Universidad de la República Facultad de Ingeniería. Electrotécnica 1. Clase 8 - Circuitos Magnéticos y Transformadores. Curso 2018

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1 Universidad de la República Facultad de Ingeniería Electrotécnica 1 Clase 8 - Circuitos Magnéticos y Transformadores Curso 2018

2 Contenido de la presentación Bibliografía de referencia Transformador ideal Transformador real Transformadores trifásicos

3 Bibliografía de referencia Contenido Bibliografía de referencia Transformador ideal Transformador real Transformadores trifásicos

4 Bibliografía de referencia Los contenidos de esta presentación se encuentran desarrollados en la siguiente bibliografía: Chapman, S. Máquinas Eléctricas. Editorial Mc. Graw Hill.

5 Contenido Bibliografía de referencia Transformador ideal Transformador real Transformadores trifásicos

6 - Generalidades El análisis de los circuitos magnéticos presenta similitudes con los circuitos eléctricos, por lo tanto se establecerán analogías entre ambos. El campo magnético se conduce a traves de distintos medios físicos, siendo algunos mejores conductores magnéticos que otros. Existe una constante llamada permeabilidad magnética (µ), la cual es propiedad de cada medio físico y cuanto más elevada, representa un mejor conductor magnético (en forma equivalente a un conductor eléctrico de baja resistividad). La mayor parte de los materiales son conductores magnéticos pobres, presentendo valores de µ bajos, cercanos a los del aire o el vacío. Pero existen los llamados materiales ferromagnéticos, los cuales tienen valores de µ que son miles de veces mayores.

7 - Generalidades El aire, el vacío, plásticos, vidrio, madera, etc, son materiales no magnéticos. Los metales no ferrosos tampoco tienen propiedades magnéticas: cobre, aluminio, bronce, etc.

8 Inducción e Intensidad de campo magnético La permeabilidad magnética µ determina la relación entre la llamada inducción magnética B y la intensidad de campo magnético H. La relación entre ambas magnitudes es: B = µh Donde tanto B como H son magnitudes vectoriales (tienen dirección y sentido definidos en el espacio). Es importante destacar que se puede tener valores elevados de intensidad de campo magnético en un punto pero baja inducción, si en ese lugar existe un conductor magnético pobre.

9 Flujo magnético Existe otra magnitud que es el llamado flujo magnético φ. El flujo magnético mide la cantidad de campo magnético que atraviesa una determinada sección de material. Se relaciona con la inducción magnética: φ = B.S Donde S es la sección atravesada 1 por la inducción B. 1 En realidad es un producto escalar entre ambas magnitudes, tomando la superficie normal al campo, resulta el producto de los módulos.

10 Relación entre B, H y φ En resumen existen tres magnitudes: intensidad, inducción y flujo de campo magnético. H es independiente del medio. En un medio dado, H da lugar a un B determinado. Para una superficie atravesada por ese B, se tiene un flujo φ. Existe la representación del campo magnético basada en ĺıneas de campo. En los lugares de mayor densidad de ĺıneas, mayor es B y por ende el flujo en un área dada.

11 Saturación Los materiales ferromagnéticos alcanzan los mayores niveles de B para una intensidad de campo dado, por tanto son utilizados para aplicaciones donde se busca altos valores de flujo magnético (motores y transformadores). Sin embargo, existe el fenómeno llamado saturación, cuando el material se ha magnetizado totalmente ya no aumenta B por más que aumente H:

12 Saturación En otras palabras, existe una llamada zona lineal la cual se caracteriza por tener µ constante, y una zona de saturación donde la permeabilidad disminuye progresivamente. Un material magnético saturado comienza a comportarse como un conductor magnético pobre, y por tanto no es óptimo su uso.

13 Leyes fundamentales Existen dos leyes principales que rigen el comportamiento de los circuitos magnéticos: Ley de Faraday Ley de Ampere

14 Ley de Faraday La Ley de Faraday establece que una bobina atravesada por una flujo magnético variable, experimenta tensión entre sus bornes: v(t) = N. dφ dt Esta ley muestra cómo se induce tensión (y corriente si se cierra el circuito) a partir de un campo magnético variable.

15 Ley de Ampere La Ley de Ampere establece que el campo magnético producido a lo largo de una trayectoria cerrada depende de la corriente que circula dentro de la superficie encerrada por dicha trayectoria: N.i = H.l Donde l es la longitud del camino cerrado, y se asume que el campo H es según la dirección de la trayectoria. N representa el número de vueltas de conductor que conduce corriente i, y por tanto es la corriente total que atraviesa la superficie. La dirección de H sigue la regla de la mano derecha con la dirección de i.

