNIDAD 0. FUNCIÓN CUADRÁTICA 8

7 . Puntos de corte Dadas la parábola y la recta del dibujo, calcula: a) Los puntos de corte de la parábola con el eje b) Los puntos de corte de la recta y la parábola. a) A(, 0) y B(, 0) b) C(, ) y D(, ) y = x x y = x + P I E N S A C A L C U L A 0 Halla los puntos de corte de la siguiente parábola con el eje : y = x x Representa la parábola y comprueba los puntos de corte. A(, 0) y B(, 0) Halla los puntos de corte de la siguiente parábola con el eje : y = x + x 8 A(, 0) y B(, 0) A P L I C A L A T E O R Í A A(, 0) B(, 0) A(, 0) B(, 0) 8 SOLUCIONARIO

8 Halla los puntos de corte de la recta y la parábola siguientes: y = x + y = x + x + Representa la recta y la parábola. Comprueba los puntos de corte. A(, ) y B(0, ) Halla los puntos de corte de las siguientes parábolas: y = x y = x + x + Representa las parábolas y comprueba los puntos de corte. A(, ) y B(, ) A(, ) B(0, ) A(, ) B(, ) Halla los puntos de corte de la recta y la parábola siguientes: y = x y = x + x Halla los puntos de corte de las siguientes parábolas: y = x 8x + y = x + x + Representa las parábolas y comprueba los puntos de corte. A(, ) y B(, ) A(, ) y B(, ) A(, ) A(, ) B(, ) B(, ) UNIDAD 0. FUNCIÓN CUADRÁTICA 8

9 Ejercicios y problemas. Función cuadrática y traslación vertical Cuál de las siguientes funciones es cuadrática? a) y = 7x + x + b) y = x c) y = 7x + x d) y = x c) y d) 8 Representa la parábola y = x A partir de ella dibuja la parábola y = x +. De ésta: a) Halla el eje de simetría. b) Cuándo es creciente? c) Cuándo es decreciente? d) Halla el vértice y di si es máximo o mínimo. e) Es convexa ( ) o cóncava ( )? 7 Representa la parábola y = x a) Escribe su eje de simetría. b) Cuándo es creciente? c) Cuándo es decreciente? d) Halla su vértice y di si es máximo o mínimo. e) Es convexa ( ) o cóncava ( )? f) A partir de ella dibuja la parábola: y = x + a) x = 0 b) Cuando x > 0 c) Cuando x < 0 d) V(0, 0) es mínimo. e) Es convexa, ( ) f) a) x = 0 b) Es creciente cuando x < 0 c) Es decreciente cuando x > 0 d) V(0, ) es máximo. e) Es cóncava, ( ) 9 Halla la ecuación de las siguientes parábolas: a) b) 8 SOLUCIONARIO

10 a) b) V(0, ) V(0, ) a) y = x + b) y = x. Traslación horizontal y vertical 0 Representa la parábola: y = x A partir de ella dibuja la parábola y = (x ).De ésta: a) Halla el eje de simetría. b) Halla el vértice y di si es máximo o mínimo. a) x = b) V(, ) es máximo. Halla el eje de simetría de la siguiente parábola: y = x + x + b x = a a =, b = x = = a) x = b) V(, 0) es mínimo. Halla el eje de simetría de la siguiente parábola: y = x + x b x = a a =, b = x = = ( ) Representa la parábola y = x A partir de ella dibuja la parábola: y = (x ) A partir de ella dibuja la parábola: y = (x ) + De ésta halla: a) El eje de simetría de ambas. b) Su vértice. Di si es máximo o mínimo.. Parábola general y = ax + bx + c Calcula mentalmente el punto donde corta al eje la parábola: y = x x + A(0, ) UNIDAD 0. FUNCIÓN CUADRÁTICA 87

11 Ejercicios y problemas Dada la siguiente parábola: y = x x + 7 Halla la ecuación de las siguientes parábolas: a) Halla el eje de simetría. b) Halla el vértice y di si es máximo o mínimo. a) b) c) Representa la parábola. a) x = b) V(, ) es mínimo. c) Gráfica: x = a) b) x = x = (0, ) V(, ) Dada la siguiente parábola: y = x x + a) Halla el eje de simetría. b) Halla el vértice y di si es máximo o mínimo. c) Representa la parábola. a) x = b) V(, ) es máximo. c) Gráfica: a) a =, x = b) a =, x = b = ax b = b = ax b = c = c = 0 y = x x + y = x x. Puntos de corte 8 Halla los puntos de corte con el eje de la parábola y = x 8x +. Represéntala y comprueba los puntos de corte. V(, ) A(, 0) y B(, 0) (0, 0) x = A(, 0) B(, 0) 88 SOLUCIONARIO

