Tema 2: Diagonalización de matrices cuadradas

Transcripción

1 Departameto de Aálisis Ecoómico UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA Tema : Diagoalizació de matrices cuadradas.1. El cojuto R Defiició: Dados úmeros reales x 1, x,..., x R, se llama -tupla ordeada a x = ( x 1,, x,..., x ). Se defie el espacio -dimesioal R úmeros reales: Casos particulares: E como el cojuto de -tuplas ordeadas de { ( x, x,..., x ) x, x,..., x } = 1 1 R R R R 1. Si = 1, es el cojuto de úmeros reales R.. Si =, es el cojuto de -tuplas o pares ordeados de úmeros reales, R = {( x1, x) x1, x R }.. Si =, es el cojuto de -tuplas o teras ordeadas de úmeros reales, R = {( x1, x, x) x1, x, x R }. R se defie dos operacioes: Suma: Sea x ( 1,,..., ), ( 1,,..., ) = x x x y = y y y R, se defie suma de x e y : ( 1,,..., ) ( 1,,..., ) ( 1 1,,..., ) + = + = R x y x x x y y y x y x y x y Esta operació verifica las siguietes propiedades. Dados ( 1,,..., ), ( 1,,..., ), ( 1,,..., ) x = x x x y = y y y z = z z z R, se verifica: 1.- Asociativa: ( x + y) + z = x + ( y + z).- Elemeto eutro: x + 0 = x = 0 + x, siedo ) 0 = (0,...,0).- Elemeto simétrico (opuesto): Dado siedo x = ( x1, x,..., x ) x R se verifica que x + ( x) = 0 = x + x, 4.- Comutativa: x + y = y + x Producto por u escalar: Se defie producto de u úmero real α R(escalar) por ua -tupla x = ( x1, x,..., x ) R : α = α = α α α R x ( x 1, x,..., x ) ( x 1, x,..., x ) Esta operació verifica las siguietes propiedades. 1

2 Departameto de Aálisis Ecoómico UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA Dados x ( 1,,..., ), ( 1,,..., ) = x x x y = y y y R y αβ, R, se verifica: 1.- 1( x1, x,..., x ) = ( x1, x,..., x ) ( )(,,..., ) = ( (,,..., )).- αβ x1 x x α β x1 x x ( + )(,,..., ) = (,,..., ) + (,,..., ).- α β x1 x x α x1 x x β x1 x x α ( x, x,..., x ) + ( y, y,..., y ) = α( x, x,..., x ) + α( y, y,..., y ) 4.- ( ) Nota: El cojuto R co estas dos operacioes es u espacio vectorial. A los elemetos de R se les llama tambié vectores. Defiició: U vector a R se dice que es ua combiació lieal de los vectores a1, a,..., ap R si existe escalares t 1, t,, t p R tales que a = t1a1 + ta + + tp ap Defiició: U cojuto de vectores a1, a,..., ap R forma u sistema geerador de R si cualquier vector de a1, a,..., a p. R se puede poer como combiació lieal de los vectores Defiició: Dados los vectores a1, a,..., ar R se dice que so liealmete depedietes si uo de ellos es combiació lieal del resto. E caso cotrario se dice que so vectores liealmete idepedietes. Otra defiició equivalete de idepedecia lieal es la siguiete. Defiició: Dados los vectores a1, a,..., ar R se dice que so liealmete depedietes si se puede escribir t + + t r r = 0 co algú ti 0, siedo t1, t,..., t r R. Dados los vectores a 1, a,..., ar R se dice que so liealmete idepedietes si t1a1 + ta + + trar = 0 t1 = t = = tr = 0. Defiició: U cojuto de vectores a 1, a,..., as R forma u sistema de referecia (o base) de R si verifica: { a 1, a,..., a s } es u sistema geerador de R i a1, a,..., a s so vectores liealmete idepedietes Proposició: Cualquier sistema de referecia o base de R tiee vectores.