16 Ley de Ampere La Ley de Ampere entonces muestra que una corriente cualquiera (DC o AC) producirá a su alrededor un campo magnético (DC o AC). Al producto N.i se lo conoce como Ampere-vuelta (por sus unidades), o fuerza magnetomotriz (fmm).

17 Reluctancia Operando sobre la Ley de Ampere se puede definir la reluctancia, análogo a la resistencia en circuitos eléctricos. Supongamos que se tiene un circuito magnético de largo l y sección transversal S, atravesado por N vueltas con corriente i: N.i = H.l N.i = B µ.l N.i = φ.l = R.φ µ.s Donde R = l es la llamada reluctancia. Notar que es µ.s inversamente proporcional a la sección y directamente a la longitud (igual que para la resistencia eléctrica).

18 Análogo eléctrico de un circuito magnético Utilizando magnitudes análogas, se puede analizar un circuito magnético igual que un circuito eléctrico: Las fuentes de fmm son análogas a las fuentes de tensión. Los tramos de circuito magnético con reluctancia son análogos a resistencias. El flujo magnético es análogo a la corriente eléctrica. La Ley de Ampere muestra que con estos análogos es similar a la Ley de Ohm: N.i = R.φ v = R.i

19 Interacción de las Leyes de Ampere y Faraday Se mostró que una corriente produce un campo magnético y por otro lado, si este campo fuera variable en el tiempo, podría inducir tensión en otro bobinado. Entonces aplicando corriente AC en un bobinado se producirá un campo magnético AC el cual si atraviesa un segundo bobinado inducirá tensión AC, todo de la misma frecuencia. Es el principio de funcionamiento del transformador.

20 Transformador ideal Contenido Bibliografía de referencia Transformador ideal Transformador real Transformadores trifásicos

21 Transformador ideal Ecuaciones del transformador ideal Un circuito magnético provisto de dos bobinados se comporta como un transformador. i 1(t) + - v 1(t) N 1 N 2 v 2(t) - + i 2(t) Se denomina en general primario al lado 1 y secundario al lado 2. Notar que los sentidos planteados para las corrientes y las polaridades de los voltajes no son arbitrarios. Se considera la dirección de corriente que, siguiendo la regla de la mano derecha al circular por el bobinado, produce flujo magnético aditivo con el de los otros bobinados (todos los bobinados generan flujo en la misma dirección).

22 Transformador ideal Ecuaciones del transformador ideal i 1(t) + - v 1(t) N 1 N 2 v 2(t) - + i 2(t) Los extremos de los bobinados donde ocurre esto se marcan con un punto. El esquema de puntos permite no tener que representar físicamente cómo está enrollado el bobinado.

23 Transformador ideal Ecuaciones del transformador ideal Existe un único flujo magnético que atraviesa el circuito y ambos bobinados simultáneamente. Entonces aplicando la Ley de Faraday en cada uno de ellos se obtiene que: v 1 (t) N 1 = v 2(t) N 2 Y mediante la Ley de Ampere 2 : N 1.i 1 + N 2.i 2 = 0 Estas son las ecuaciones del transformador ideal. 2 Se asume que el transformador es ideal, o sea que su circuito magnético tiene reluctancia nula, por lo que la fmm neta debe ser nula.

24 Transformador ideal Ecuaciones del transformador ideal Notar que las ecuaciones planteadas corresponden a tensiones con el positivo en el punto y corrientes entrantes al bobinado por el punto. En caso de tener alguna tensión o corriente que no respete esta convención, deberá ir con un signo de menos en la ecuación. Cabe señalar que las ecuaciones son en el tiempo, por lo que en el caso de alimentación en AC (lo usual), las ecuaciones valen en su forma fasorial: V 1 N 1 = V 2 N 2 N 1.I 1 + N 2.I 2 = 0

25 Transformador ideal Modelo del transformador ideal En función de lo anterior, el modelo en fasores del transformador ideal resulta: I 1 I 2 + V 1 - N 1 N 2 + V 2 -

26 Transformador ideal Modelado de impedancias Una vez que se tiene el modelo del transformador ideal, se puede mostrar que una impedancia conectada en el secundario (en serie o en paralelo), es equivalente a una impedancia conectada en el primario de la misma forma, pero de valor: Z prim = Z sec. ( ) 2 N1 N 2

