Soluciones de los ejercicios del del examen final de febrero

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1 Matemáticas II (GIC, curso 5 6) Soluciones de los ejercicios del del examen final de febrero EJERCICIO. Determina el ángulo polar de los puntos con tangente horizontal y los puntos con tangente vertical de la curva dada en coordenadas polares por r = + sen(θ). Solución: La tangente es horizontal si y (θ) = y x (θ) y vertical cuando x (θ) = e y (θ). Puesto que y (θ) = cos(θ) ( + sen(θ) ) los ángulos θ [, π] que anulan y son π/, π/, 7π/6, π/6. Puesto que x (θ) = sen (θ) sen(θ), para resolver x = tomamos t = sen(θ) y resolvemos t + t =, obteniendo t = y t = /. Entonces los ángulos que anulan x son π/6, 5π/6, π/. Teniendo en cuenta que ambas derivadas se anulan para θ = π/, caso que debemos estudiar aparte, obtenemos que la tangente es horizontal para θ = π/, θ = 7π/6 y θ = π/6 y que la tangente es vertical para θ = π/6 y θ = 5π/6. Finalmente, para θ = π/ también hay tangente vertical porque la pendiente de la recta tangente es m = y (θ) lím θ π/ x (θ) = lím θ π/ cos(θ) ( + sen(θ) ) sen (θ) sen(θ) = {usando la regla de L Hôpital} =. Errores más comunes: () No conocer las condiciones para que la tangente sea horizontal o vertical. () No tratar aparte el caso θ = π/. EJERCICIO. Haz un esbozo de la curva dada en coordenadas polares por r = + sen(θ) determinando, para ello, los siguientes elementos: Dominio, periodicidad, simetrías y puntos de corte con los ejes OX y OY. También puedes usar los resultados del Ejercicio. Solución: Como sen(θ) tiene período π y sen(θ) para cualquier θ, el dominio es R y la curva es periódica con período π. Por tanto, para dibujarla podemos trabajar en [ π, π] o en [, π]. No es simétrica con respecto al eje OX porque r( θ) = + sen( θ) = sen(θ) r(θ). Sí es simétrica con respecto el eje OY porque r(π θ) = + sen(π θ) = + sen(θ) = r(θ). No es simétrica con respecto al origen de coordenadas porque r(π+θ) = +sen(π+θ) = sen(θ) r(θ). Los puntos de corte con el eje OX son (, ) y (, ), que se obtienen para θ = y θ = π, y el origen, que se obtiene para r =. Los puntos de corte con el eje OY son (, ) y (, ) que se obtienen para θ = π/ y θ = π/. Usando estos datos junto con las tangentes verticales (azules) y horizontales (verdes) obtenidas en el ejercicio anterior, podemos hacer el dibujo (una cardioide).

2 Matemáticas II (GIC, 5 6) Errores más comunes: () No calcular el período. () No conocer las condiciones para que exista alguna simetría. (4) Equivocarse al esbozar la curva. EJERCICIO. Determina el polinomio de Taylor de grado de la función f(x) = x/( x) centrado en el punto a =. Solución: El polinomio pedido es p(x) = + (x ) + (x ) /. Se puede calcular de varias formas: derivando f dos veces y hallando su valor en a = queda f() = f () = f () =. También se puede hacer el cambio de variables t = x, hallar el polinomio de Maclaurin de g(t) = f( + t) = ( + t)/( t), que es q(t) = + t + t /, y deshacer el cambio. Para hallar este último polinomio de Maclaurin, calculamos el polinomio de ( + t)/( t), que es + t + t (dividiendo en potencias crecientes), y se sustituye u por t + t en el de + u que es + u/ u /8. Errores más comunes: () Equivocarse con las operaciones, sobre todo al derivar. () No hacer la división en potencias crecientes. EJERCICIO 4. Calcula lim x + ( ) cos(a x) arctan(x) sen(x) log ( x) según los valores de a. Solución: Si a = el límite es cero; de hecho el numerador es idénticamente cero. Para a, tenemos una indeterminación /, así que usamos los siguientes infinitésimos equivalentes para x + (pueden calcularse hallando el término principal de Maclaurin): función infinitésimo función infinitésimo cos(a x) (a x) / = a x/ arctan(x) x sen(x) x log ( x ) x Entonces, para a tenemos lim x + ( cos(a x) ) arctan(x) sen(x) log ( x ) = lim x + [ a x/ ] x x ( x ) ax = lim x + x = lim x + a x =. Errores más comunes: () Confundir arctan(x) con cotan(x). EJERCICIO 5. Se quiere hallar 5 9 resolviendo la ecuación f(x) = x 5 9 =. Prueba que f verifica las condiciones del teorema de convergencia global del método de Newton en el intervalo [, ], indica qué punto x debería tomarse, de acuerdo con dicho teorema, como punto inicial para las iteraciones y calcula los puntos x, x y x (muestra cuatro decimales en cada caso). Solución: La función f cumple las condiciones del teorema de convergencia en [, ]. En efecto: () f() = 8 <, f() >, () f (x) = 5x 4 > para x [, ] y () f (x) = x > para x [, ]. El teorema dice que x = es el punto inicial adecuado para asegurar la convergencia porque es el extremo en el que f y f tienen el mismo signo, positivo en este caso. Los siguientes puntos son x = f() f () =.965, x = x f(x ) f (x ) =.96 y x = x f(x ) f (x ) =.96 Errores más comunes: () No conocer las condiciones de convergencia.