12 9 Halla los puntos de corte de la recta y la parábola siguientes: 0 Halla los puntos de corte de las siguientes parábolas: y = x + y = x + x + y = x x + y = x + x Represéntalas y comprueba los puntos de corte. Represéntalas y comprueba los puntos de corte. A(, ) y B(, ) A(, ) y B(, ) A(, ) B(, ) A(, ) B(, ) Para ampliar Representa la parábola y = x / Halla la ecuación de las siguientes parábolas: a) Escribe el eje de simetría. b) Cuándo es creciente? a) b) c) Cuándo es decreciente? d) Escribe el vértice y di si es máximo o mínimo. e) Es convexa ( ) o cóncava ( )? a) b) x = 0 V(, ) (0, 0) P(, ) a) x = 0 b) Es creciente cuando x > 0 c) Es decreciente cuando x < 0 d) V(0, 0) es mínimo. e) Es convexa, ( ) (0, ) x = a) y = ax b) a =, x = x = y = a b = ax b = 8 a = a = / c = y = x / y = x + 8x UNIDAD 0. FUNCIÓN CUADRÁTICA 89

13 Ejercicios y problemas Representa la parábola: y = x A partir de ella dibuja la parábola: y = (x + ) De ésta halla: a) El eje de simetría. b) El vértice. Di si es máximo o mínimo. Halla el eje de simetría de la siguiente parábola: y = x x + b x = a a =, b = x = = = Halla el eje de simetría de la siguiente parábola: y = x + 8x a) x = b) V(, 0) es máximo. Representa la parábola y = x A partir de ella dibuja la parábola y = (x + ) A partir de ella dibuja la parábola: y = (x + ) De ésta halla: a) El eje de simetría. b) Su vértice. Di si es máximo o mínimo. b x = a a =, b = x = = = ( ) 7 Dada la parábola: y = x + x a) Halla el eje de simetría. b) Halla el vértice. Di si es máximo o mínimo. c) Representa la parábola. a) x = b) V(, ) es máximo. c) Gráfica: V(, ) x = a) x = b) V(, ) es un mínimo. 90 SOLUCIONARIO

14 8 Halla los puntos de corte con el eje de la parábola: y = x x Represéntala y comprueba los puntos de corte. A(, ) y B(, ) B(, ) A(, 0) y B(, 0) A(, ) B(, 0) A(, 0) 9 Halla los puntos de corte de la recta y = x + y la parábola y = x + x Represéntalas y comprueba los puntos de corte. A(, ) y B(, ) 0 Halla los puntos de corte de las parábolas: y = x + x + y = x x Represéntalas y comprueba los puntos de corte. A(, ) B(, ) Los ingresos y los gastos de una empresa durante los 8 primeros años vienen definidos en miles de millones de euros por las siguientes funciones cuadráticas: t Ingresos: I(t) = t + + t Gastos: G(t) = t + a) Halla los momentos en los que los ingresos y los gastos se igualan. b) Cuándo son máximos los ingresos? c) Cuándo son mínimos los gastos? a) Se igualan los segundos miembros y se resuelve la ecuación. t = años y t = 0 años b) Los ingresos son máximos en el máximo de la función I(t), que corresponde al valor del eje de simetría. t = años c) Los gastos son mínimos en el mínimo de la función G(t), que corresponde al valor del eje de simetría. t = 7, años Dinero (miles de millones de ) G(t) I(t) Tiempo (años) UNIDAD 0. FUNCIÓN CUADRÁTICA 9

15 Ejercicios y problemas Problemas Halla la fórmula que calcula el área de un círculo en función del radio, y, si es una función cuadrática, represéntala gráficamente. Halla la ecuación de las siguientes parábolas: a) b) y = πx Halla la fórmula que calcula el volumen de un cubo en función de la arista, y, si es una función cuadrática, represéntala gráficamente. y = x No es una función cuadrática. a) b) V(, ) x = (0, ) x = V(, ) a) a =, x = b) a =, x = b = ax b = 8 b = ax b = c = c = y = x 8x y = x + x (0, ) Halla el valor de b en la siguiente parábola sabiendo que su eje es x = : y = x + bx x =, a = b x = b = ax b = a Halla el valor de a en la siguiente parábola sabiendo que su eje es x = : y = ax x x =, b = b b x = a = a = a x 7 En un prado se quiere cercar un recinto rectangular para que paste una cabra. Sabiendo que se tienen m de alambre y cuatro estacas para hacerlo: a) Halla la fórmula del área. b) Haz la representación gráfica. c) Cuándo es máxima el área? Cuánto vale? Base: x Altura: x a) y = x( x) y = x x b) Grafica: 0 V(, ) Lado (m) Área (m ) x = c) El área es máxima cuando x =, vale m 9 SOLUCIONARIO