27 Transformador ideal Potencia transmitida Para el transformador ideal la potencia aparente entrante por el primario es igual a la saliente por el secundario: I 1 I 2 + V 1 - N 1 N 2 + V 2 - V 1 N 1 = V 2 N 2, N 1.I 1 + N 2.I 2 = 0 S 1 = V 1.I 1 = V 2.N 1 N 2. ( I2.N 2 N 1 ) = V 2.I 2 = S 2

28 Transformador ideal Potencia transmitida Por lo tanto se observa que el transformador ideal no consume potencia activa ni reactiva, por tanto es una máquina con rendimiento unitario. Los transformadores reales están construidos con bobinados de cobre por lo que tienen resistencia y por tanto pérdidas Joule, además de también consumir potencia reactiva por sus bobinados.

29 Transformador real Contenido Bibliografía de referencia Transformador ideal Transformador real Transformadores trifásicos

30 Transformador real Modelo del transformador real El transformador real tiene un modelado más complejo que el transformador ideal. En este curso se utilizará un modelo simplificado, compuesto por una impedancia inductiva pura, llamada impedancia de cortocircuito, conectada en serie con el modelo de un transformador ideal (aquel que obedece a las ecuaciones expresadas anteriormente). I 1 I 2 + Z cc + V 1 - N 1 N 2 V 2 -

31 Transformador real Modelo del transformador real Se observa que la impedancia de cortocircuito, la cual es muy inductiva en la realidad (y la modelamos como puramente inductiva por simplicidad), muestra dos consecuencias en la operación del transformador real: Consumo de potencia reactiva en el transformador (la Q entrante por el primario es mayor que la Q saliente hacia la carga). Caída de tensión en el transformador (similar a lo que sucede en un cable).

32 Transformador real Resolución de problemas con transformador real A los efectos de poder resolver un problema con transformadores, se debe ejecutar un procedimiento conocido como expresar el circuito a un nivel de tensión dado. Este proceso implica trasladar al lado deseado del transformador ideal los componentes que están al otro lado. Una fuente de tensión se representa al otro lado del transformador multiplicando su valor por la relación de vueltas ( N 1 si se pasa del lado 2 al 1, o N 2 si se pasa del lado 1 al 2). N 2 N 1 Las impedancias se representan del otro lado del transformador ideal mediante la relación del vueltas al cuadrado tal como se mostró anteriormente.

33 Transformador real Tensiones, corrientes y potencia nominales Se definen algunas magnitudes: Tensiones nominales: V 1n y V 2n, tensiones de funcionamiento normal del transformador, siguen la relación de vueltas del transformador N 1 N 2. Potencia nominal: se define un solo parámetro de potencia S n. Corrientes nominales: Se definen a partir de la potencia nominal, I 1n = S n V 1n ; I 2n = S n V 2n

34 Transformadores trifásicos Contenido Bibliografía de referencia Transformador ideal Transformador real Transformadores trifásicos

35 Transformadores trifásicos Modelado de transformadores trifásicos Lo visto hasta el momento corresponde a transformadores monofásicos, es decir, con un primario y un secundario de dos bornes. Salvo para aplicaciones menores, se utilizan en general transformadores trifásicos. Éstos se representan con un modelo estrella equivalente, el cual es muy similar al modelo del transformador monofásico, con algunas modificaciones menores.

36 Transformadores trifásicos Modelado de transformadores trifásicos El modelo estrella equivalente de un transformador trifásico tiene esta forma: I 1 I 2 + Z cc + U U 1n U 2n U Notar que: Es un modelo estrella equivalente, por lo que se aplican las tensiones fase-neutro tanto en el primario como en el secundario. La relación de vueltas N 1 /N 2 coincide con la relación de transformación, o relación de tensiones nominales.

37 Transformadores trifásicos Modelado de transformadores trifásicos Respecto a las magnitudes nominales, para el caso de un transformador trifásico existen algunas diferencias: Tensiones nominales: U 1n y U 2n, en este caso se utilizan las tensiones compuestas. Potencia nominal: se define un solo parámetro de potencia S n, igual que para el monofásico, representa la potencia total que puede transmitir el transformador. Corrientes nominales: Se definen a partir de la potencia nominal, I 1n = S n ; I 2n = S n 3.U1n 3.U2n