IES Fernando de Herrera Curso 2015 / 16 Primer trimestre - Primer examen 1º Bach CT NOMBRE: e x. xy y

Transcripción

1 IES Ferado de Herrera Curso 05 / Primer trimestre - Primer eame º Bach CT NOMBRE: Istruccioes: ) Todos los folios debe teer el ombre estar umerados e la parte superior. ) Todas las respuestas debe estar justificadas simplificadas. ) No se puede usar corrector i lápiz. Se acoseja o usar borrador. ) Se puede alterar el orde de las respuestas, pero o se puede itercalar la respuesta a ua preguta co las de otras. ) Calcular simplificar (si calculadora, deomiadores racioalizados, epoetes positivos): 7 ( ( ) ) a) ( puto) ( ) b) ) Dar el valor simplificado de l, siedo e ( ) ( puto) (,5 putos) ) Desarrollar simplificar el resultado: (,5 putos) ) Simplificar: (,5 putos) 5) Dado el poliomio + m + 0, hallar m para que el poliomio sea divisible etre que el resto de dividirlo etre + sea 0. (,5 putos) ) Resolver la siguiete ecuació: ( putos)

2 IES Ferado de Herrera Curso 05 / Primer trimestre - Primer eame º Bach CT SOLUCIONES ) Calcular simplificar (si calculadora, deomiadores racioalizados, epoetes positivos): 7 ( ( ) ) a) ( puto) ( ) Teiedo e cueta que ua base egativa elevada a epoete impar da u resultado egativo, si el epoete es par el resultado es positivo, teemos: ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 b) 5 ( ( ) ( ) ( ) ) ( puto) ( ) Ha que teer e cueta que u sigo o debe aparecer afectado a todo el deomiador de ua epresió simplificada. ) Dar el valor simplificado de l, siedo e ( ) l l e ( ) e ( ) l( e ) l ( ) (,5 putos) l + l e l ( + ) l + l e [l + l( + ) ] l + l l( + ) No se puede cotiuar, pues el logaritmo de ua suma o admite simplificació. ) Desarrollar simplificar el resultado: Segú la fórmula coocida como Biomio de Newto: (,5 putos) IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia de

3 IES Ferado de Herrera Curso 05 / Primer trimestre - Primer eame º Bach CT IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia de ) Simplificar: (,5 putos) Usado que m m m, se tiee:! ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5) Dado el poliomio + m + 0, hallar m para que el poliomio sea divisible etre que el resto de dividirlo etre + sea 0. (,5 putos) Segú el Teorema del Resto, si el poliomio, al que llamaremos P(), es divisible etre, se verificará: P() 0: + m m m + Y por la misma razó, si al dividirlo etre + el resto es 0 P( ) 0: ( ) + m( ) + ( ) m m 50 + m Teemos u sistema lieal de dos ecuacioes co dos icógitas, que resolvemos por reducció: 5 0 m m m m ) ( ec : Sustit.e la ª O sea, m 5, 7 P() ) Resolver la siguiete ecuació: ( putos)

4 IES Ferado de Herrera Curso 05 / Primer trimestre - Primer eame º Bach CT Comezamos factorizado los deomiadores. Segú el Teorema de Descomposició Factorial, si coocemos las raíces de u poliomio de grado (el mismo), el poliomio es el coeficiete del térmio (sumado) de maor grado multiplicado por los factores de la forma raíz para cada ua de las raíces. Así: ( ) ( ) ( ) ( ) Por todo ello: ( )( ) ( )( ) 5 5 ( ) (5 )( ) 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 5 5 (0 )( ) 0 ( )( ) 5 7 (0 0 ) 0 ( )( ) Ua fracció se aula si, sólo si lo hace el umerador pero o el deomiador. Por tato, lo aterior ocurrirá cuado el umerador se haga cero, ecluedo los valores que aula el deomiador, esto es: ( )( ) 0 ó. Y los valores que aula el umerador so: Descompoemos por Ruffii: / Luego las raíces del poliomio, por tato, las solucioes de la ecuació aterior so, 5/. Pero hemos de descartar porque aula el deomiador de la ecuació iicial. Por tato, las solucioes válidas so: ó 5/ IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia de

