TEMA 31. Integración numérica. Métodos de integración.

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1 MA. tegrcó umérc. Métodos de tegrcó MA. tegrcó umérc. Métodos de tegrcó.. troduccó l orge de l tegrcó es el cálculo del áre de deretes superces, sí el comezo del cálculo tegrl puede jrse e l mtemátc de l Grec clásc dode y est presete el cocepto de áre sí como los métodos pr el cálculo de ls msms medte el método de eucó. Arquímedes es el mtemátco más mportte e el cálculo de áres e est époc. el sglo XV destc los trjos de Newto y Letz, que cotú co los métodos de eucó pr el cálculo de áres de deretes curvs. S e o es st el sglo XX cudo los mtemátcos Rem y Cucy dero l método de eucó u se mtemátc, surgedo el cocepto de tegrl y relcodo l msm co el cocepto de dervd utlzd co terordd. re L myorí de áres ecerrds por u curv y el eje se relz por l regl de Brrow d F F, pero lgus veces o se puede cer por este método: - No y epresó lgerc de teemos tl de vlores o curv - No sempre es posle clculr l prmtv F. S esto ocurre se us métodos umércos de tegrcó que os ds vlores promdos del resultdo, sedo los más mporttes: l tegrcó por Sum de Rem, tegrcó por terpolcó, método de Newto-Cotes. mé so estos los métodos usdos por los progrms ormátcos pr clculr ls tegrles deds, ddo su gr potec de cálculo su resultdo puede ser práctcmete ecto.. Coceptos prevos... Método de eucó. l método de eucó ue descrto por udoo mtemátco grego puplo de Pltó y completdo co posterordd por Arquímdes. Cosstete e recurr ls superces por gurs cuys áres se coozc cudrdos de orm tertv promcoes sucesvs st que los cudrdos teg tmño cs tésmo y recur ectmete l superce. ste método se complet co el pso l límte, cocepto que se desrrolló muco después de mos de Brrow y Rem. Vemos u ejemplo gráco: A AreR rearer Jose Lus Lorete preprdor oposcoes secudr

2 MA. tegrcó umérc. Métodos de tegrcó ste método ue usdo por l Grec clásc tmé pr clculr el áre promd del círculo prtr de recurr este por polígoos scrtos e scrtos regulres de ldos y cer teder to. Utlzdo el límte y el áre de u polígoo regulr se clcul el áre ect: A áre polígoo ldos s- de rdo crto e l crcuerec r π π r se rcos per p re lma π π r se rcos π r r lm π r.. Cálculo de áres de lgus superces por eucó. jemplo, cálculo del áre de u segmeto de logtud L: por vrc del áre rot- el eje OX: coes y trslcoes podemos supoer el segmeto cetrdo e el orge y sore A{}[,l]. Se cumple que A { } [,] {} [,]... {} [, ] co y l. Po otro ldo { } [,] rectágulos [, ] [,] curmos u cudrdo [,][,] cuyo áre es. De est orm se m cumple A {} [, ] m. Hcedo m teder, se cumple A, luego m se cumple que como el re ded postv A. jemplo, áre ecerrd por l curv y y el eje OX A{,y :, y } Dvdmos el segmeto [,] e prtes gules prtcó, y recurmos A co dos mls de rectágulos:. Superores l áre, A : ormdos por l se, y ltur. erores l áre, A : ormdos por l se, sí se cumple: odos los segmetos {}[,] tee l msm áre pues se puede oteer prtr de trs- lcoes del segmeto { } [,] A {} [,] [, ] [, ] m, y [, ] [, ] pues co m m m m, y ltur Jose Lus Lorete preprdor oposcoes secudr

3 MA. tegrcó umérc. Métodos de tegrcó Se cumple que pr todo A A A, y cuto más grde se ms se prom ls dos áres. Clculemos A y A : A A 6 6 Hcedo teder to se cumple lm A lm y 6 lm A lm y por tto como A A A el áre ect 6 es A.. tegrcó ded, tegrl de Rem.. Prtcó de [,] Se llm prtcó de u tervlo [,] u cojuto to de putos deotdos Π[,]{,,, } dode se verc < < < <. Lo más usul es que ls prtcoes se co los putos equespcdos, es decr - cte {,,,-}. L seprcó mám etre dos putos de l prcó se deom dámetro. Vemos u ejemplo: {,,,,-, } es u prtcó de [,] *. Deotremos por [, ] l cojuto de tods ls prtcoes del tervlo [,]. Se Π[,] y Π [,] [, ] se dce que Π[,] es más que Π [,] s se cumple que Π Π, es decr Π tee l meos los msmos putos que Π. Por ejemplo Π[,]{,.,.,,.9,} es más que Π [,]{.,.,,.8,}.. Sums de Rem Se u ucó rel cotd y ded e [,] y Π[,] ] [, ] se llm sum eror de Rem de l ucó y prtcó Π y se deot como s, Π l sguete sum: Π s, m, Π co Π{,,,, } y m {: [, ]} Se u ucó rel cotd y ded e [,] y Π[,] ] [, ] se llm sum superor de Rem de l ucó y prtcó Π y se deot como S, Π l sguete sum: Π S, M, Π co Π{,,,, } y M sup{: [, ]} Notcó: por comoddd trjremos co M y m U ejemplo de sums de Rem superor e eror es el ejemplo del teror prtdo, dode dode Π{.,,-,} y l ser crecete M y m y se cumple S,Π y s,π 6 6 Jose Lus Lorete preprdor oposcoes secudr