16 8 Una pelota de golf sigue un movimiento uniformemente acelerado y su altura viene dada por la fórmula: h = t t 0 Sabiendo que el tiempo está dado en segundos y la altura en metros: a) Dibuja la gráfica. b) Qué altura máxima alcanza? c) A qué longitud llega? 9 Altura (m) a) Altura máxima: 0 m b) Longitud: 00 m Halla los puntos de corte con el eje de la siguiente parábola: y = x x + 9 Representa la parábola e interpreta el resultado. A(, 0) x = 0 V(0, 0) Tiempo (s) A(, 0) 0 La siguiente gráfica representa el número de enfermos de legionela en un determinado hospital: Número de enfermos a) Durante cuántas semanas aumentó la enfermedad? b) Durante cuántas semanas disminuyó la enfermedad? c) Qué día hubo más enfermos de legionela? Cuántos fueron? d) Cuántos días duró la enfermedad? e) Halla la fórmula de la función. a) Durante las tres primeras semanas. b) Durante las tres siguientes semanas. c) El día y hubo 9 d) 7 = días. e) Número de enfermos a = x =, b = ax b = c = y = x + x + Tiempo (semanas) V(, 9) (0, ) x = Tiempo (semanas) Corta en un solo punto porque la parábola es tangente al eje UNIDAD 0. FUNCIÓN CUADRÁTICA 9

17 Ejercicios y problemas Halla los puntos de corte de la recta y = x + con la parábola y = x + x + Representa la recta y la parábola e interpreta el resultado. y = x No tienen puntos de corte. No se cortan. Halla los puntos de corte de las parábolas: y = x + x + 0 y = x x + Representa las parábolas e interpreta el resultado. Se resuelve el sistema por igualación. A(, ) A(, ) Halla la fórmula que define el volumen de una esfera en función del radio, y, si es una función cuadrática, represéntala gráficamente. y = πx No es una función cuadrática. Halla la fórmula que define el área de un triángulo equilátero en función del lado, y, si es una función cuadrática, represéntala gráficamente. h x Aplicando el teorema de Pitágoras. h = x (x/) x h = x/ x A(x) = Solamente se cortan en un punto porque son tangentes. Para profundizar Halla la fórmula que define el área de un cubo en función de la arista, y, si es una función cuadrática, represéntala gráficamente. Área (m ) Lado (m) 9 SOLUCIONARIO

18 Halla el valor de b y c en la siguiente parábola sabiendo que pasa por los puntos A(, ) y B(, ): y = x + bx + c 7 Halla el valor de a y b en la siguiente parábola sabiendo que pasa por los puntos A(, ) y B(, ): y = ax + bx + + b + c = b + c = b =, c = y = x x a + b + = a + b + = a =, b = y = x + x + Aplica tus competencias 8 Halla la fórmula del m.r.u.a. que tiene una aceleración de m/s, una velocidad inicial de m/s y un espacio inicial de m. Haz la representación gráfica. e(t) = t + t + 9 La fórmula de un m.r.u.a. es e = t + t +. Calcula la aceleración, la velocidad inicial y el espacio inicial. Haz la representación gráfica. a = m/s v 0 = m/s e 0 = m V(, ) V (, 7 ) x = / x = UNIDAD 0. FUNCIÓN CUADRÁTICA 9

19 Aplica tus competencias 70 La gráfica de un m.r.u.a. es el dibujo. Calcula la fórmula, la aceleración, la velocidad inicial y el espacio inicial. (0, ) x = V(, ) Se calcula la fórmula: a = x =, b = ax b = 8 c = e(t) = t 8t + Se tiene: aceleración: a = m/s velocidad inicial: v 0 = 8 m/s espacio inicial: e 0 = m Comprueba lo que sabes Define función cuadrática y pon un ejemplo. Una función cuadrática es la que está definida por un polinomio de segundo grado y es de la forma: y = ax + bx + c a 0 Ejemplo: y = x x + Representa la parábola y = x. A partir de ella dibuja la parábola y = x +. De ésta: a) Halla el eje de simetría. b) Cuándo es creciente? c) Cuándo es decreciente? d) Halla el vértice y di si es máximo o mínimo. e) Es convexa ( ) o cóncava ( )? 9 SOLUCIONARIO