3 Soluciones de los ejercicios del examen final de febrero EJERCICIO 6. Halla la solución general de 4y = (y 4) ( sen (t) + sen (t) ). Solución: Es una ecuación de variables separadas, así que su solución general se obtiene integrando 4 (sen por separado: y 4 dy = (t) + sen (t) ) dt. Para la primera, descomponiendo en fracciones simples, queda 4 ( y 4 dy = y ) ( ) y dy = log y + y + + c. Para la segunda usamos, por un lado, la fórmula del ángulo doble sen (t) = ( cos(t) ) /, y, por otro, el cambio de variable u = cos(t) (pues tenemos sen(t) elevado a una potencia impar): La solución es, pues, log (sen (t) + sen (t) ) dt = t sen(t) 4 ( ) y y + = t sen(t) 4 cos(t) + cos (t) cos(t) + cos (t) + c. + c. Errores más comunes: () Confundir la ecuación con una lineal. () Equivocarse con las primitivas; sobre todo, confundir la primera con un arco-tangente y no saber que debe usarse el cambio u = cos(t) para el segundo sumando de la segunda. EJERCICIO 7. Halla la solución del problema de valor inicial y tan(t)y = t con y() = 4. Solución: Es una ecuación diferencial lineal. Para hallar la solución general de la ecuación homogénea calculamos tan(t) dt = log( cos(t) ) y la solución es y H = ce log( cos(t) ) = c/cos(t). Podemos obtener la solución particular y P = t tan(t) + usando el método de variación de los parámetros. La solución general de la ecuación completa es, entonces, y G = t tan(t)++c/cos(t). Imponiendo la condición inicial y() = 4, queda c =, así que la solución del ejercicio es y = t tan(t) + + /cos(t). Errores más comunes: () No saber calcular la primitiva de tan(t); en particular, poner que la primitiva es /( + t ). () No simplificar e log( cos(t) ) = /cos(t); en particular, poner que e log( cos(t) ) es igual a cos(t). () No comprobar que lo que se calcula es, de verdad, la solución (tanto al calcular la solución de la ecuación homogénea como al hallar la solución particular) (4) Equivocarse con la fórmula que da la solución general de una ecuación lineal. EJERCICIO 8. Halla la familia ortogonal a la familia de curvas t + cy = c (siendo c un parámetro real). t Solución: Primero se halla la ecuación diferencial de la familia dada: despejando c = y y derivando, obtenemos y + tyy =. La ecuación de la familia ortogonal es, entonces z + tz( /z z ) =, que es de variables separadas: z = t. Integrando por separado z se obtiene log( z ) z / = t / + c que podemos simplificar un poco y obtener que la familia ortogonal es z = ce t +z. Errores más comunes: () No conocer el procedimiento para hallar la ecuación diferencial de la familia eliminando el parámetro c.

4 4 Matemáticas II (GIC, 5 6) EJERCICIO 9. Halla el área de la región limitada superiormente por la curva C dada en coordenadas polares por r = + sen(θ) e inferiormente por la recta y = /4. Solución: En la figura se muestran la cardioide r = + sen(θ) y la recta y = /4. La región cuya área debemos calcular es la sombreada en color sepia. Lo primero que hacemos es hallar los puntos de corte de la cardioide con la recta resolviendo y = r(θ) sin(θ) = ( + sen(θ)) sen(θ) = /4, de donde se obtiene θ = π/6 y θ = 5π/6, con lo que los puntos de corte son A = ( /4, /4) y B = ( /4, /4). De acuerdo con la fórmula del cálculo del área de una región rodeada por una curva dada en coordenadas polares, la integral 5π/6 ( ) + sen(θ) dθ π/6 nos proporciona el área de la región compuesta por la parte sombreada en sepia y la parte sombreada en violeta. Como el área de la región sombreada en violeta es 4 = 9, entonces el área 6 que se pide es área = 5π/6 ( ) 9 + sen(θ) dθ 6 = π π/6 Errores más comunes: () No conocer la fórmula del cálculo del área de una región rodeada por una curva dada en coordenadas polares. () No plantear bien qué regiones intervienen y cuál es el área de cada una de ellas; en particular, integrar de a π, usar /4 como si fuera el radio de una curva en polares o restar el área de un rectángulo y no de un triángulo. () Equivocarse al determinar los puntos de corte. (4) Equivocarse al calcular la primitiva y no aplicar bien la regla de Barrow. (5) Equivocarse en las operaciones.