3 Departameto de Aálisis Ecoómico UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA Defiició: Si { 1,,..., } vector a a a es u sistema de referecia de R, etoces para cualquier b R existe uos úicos escalares t1, t,, t R tales que b = t 1 a 1 + t a + + t a. A estos escalares o úmeros reales se les dice coordeadas del vector b respecto de la base { 1,,..., } Ejemplos: 1.- E R : a a a. {(1, 0),(0, 1)} es u sistema de referecia o base de R. Se deomia sistema de referecia o base caóica de R. Al vector e 1 = (1, 0) le llamaremos primer vector caóico de R y al vector e = (0,1) le llamaremos segudo vector caóico de R. Cualquier vector x = ( x1, x) R se puede escribir escribir de forma úica como combiació lieal de los vectores de esta base: x x = x + x = x + x ( 1, ) ( 1,0) (0, ) 1(1,0) (0,1) A los escalares x1, x se les llama coordeadas del vector x respecto de la base x1 {(1, 0),(0, 1)} y el vector se puede represetar mediate la matriz columa X =. x i {(1, 0),(1,1)} es otro sistema de referecia o base de R. Cualquier vector x = ( x1, x) R se puede escribir escribir de forma úica como combiació lieal de los vectores de esta base: ( x1, x) = ( x1 x)(1,0) + x(1,1) A los escalares x 1 x, x se les llama coordeadas del vector x respecto de la base x1 x {(1, 0),(1,1)} y el vector se puede represetar mediate la matriz columa X* =. x.- E R, {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} es el sistema de referecia o base caóica de R. Al vector e 1 = (1, 0, 0) le llamaremos primer vector caóico de R, al vector e = (0,1,0) le llamaremos segudo vector caóico de e = (0,0,1) le llamaremos tercer vector caóico de R. R y al vector vector Cualquier vector x = ( x1, x, x) R se puede escribir escribir de forma úica como combiació lieal de los vectores de esta base: ( x1, x, x) = ( x1,0,0) + (0, x,0) + (0,0, x) = x1(1,0,0) + x(0,1,0) + x(0,0,1)

4 Departameto de Aálisis Ecoómico UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA A los escalares x 1, x, x se les llama coordeadas del vector x respecto de la base {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} y el vector se puede represetar mediate la matriz columa x1 X = x. x.- E R, {(1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,...,1,...,0),,(0,0,...,1)} es el sistema de referecia o base caóica de vector caóico de R. R. Al vector i (0,...,1,...,0) e = le llamaremos i-ésimo Cualquier vector x = ( x1, x,, x ) R se puede escribir escribir de forma úica como combiació lieal de los vectores de esta base: x x x = x + x + + x + + x = ( 1,,, ) ( 1,0,,0) (0,,,0) (0,..., i,...,0) (0,0,, ) = x1(1,0,...,0) + x(0,1,...,0) + + xi(0,...,1,...,0) + x(0,0,...,1) A los escalares x 1, x,, x i,, x se les llama coordeadas del vector x respecto de la base {(1,0,...,0),,(0,1,...,0),...,(0,...,1,...,0),,(0,0,...,1)} y el vector se puede represetar mediate la matriz columa x1 x X =. xi x.. Valores propios y vectores propios de ua matriz cuadrada: defiició y cálculo E R se cosidera u sistema de referecia (o base) dado { 1,,..., } a a a. Cualquier vector x R se escribe de forma úica como combiació lieal de los vectores del sistema de referecia mediate sus coordeadas: x = t 1 a 1 + t a + + t a y por tato este vector se puede represetar respecto del sistema de referecia cosiderado por la matriz columa formada por dichas coordeadas: t1 t x = t1a1 + ta + + ta X = t 4