4 MA. tegrcó umérc. Métodos de tegrcó Oservcoes:. M - dee l áre de los rectágulos sore l curv y m - el áre de los rectágulos jo l ucó.. L codcó de que esté cotd e [,] es ecesro pr que m y M dedos. Proposcó: Π, Π [, ] tl que Π Π se cumple l sguete desguldd: s, Π s, Π S, ΠS,Π Demostrcó: l guldd s, Π S, Π es trvl por l decó de m y M de mímo y mámo. Pr demostrr l desguldd S, ΠS,Π l demostrmos supoedo que tee u puto más Π que Π s tuver más putos myores repetmos el procedmeto Π {,,,,,, } y Π{,,,,y,,, }. Ls sums S, Π S,Π sólo se derec e ls áres e el tervlo [, ] que e el cso de S,Π tee dos tervlos [,y] e [y, ]. Se cumple que el mámo e [, ] es myor o gul que el mámo e [,y] e [y, ] pues el prmer tervlo cluye los dos terores, es decr M,Π M, Π y M,Π M, Π. Clculemos S,Π -S,ΠM,Π - -M,Π -y- M,Πy - M,Π - - M,Π - y- M,Π y- M,Π - - M,Π -y-y-, se cumple sí que S,Π -S,Π S,Π S,Π. L demostrcó s, Π s, Π es equvlete. Vemos grácmete l demostrcó: Corolro: Pr culquer prtcó de [,] se cumple que s,π S,Π`. Demostrcó: tommos Π Π Π que es más que Π y Π. Así por l proposcó teror: s, Π s, Π S, Π S,Π.. tegrl superor e eror de Rem Dd u ucó ded y cotd e [,] se llm tegrl superor de Rem de e [,] y se deot como l sum superor de Rem co meor vlor: { S, Π Π [, ]} Jose Lus Lorete preprdor oposcoes secudr

5 MA. tegrcó umérc. Métodos de tegrcó Dd u ucó ded y cotd e [,] se llm tegrl eror de Rem de e [,] y se deot como l sum eror de Rem co myor vlor: { s, Π Π [, ]} sup Oservcó: por l proposcó vst e prtdo teror tedremos que l prtcó que os geer ls tegrles superor e eror de Rem es l más. jemplo: y [,][,] Π{,,,,-,} se cumple s,π y 6 S,Π, luego ls tegrles de Rem será co 6,... tegrl Rem U ucó ded e [,] se dce que es tegrle Rem e este tervlo s y sólo s se cumple l sguete guldd:. S l ucó es tegrle Re- m se llm tegrl de Rem l resultdo de ls tegrles superor o eror y se deot como Proposcó: u ucó es tegrle Rem e [,] s y sólo s se cumple que pr todo ε> Π [,] tl que S,Π-s,Π<ε. Demostrcó: por decó de covergec.. tegrcó sd e l terpolcó... terpolcó polómc Cosste e oteer u promcó de l ucó, llmdo polomo terpoldor de grdo y deotdo como g, prtr de u cojuto de putos de l grc de l ucó {,y,,y,,,y }. edremos sí que el vlor de l tegrl promd será gul g. l polomo terpoldor es úco, s e y deretes métodos de cálculo, uo de ellos es el método de Lgrge: P L... L, sedo L u polomo de grdo, terpoldores de Lgrge, que se ul e todos los vlores de j y que e s j vle l udd, es decr L j δ j. Por el teorem udmetl del áger s j este polomo será L. De est orm: g P Jose Lus Lorete preprdor oposcoes secudr L j j j j