5 Soluciones de los ejercicios del examen final de febrero 5 EJERCICIO. Calcula el volumen de un casquete de altura h que se obtiene cortando una esfera de radio r por un plano perpendicular a su eje. Solución: Este ejercicio puede resolverse de varias formas. Por ejemplo, si situamos unos ejes de coordenadas como los rojos de la segunda figura, el volumen corresponde al volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar la parte rayada alrededor del eje OY. Como esta parte es la comprendida entre la recta y = r h y la circunferencia y = r x, el volumen es a volumen = π donde hay que usar que a = r (r h). x [ r x (r h) ] dx = πh (r h), Otra opción es tomar secciones perpendiculares al eje OY para cada y entre r h y r. Cada sección es un círculo de radio x = r y (estos radios x son las rayas rojas), cuya área es, entonces, πx = π(r y ) con lo que volumen = r r h π(r y ) dy = πh (r h). Una tercera posibilidad es girar 9 o y situar un sistema de coordenadas como el verde de la tercera figura. Entonces el volumen corresponde al volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar la parte rayada alrededor del eje OX: r volumen = π (r x ) dx = πh (r h). r h Errores más comunes: () No conocer las fórmulas de los volúmenes de revolución. () Plantear el primer procedimiento descrito pero usar la fórmula del volumen de un sólido de revolución alrededor de OX. () Equivocarse con las operaciones; en particular, al hallar la primitiva en el caso del primer procedimiento o al aplicar la regla de Barrow. EJERCICIO. Calcula el valor de la integral impropia (x )(x + ) dx. Solución: Aplicando el método de descomposición en fracciones simples obtenemos (x )(x + ) = x x +

6 6 Matemáticas II (GIC, 5 6) con lo que una primitiva es dx = log(x ) log(x + ) = log (x )(x + ) la regla de Barrow, el valor de la integral viene dado por dx = lím (x )(x + ) log x ( ) x log x + ( ) = log(4). 4 ( ) x y, usando x + Errores más comunes: () Equivocarse al descomponer en fracciones simples. () Calcular mal el límite que aparece al aplicar la regla de Barrow; en particular, no saber resolver la indeterminación que sale si dejamos la primitiva como log(x ) log(x + ) y tomamos límite cuando x. EJERCICIO. Halla los valores de a > para los que la integral impropia es convergente. Solución: Como la función x a + x x a dx + x4a 4a tiene una asíntota vertical en x =, para estudiar la convergencia, hay que estudiar por separado la integral impropia de segunda especie la integral impropia de primera especie x a dx. + x4a x a dx y + x4a Para estudiar x a dx, observamos que el término que domina el denominador cuando + x4a x es x a, así que comparamos con /x a : Como sabemos que la integral /(x a + x 4a ) lím x /x a = lím =. x + xa dx converge si, y solo si, a <, entonces xa x a dx + x4a converge si, y solo si, a <. Por otro lado, para estudiar x a dx comparamos con ya que es el término dominante + x4a x4a en el denominador cuando x : Como sabemos que la integral converge si, y solo si, a > /4. /(x a + x 4a ) lím x /x 4a = lím x x a + =. En consecuencia, la integral dada dx converge si, y solo si, 4a >, entonces x4a x a dx + x4a x a dx es convergente si, y solo si, /4 < a <. + x4a Errores más comunes: () No separar en dos integrales impropias de manera que cada una de ellas lo sea por una sola razón. () No elegir bien la función con la que comparar. () Decir que la primitiva del integrando es log(x a ) + log(x 4a ).