5 Departameto de Aálisis Ecoómico UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA Defiició: Sea A M ua matriz de úmeros reales de orde. Se dice que u vector x R, x 0, es u vector propio de A si existe u escalar λ R tal que AX = λ X. Al escalar λ se le llama valor propio de A. Defiició: Sea A M ua matriz de úmeros reales de orde. Se llama poliomio característico de la matriz A al poliomio p A ( λ) = A λ I, que resulta ser u poliomio e la variable λ de grado y coeficietes reales. Se llama ecuació característica de la matriz A a la ecuació A λ I = 0. Cálculo de valores y vectores propios de ua matriz cuadrada Sea x 0 u vector propio de A asociado al valor propio λ 0 : AX0 = λ 0X0. Se verifica la siguiete cadea de implicacioes: λ λ λ AX0 = 0X0 AX0 0X0 = O 1 ( A 0I) X0 = O 1 X0 es solució o ula del sistema de ecuacioes lieales homogéeo ( A λ0i) X = O 1 el sistema de ecuacioes lieales homogéeo ( A λ0i) X = O 1 es compatible idetermiado A λ0i = 0 λ0 es ua solució real de la ecuació característica de A, A λi = 0 De lo aterior se deduce: Los valores propios de ua matriz A M so las solucioes reales de su ecuació característica, A λ I = 0. Para cada valor propio λ 0, los vectores propios asociados so las solucioes o ulas (o triviales) del sistema de ecuacioes lieales homogéeo ( A λ 0 I ) X = O 1. Notar: Se llama orde de multiplicidad del valor propio λ 0 al orde de multiplicidad de λ 0 como solució de la ecuació característica. ( λ ) = grados de libertad del sistema compatible idetermiado -rg A 0I ( A λ 0 I ) X O 1 =, coicide co el úmero máximo de vectores propios liealmete idepedietes asociados al valor propio λ 0 que a su vez es meor o igual que la multiplicidad del valor propio λ 0. Vectores propios asociados a valores propios distitos so liealmete idepedietes. Se verifica: Si los valores propios de ua matriz A M so λ1, λ,, λ etoces A = λ. λ.. λ 1 Tr( A) = λ + λ + + λ 1 5

6 Departameto de Aálisis Ecoómico UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA.. Diagoalizació de ua matriz cuadrada Defiició: Dadas dos matrices A,B M se dice que so semejates si existe otra matriz P M regular, tal que B = P AP. Defiició: Se dice que ua matriz A M es diagoalizable si existe ua matriz P M regular, tal que D P AP =, siedo D ua matriz diagoal. E otras palabras, A es diagoalizable si es semejate a ua matriz diagoal. Proposició: Ua matriz A M es diagoalizable si y solo si existe vectores propios de A liealmete idepedietes. Proposició: Sea A M y λ1, λ,, λ r los valores propios de A co orde de multiplicidad m1, m,, mr respectivamete, cumpliédose que m1 + m + + mr =. Se verifica: A es diagoalizable rg( A λ i I ) = m i, para i = 1,,,r Proposició: Si A M tiee valores propios distitos etoces A es diagoalizable. E el caso de que la matriz A sea diagoalizable, es decir, diagoal: D P AP = co D matriz la matriz diagoal D se obtiee escribiedo los valores propios e la diagoal repetidos tatas veces como idique su multiplicidad. la matriz P regular (tambié llamada matriz de paso o matriz de cambio de base) se obtiee poiedo e sus columas las coordeadas de los vectores propios liealmete idepedietes asociados a los valores propios y e el mismo orde que se ha puesto estos valores propios e la matriz D..4. Caso particular de ua matriz simétrica Proposició: Si A M es ua matriz simétrica etoces A es diagoalizable. Además se puede coseguir que la matriz de paso P verifique que este caso D P AP = es equivalete a t D = P AP. t P P =, co lo cual e Para más detalles de la teoría ver Capítulo 5 de Jare, G.; Pérez-Grasa, I. y Miguilló, E.: Matemáticas para la Ecoomía. Álgebra Lieal y Cálculo Diferecial. Ed. McGraw-Hill, Para ejercicios resueltos ver Capítulo 5 de Miguilló, E.; Jare, G. y Pérez-Grasa, I.: Matemáticas para la Ecoomía. Libro de ejercicios. Álgebra Lieal y Cálculo Diferecial. Ed. McGraw-Hill,