20 Comprueba lo que sabes a) x = 0 b) Es creciente cuando x < 0 c) Es decreciente cuando x > 0 d)v(0, ) es máximo. e) Es cóncava, ( ) V(, ) (0, ) Halla el eje de simetría de la parábola: y = x + 8x x = b a a =, b = 8 x = 8 = 8 = ( ) Dada la siguiente parábola: y = x x + a) Halla el eje de simetría. b) Halla el vértice y di si es máximo o mínimo. c) Representa la parábola. a = x =, b = ax b = c = y = x + x + Halla los puntos de corte con el eje de la parábola y = x x A(, 0) y B(, 0) x = a) x = b) V(, ) es mínimo. c) Gráfica: x = 7 Halla los puntos de corte de las siguientes parábolas: y = x x + 7 y = x + x A(, ) y B(, ) V(, ) 8 Un balón de baloncesto sigue un movimiento uniformemente acelerado y su altura viene dada por la fórmula h = t t El tiempo está dado en segundos, y la altura en metros. Dibuja la gráfica. Qué altura máxima alcanza? Halla la ecuación de la parábola del dibujo siguiente: V(, ) x = La altura máxima que alcanza es m UNIDAD 0. FUNCIÓN CUADRÁTICA 97

21 Windows Derive Paso a paso 7 7 Representa la siguiente parábola: y = x x + Halla: El eje de simetría. Dibújalo. El vértice. Di si es máximo o mínimo. Resuelto en el libro del alumnado. Dada la parábola y = x + x Halla los puntos de corte con el eje Haz la representación gráfica para comprobarlo. Resuelto en el libro del alumnado. 7 7 Dadas las parábolas: y = x x, y = x + Halla los puntos de corte. Haz la representación gráfica para comprobarlo. Resuelto en el libro del alumnado. Internet. Abre la web: y elige Matemáticas, curso y tema. Advertencia: El ejercicio 7 de GeoGebra está resuelto en el libro del alumnado. Practica Representa las siguientes parábolas y halla: a) El eje de simetría y dibújalo. b) El vértice. Di si es máximo o mínimo. 7 y = x + 8x + a) x = b) V(, ) es mínimo. 7 y = x + x a) x = b) V(, ) es máximo. 98 SOLUCIONARIO

22 Linux/Windows GeoGebra Halla los puntos de corte de las siguientes parábolas con el eje, luego represéntalas y comprueba e interpreta el resultado: y = x 8x A(, 0) y B(, 0) Corta en dos puntos al eje y = x + x + 9 A(, 0) Corta en un solo punto al eje, es decir, es tangente. 79 y = x + x + No tiene solución. No corta al eje Halla los puntos de corte de las siguientes rectas y parábolas, luego represéntalas y comprueba e interpreta el resultado: 80 y = x 7; y = x x + A(, ) y B(, ) Se cortan en dos puntos. UNIDAD 0. FUNCIÓN CUADRÁTICA 99

23 Windows Derive 8 y = x ; y = x x + 8 y = x x ; y = x + 8x A(, ) Se cortan en un punto, son tangentes. A(, ) y B(, ) Se cortan en dos puntos. 8 y = x ; y = x x + 8 y = x + x + ; y = x No tiene solución. No se cortan. A(, ) Se cortan en un punto, son tangentes. Halla los puntos de corte de las siguientes parábolas. Luego represéntalas, comprueba e interpreta el resultado: 8 y = x + x ; y = x + x No tiene solución. No se cortan. 00 SOLUCIONARIO

24 Linux/Windows GeoGebra Halla, mediante ensayo-acierto, las ecuaciones de las siguientes parábolas a = y = x a = x =, b = ax b = c = y = x x Un balón de voleibol sigue un movimiento uniformemente acelerado y su altura viene dada por la fórmula: h = + t t El tiempo está dado en segundos, y la altura, en metros. Dibuja la gráfica. Qué altura máxima alcanza? a = c = y = x + 88 Alcanza una altura máxima en t = s y es h = m a = x =, b = ax b = c = y = x + x + UNIDAD 0. FUNCIÓN CUADRÁTICA 0