CÁLCULO INTEGRAL SESIÓN 5: INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES DE LA INTEGRAL. INTEGRAL DEFINIDA

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1 CÁLCULO INTEGRAL SESIÓN 5: INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES DE LA INTEGRAL. COMPETENCIA: resolver y plnter integrles que le yuden clculr el áre de un región cotd por dos o más funciones plicndo el teorem fundmentl del cálculo INTEGRAL DEFINIDA El concepto de integrl definid está relciondo geométricmente con el vlor que determin el áre jo

2 l curv dd por un función B=[,] como se ilustr en l gráfic: f() en un intervlo Uno de los primeros psos pr llegr este concepto fue desrrolldo por el mtemático Bernhrd Riemnn, quien ordo el cálculo del áre con prticiones rectngulres, como se muestr en l siguiente gráfic: El hllr el áre proimd jo l curv por sum de n áres rectngulres de igul ncho Δ, y ltur determind por l función f(), est dd por: n A f(c i ) i=1

3 El áre ect jo l curv se d por l sum de infinits prticiones rectngulres. Luego el áre ect es el límite de ests sums, llmds sums de Riemmn, esto es: n A = lim f(c i ) n i=1 Sin emrgo esto implicrí el cálculo de infinits áres (lgo imposile en l práctic), por lo cul se encuentrn vlores proimdos l plicr dichs sums de Riemmn, prece por lo tnto el concepto de l integrl definid: Ddo el intervlo B=[, ] en el que, pr cd uno de sus puntos, se define un función f () que es myor o igul que 0, se llm integrl definid de l función entre los puntos y l áre de l porción del plno que está limitd por l función, el eje horizontl OX y ls rects verticles de ecuciones = y = y se denot como: A = f()d L cul se puede hllr prtir del teorem fundmentl del cálculo integrl:

4 Prte I: Se f un función integrle en el intervlo B=[,]B, se define un nuev función F F() = f(t)dt 0 Donde F es continu en el intervlo [,]. Tl que F () = f() Prte II: Si F es un ntiderivd de f, entonces: [ f() ]d = F() f() Propieddes de l integrl definid: L integrl definid cumple ls siguientes propieddes: Tod integrl etendid un intervlo de un solo punto, [, ], es igul cero. Esto es: f()d = 0 Cundo l función f () es myor que cero, su integrl es positiv; si l función es menor que cero, su integrl es negtiv. L integrl de un sum de funciones es igul l sum de sus integrles tomds por seprdo. Esto es: [ f() + g()]d = f()d + g()d L integrl del producto de un constnte por un función es igul l constnte por l integrl de l función (es decir, se puede «scr» l constnte de l integrl). Esto es: cf()d = c f()d

5 Al permutr los límites de un integrl, ést cmi de signo. Esto es: f()d = f()d Ejemplo: Clculr el áre limitd por l función f() = + en el intervlo B=[1,3] Gráficmente tenemos: 11 f() Donde deemos clculr el áre de l región somred, pr esto plicmos l integrl definid: A = f()d 3 = [ + ]d 1 Pr clculr dich integrl deemos plicr el teorem fundmentl del cálculo integrl que en su primer prte nos dice que deemos conocer l integrl indefinid de l función: [ + ]d = c Ahor plicremos l segund prte del teorem que nos dice que pr otener l integrl definid deemos evlur l función en los límites de integrción y clculr l

6 diferenci entre dichos vlores (restndo siempre el vlor de evlución en el intervlo inferior del vlor de evlución en el intervlo superior ( F()-F()) Por lo tnto: 3 A = [ + ]d = [(3) + (3)3 3 ] 1 = [6 + 9] [ ] = = [(1) + (1)3 7 ] = [ ] [ ] En conclusión el áre requerid es de uniddes cudrds. Ejemplo : Clculr el áre generd entre l función g() = ( 3) en el intervlo [-1,] Gráficmente tenemos: y Pr clculr el áre plicmos l integrl definid: A = ( 3) d = [ 3 ] [ 1 3 ] 1 = [ 1 ] [ 4 ] = 1 = 3 = 1.5 Por lo tnto el áre requerid es de 1.5 uniddes cudrds

7 NOTA: Teng en cuent que ( 3) d = 3 + c, est integrl se clcul plicndo l técnic de sustitución. Aplicciones de l integrl definid: Áre entre dos curvs Sen f() y g() dos funciones continus sore [, ] como se muestr en l figur y F y = f() R E D y = g() 0 C Figur 6.6 Podemos clculr el áre de l región pln limitd por ls curvs en el intervlo hciendo uso de l integrl definid: R = [f() g()]d Pr esto deemos tener en cuent que dee sustrerse l función que esté en l prte inferior de l gráfic de l función que está en l prte superior. Ejemplo: clculr el áre entre ls curvs de ls funciones h() = e y j() = 1 en el intervlo [0,]

8 y h() R i() Pr clculr el áre de l región somred R identificmos cul función qued en l prte superior y cul función qued en l prte inferior y plntemos l integrl correspondiente: R = [h() i()]d = [e ( 1)]d 0 = [e + 1]d = [e ()3 3 + ] [e0 (0) ] 0 [ ] [1] Por lo tnto el áre comprendid entre ls dos curvs es de proimdmente 5.7 uniddes cudrds. NOTA: Recuerde que e es l constnte conocid como número de Euler, donde e.7183 Ejemplo : Clculr el áre comprendid entre ls curvs de ls funciones f() = + 1 y g() = 5 Pr empezr deemos definir el intervlo en el cul deemos clculr el áre, pr esto deemos identificr los puntos de corte entre ls dos funciones, esto lo hcemos

9 igulndo ms funciones y solucionndo l ecución correspondiente. Esto es: f() = g() + 1 = = 0 4 = 0 = 4 = ± 4 = ± Por lo tnto hy dos puntos de corte en = y =- Gráficmente tenemos: y 6 4 h() f() R Por lo tnto el intervlo donde clculremos el áre es B=[-,] y el áre de l región R se clculrá prtir de l integrl definid: R = [h() f()]d R = [(5 ) ( + 1)]d = [4 ]d = [4() ()3 ( )3 ] [4( ) 3 3 ] = [8 8 3 ] [ ]

10 = = Por lo tnto el áre comprendid entre ls curvs de f() y h() es de proimdmente uniddes cudrds

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