6 MA. tegrcó umérc. Métodos de tegrcó Hy otros métodos de epresr u ucó de orm promd prtr de u ucó, por ejemplo trucdo u sere de ylor e u orde. Vemos u ejemplo.! e d d!! ste método sdo e el desrrollo de ylor o se puede usr so teemos l epresó lítc de l ucó, sí s teemos sólo vlores de l ucó o l grác deemos cudr l terpolcó polómc.. Fórmuls de tegrcó de Newto-Cotes Ls órmuls de tegrcó umérc de Newto-Cotes más utlzds so ls que se descre e los sguetes putos... Regl del trpeco smple s el cso más secllo cudo susttumos por u polomo terpoldor de grdo, es decr rect que ps por los putos,,,. Se llm sí por ser el áre de u trpeco como se puede ver e el sguete gráco. d d ecuco l error cometdo e este método puede ser por eceso o por deecto. ls sums superores e erores de Rem por el cotrro los errores er por deecto o por eceso respectvmete. Auque o se coozc s es por deecto o por eceso el error este es eror o gul l error cometdo por ls sums de Rem co u úco tervlo: S Π, m{, } s Π, m{, } l error cometdo e l promcó coocd l ucó vedrá mrcd por l ucó de '' ξ error que e u terpolcó se puede epresr como e, sedo! ξ [,]. De est orm el error de l tegrl es '' ξ e d. Se cumple '' ξ por tto e d '' ξ.. Regl del trpeco co múltples segmetos rect co ξ [,]. Como se puede ver e el teror prtdo el error es proporcol l cuo de l logtud del tervlo de tegrcó -, lo que ce que pr tervlos grdes el error puede llegr ser muy grde, cos que tutvmete se ve tmé de orm evdete. Jose Lus Lorete preprdor oposcoes secudr 6

7 Jose Lus Lorete preprdor oposcoes secudr 7 MA. tegrcó umérc. Métodos de tegrcó S teemos l prtcó Π{,,., }, podemos plcr l regl del trpeco e cd uo de de los sutervlos, de orm álog lo relzdo e ls sums de Rem. De est orm el vlor promdo de l ucó se prom más que el método smple, y como veremos cudo myor se el úmero de putos más pequeño el vlor de los tervlos meor será el error. l error cometdo por este método sempre será meor o gul que el cometdo co l sums de Rem co l msm prtcó, pues el trpeco se just más l ucó que o los cudrdos. Aplcdo l regl del trpeco smple e los tervlos el resultdo será el sguete: d d tegrdo el resultdo es. Vemos u gr smltud co ls sums de Rem co l derec de que e vez de multplcr el tervlo por el mámo M o el mímo m se multplc por el vlor medo de los vlores de l ucó de los etremos:. S tommos u prtcó co putos equdsttes se cumple que pr todos los vlores de de l sum. De est orm l sum será Grácmete el método equvle clculr el áre por u líe polgol que pse por los putos de l prtcó. l error cometdo será l sum de los errores de cd trpeco respecto l curv e su tervlo. Aplcdo l órmul vst pr los trpecos smples se cumple: [,]} sedo M sup{ : '' M M e ζ Vemos que el error ted cero cudo el úmero de tervlos tede to orde.. Regl de Smpso smple Buscmos que el error ted cero de orm más rápd que e los métodos terores. el método que vmos trtr el error tede cero co orde. este prmer prtdo trtremos el cso smple dode. Pr el cso smple ecestmos teer u prtcó de putos Π{,, }, dode < <. A prtr de estos tres putos promremos l u-

8 MA. tegrcó umérc. Métodos de tegrcó có como u polomo terpoldor de segudo grdo, cuy epresó será : p Geerlmete se tom como el puto medo de y,, co lo que de est orm l tegrl del polomo terpoldor e el tervlo, vedrá dd por: p co tmño tervlo - ' δ de de ylor pr teemos que e co δ [,]. S ξ m{ co 9 ' [,]} se cumple que Notemos que demás de que el error pr 9 ucoes polómcs de grdo meor o gul que el error es ulo... Regl de Smpso co múltples segmetos. Como emos vsto e el prtdo teror el método de Smpso os geer que el error se proporcol l qut potec de l seprcó de los putos de l prtcó,. De est orm s cosegumos que se muy pequeñ el error decrece muco más rápdo que e los métodos terores sums de Rem y rpecos. Como teemos que grupr los putos de e tres, de orm que los putos de los etre- cumplr que el mos de los sutervlos perteezc dos de estos sutervlos se tee que úmero de putos de l prtcó se mpr. Por comoddd e los cálculos tomremos que teemos putos, sedo pr, sedo l prtcó Π{,,, etoces el úmero de sutevlos que será estrá ormdos por los putos { -, -, } co {,, }. De est orm se cumple d d putos equdsttes u dstc - y utlzdo el resultdo de Smpso smple Pr el cálculo del error desrrollremos por ylor l ucó del vlor promdo del errorr de l tegrl e ucó de : d Sedo uls ls prmers dervds ls dos prmers er lógco pues s uer polomo de segudo grdo el error serí ulo l ser p. Clculdo el error l error será l sum de los errores prcles de cd sutevlo: ξ p d. S tommos los Jose Lus Lorete preprdor oposcoes secudr 8