7 Soluciones de los ejercicios del examen final de febrero 7 EJERCICIO. Halla una parametrización de la curva C que se obtiene al cortar el hemisferio norte de la esfera x + y + z = 6 con el hiperboloide z = x 4x + y y determina la recta tangente a C en el punto P = ( /, /, ). Solución: Eliminando z entre ambas ecuaciones obtenemos que la proyección de C sobre el plano XY es x x + y = 8. Ahora podemos trabajar de dos formas distintas. Por un lado, podemos usar que esta es la ecuación de la circunferencia (x ) +y = 9 y parametrizar x(t) = + cos(t) e y(t) = sen(t), con lo que se obtiene z(t) = 6 6 cos(t) = sen(t/). En resumen, la parametrización es r(t) = ( + cos(t), sen(t), sen(t/) ) para t [, π]. El punto P se obtiene para t = π/, así que un vector tangente a C en P viene dado por r (t = π/) = ( sen(t), cos(t), cos(t/) ) (t = π/) = ( /, /, / ). Por tanto, la recta tangente a C en P viene dada, por ejemplo, en forma continua por x + / / = y / / = z x + / = y = z 6. Otra opción es despejar y en la ecuación de la proyección x x+y = 8 usando x como parámetro, o sea, y = 8 + x x. Este procedimiento tiene el inconveniente de que hay que parametrizar por separado la parte derecha y con la raíz cuadrada positiva, y la parte izquierda y con la raíz cuadrada negativa. Errores más comunes: () Equivocarse en las operaciones; en particular, al eliminar la z o al hallar el centro o el radio de la proyección. () No especificar el signo adecuado de la raíz cuadrada cuando se usa x como parámetro. () No especificar el valor del parámetro para el que se obtiene P y, en consecuencia, dejar el vector tangente de forma genérica, sin especificar cuál es el vector tangente a la curva en P. EJERCICIO 4. Calcula la longitud de la curva parametrizada por r(t) = ( t sen(t), t cos(t) ) con t π. Solución: Como la longitud viene dada por π r (t) dt, empezamos calculando r (t) r (t) = (sen(t) + t cos(t) ) + ( cos(t) t sen(t) ) = + t. Entonces la longitud viene dada por longitud = π + t dt =.6, donde la primitiva se calcula mediante el cambio de variable t = senh(u) o, también, mediante t = tan(u). Errores más comunes: () No conocer la fórmula para hallar la longitud. () Equivocarse en las operaciones, como al derivar para hallar r (t). () Equivocarse al hallar la primitiva o al aplicar el cambio de variable.

8 8 Matemáticas II (GIC, 5 6) EJERCICIO 5. La parametrización natural de una clotoide de longitud L = 5 es x(s) = s cos(u /) du y(s) = s sen(u /) du, con s 5. () Calcula la abscisa de su punto final aproximando el valor de la integral mediante el método de los trapecios con n = 5 trapecios. () Calcula la ordenada de su punto final aproximando el valor de la integral mediante el polinomio de Maclaurin de grado 6 del integrando. Solución: El punto final P se obtiene para s = 5, es decir, P = ( x(5), y(5) ). () La abscisa de P es, entonces, x(5) = 5 cos(u /) du. Para usar la regla del trapecio con n = 5 trapecios en [, 5], de manera que h = 5/5 =, evaluamos el integrando f(u) = cos(u /) en los nodos u =,,,, 4, 5 y obtenemos x(5) h ( cos() + [ cos(.) + cos(.9) + cos(.6) ] + cos(.5) ) = () La ordenada de P es y(5) = 5 sen(u /) du. El polinomio de Maclaurin de grado 6 de sen(u /) es (u /) (u /) 5 ( ) = u! u6 u, luego y(5) 6 6 u6 6 6 du =.4. Errores más comunes: () No conocer la fórmula de los trapecios. () Equivocarse en las operaciones. () Equivocarse al determinar el polinomio de Maclaurin de grado 6 de sen(u /); en particular, al calcular (u /) olvidarse de elevar al cubo. EJERCICIO 6. La parametrización natural de una clotoide de longitud L = 5 es x(s) = s cos(u /) du y(s) = s sen(u /) du, con s 5. Usa los resultados del Ejercicio anterior para hallar la ecuación de la recta tangente, el radio de curvatura y el centro de curvatura de la clotoide en su punto final. Solución: Puesto que tenemos la parametrización natural, con respecto a la longitud de arco s, el vector tangente unitario es T(s) = (x (s), y (s)) = ( cos(s /), sen(s /) ) que en el punto final P = (x(5), y(5)) (4.97,.4) es T(5) = (x (5), y (5)) = (cos(.5), sen(.5)) (.97,.5), así que la ecuación de la recta tangente es y =.4 +.6(x 4.97). La derivada de T(s) es (s/) ( sen(s /), cos(s /) ), lo que nos proporciona la curvatura k(s) = s/ y el vector normal unitario N(s) = ( sen(s /), cos(s /) ). En el punto final P obtenemos, entonces, k(5) = / =., con lo que el radio de curvatura en P es R = /k(5) =. Finalmente, el centro de curvatura C en P viene dado por C = P +R N, siendo N el vector unitario normal a la curva en P, o sea, N = N(5) = ( sen(.5), cos(.5)) (.5,.97). Entonces C (4.97,.4) + (.5,.97) = (.47,.). Errores más comunes: () No conocer las propiedades de la parametrización natural. () No conocer cómo se calcula el centro de curvatura.