9 Jose Lus Lorete preprdor oposcoes secudr 9 MA. tegrcó umérc. Métodos de tegrcó M M e 8 9 ' 9 ξ sedo Mm{ co [,]}.. Método de Smpso 8 smple. ste método prommos l ucó u polomo de terpolcó de tercer grdo, es por ello ecestremos putos {,,, }, sedo por tto d p. De gul orm que e el polomo terpoldor de segud grdo podemos epresr el polomo como p o, dode y y tomremos putos equdsttes co lo que, co -. tegrdo p : p 8 Pr clculr el error cometdo d p que desrrolldo por ylor l gul que cmos co el método de se cumple que el error resto de Lgrge es: ' 8 δ e M e 8 sedo Mm{: }.6. Método de Smpso 8 co múltples segmetos. Como emos vsto e prtdo teror el error del método de Smpso es proporcol l qut potec de, s cosegumos reducr este tervlo el error será muy pequeño. sto es lo que vmos cosegur dvdedo el tervlo [,] e u prtcó co múltples putos y plcdo el método teror cd putos. Pr poder dvdr el tervlo de e putos co dos los etremos e comú es ecesro que - putos se múltplo de u vez cogdo los prmeros putos teemos que ñdr putos de e, Π{,,,, } co. Aplcmos sí el método de Smpso 8 cd uo de los tervlos [ -, ] co,,,: d p d d. omdo putos equdsttes - el vlor promdo de l tegrl umérc vedrá dedo como: 8 8

10 Jose Lus Lorete preprdor oposcoes secudr MA. tegrcó umérc. Métodos de tegrcó Sedo el error cometdo como l sum de los errores e cd sutervlo: } m{ 8 8 ' 8 M sedo M e M e e δ Vemos que el error cometdo es proporcol l cometdo co el msmo úmero de putos es proporcol e el Smpso 8 respecto Smpso pero sedo eror e l proporcó 88 e el método de Smpso..7. Regl de Smpso pr u úmero pr de putos. S teemos u prtcó co u úmero pr de putos, {,, }, o podemos plcr drectmete el método de Smpso. U solucó es plcr l regl de Smpso 8 pr los prmeros putos {,,, } y l regl de Smpso pr los - putos {,,, } que so or sí so mpres. Aplcdo el método descrto co terordd su vlor será: 8 Y el error será: ' 9 ' 8 M e δ δ 6. tegrl de Romerg. 6.. Regl recursv del trpeco m. S deotmos por l vlor umérco otedo por tegrcó umérc por el método del trpeco co sutervlos putos de cur -, se cumple que como vmos ' dode por ' dcmos que el prmer y el últmo térmo dvddos etre dos,. Se puede relcor co s ecesdd de clculr todo el sumtoro, pues ls mtd de los putos y está e uque cotruye l mtd l ser l mtd e tervlo Podemos geerlzr este método sempre que se dvd el tervlo l mtd respecto el tervlo teror, podemos empezr co tervlos, luego co, 8; es decr de l orm m : m m m m m

11 Jose Lus Lorete preprdor oposcoes secudr MA. tegrcó umérc. Métodos de tegrcó Pr setr lo eplcdo vemos u ejemplo: queremos clculr l tegrl e [,] de 6.. Método de etrpolcó de Rcrdsom Medte este método podemos oteer u mejor promcó de l tegrl,, coocedo vlores promdos de l msm, e cuyos errores llmremos y : y Como vmos e el prtdo el error es, usdo el método del trpeco, pr y : C C C C guldo y utlzdo el error de teemos que co lo que podemos promr el error de medte el vlor de l tegrl e Y : eemos sí que el uevo vlor de l tegrl es mejor promcó que l cl, por lo que s procedemos de orm tertv podemos mejorr el resultdo e cd pso 6.. Método de Romerg Utlzdo lo vsto e los dos suprtdos terores podemos costrur u método tertvo que os mejore los resultdo de l tegrl e cd pso. Vemos el procedmeto: Clculmos prtr de l tegrl recursv del trpeco m,,,, cumpledo que j j, es decr el dole de tervlos. U vez clculdos plcmos el método de etrpolcó de Rcrdsom de orm esclod como veremos cotucó:

12 Jose Lus Lorete preprdor oposcoes secudr MA. tegrcó umérc. Métodos de tegrcó Dode ls úcs que y que clculr so ls prmers, por ejemplo jemplo: d, y ; 8,, 8 7. Coteto co secudr. Ls tegrles deds y su plccó e el cálculo de áres se ord e ls Mtemátcs de º de Bcllerto, sedo u ejercco típco e l PAU. Los métodos umércos orddos es este temo o está e el currículo de secudr de cllerto.