5 IES Ferado de Herrera Curso 05 / Primer trimestre - Eame Global º Bach CT NOMBRE: Istruccioes: ) Todos los folios debe teer el ombre estar umerados e la parte superior. ) Todas las respuestas debe estar justificadas simplificadas. ) No se puede usar corrector i lápiz. Se acoseja o usar borrador. ) Se puede alterar el orde de las respuestas, pero o se puede itercalar la respuesta a ua preguta co las de otras. 5) No ateder las istruccioes puede pealizarse co hasta puto. ) Desarrollar, usado el Biomio de Newto:. (,5 putos) 5 ) Resolver la ecuació: + 0 (,5 putos) ) Resolver la ecuació: l( + ) l() l( + ) l (,5 putos) 7 7 ) Resolver la ecuació: (,5 putos) 0 5) Resolver el sistema: 0 ( putos) ) Clasificar resolver el siguiete sistema. Si tuviera más de ua solució, decir solucioes cocretas: (Clasif: 0,5 + Resol: 0,5 + Sols cocr: ) z 5 5z 7 z

6 IES Ferado de Herrera Curso 05 / Primer trimestre - Eame Global º Bach CT SOLUCIONES ) Desarrollar, usado el Biomio de Newto:. (,5 putos) ( ) ( ) + ( ) ) Resolver la ecuació: (,5 putos) 5 ( ) ( ) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) De este modo, la ecuació se trasforma e: , co 0 ( ) Factorizamos el poliomio resultate, por Ruffii: No vemos ua raíz fácil para cotiuar, de modo que igualamos a 0 el poliomio cociete resolvemos la ecuació, e busca de sus raíces: que o tiee solució. Se trata de u poliomio irreducible. Así: ( )( 5 ) 0 Esta solució es válida, pues o es i 0 i, valores que había que descartar, pues aulaba deomiadores. La solució fial es:. ) Resolver la ecuació: l( + ) l() l( + ) l (,5 putos) l(+) l() l(+ ) l l l ( + ) ( + ) La primera solució es válida, porque i aula i hace egativo igú argumeto de logaritmos e la ecuació origial. E cambio, la seguda o cumple esto, por lo que o es válida. Tiee, pues, solució úica:. IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia de

7 IES Ferado de Herrera Curso 05 / Primer trimestre - Eame Global º Bach CT 7 7 ) Resolver la ecuació: (,5 putos) Aplicado propiedades de los úmeros combiatorios: Por tato, la ecuació puede escribirse así: Y, teiedo e cueta que, tambié se podría escribir así: 5 5 Luego ha dos posibilidades: Ambas posibilidades so válidas, pues los úmeros combiatorios de la ecuació origial tiee setido co cada ua de ellas. Luego ha dos solucioes. 0 5) Resolver el sistema: ( putos) 0 Para resolver la iecuació 0, procedemos así: Factorizamos hallamos las raíces de umerador deomiador. o Por lo que, como coocemos las dos raíces del poliomio de grado, aplicado el Teorema de Descomposició Factorial teemos que: + + ( + )( ) sus raíces so. o 0, que es su úica raíz, el poliomio a está factorizado. Iecuació simplificada: ( )( ) La iecuació se trasforma e: 0 ( )( ) 0 Cuadro de sigos. Dividimos R e itervalos mediate las raíces obteidas, ua vez ordeadas, creamos el cuadro de sigos: iguo de los factores iterviietes cambiará de sigo detro de dichos itervalos, por lo que basta tomar u puto cualquiera de cada uo de ellos para evaluar los sigos (cualquier otro puto ofrecerá el mismo sigo): IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia de

8 IES Ferado de Herrera Curso 05 / Primer trimestre - Eame Global º Bach CT (, ) (, ) (, ) (, +) ( )( ) 0 + / 0 + Sirve? No Si Si No No Si Si Los sigos de la última fila, que so los que os iteresa, los obteemos mediate la regla de los sigos co los que está e su misma columa. Los valores que aula el deomiador provoca que o se pueda completar la operació, por lo que los descartamos. Al estudiar las tres raíces, sólo os iteresa los factores que se aula, de etre los tres que ivestigamos. Es por ello que poemos putos suspesivos e los otros, porque 0 multiplicado por lo que de, resulta 0. De este modo: [, ) [, +) Resolver la seguda iecuació del sistema cosiste, úicamete, e despejar: < 0 < < / (, /) Llevamos a u gráfico sobre la recta real las solucioes de las dos iecuacioes, para ver dóde se verifica simultáeamete llegar, de esta maera, a la solució del sistema: / Por tato, la solució del sistema es: [, /). ) Clasificar resolver el siguiete sistema. Si tuviera más de ua solució, decir solucioes cocretas: (Clasif: 0,5 + Resol: 0,5 + Sols cocr: ) z 5 5z 7 z Por el método de Gauss, triagularizamos la matriz de los coeficietes, imersa e la matriz ampliada: F F F F 0 5 F F Hemos coseguido triagularizar el sistema. Como igua fila es toda de 0 salvo la última columa, el sistema es compatible. La última fila es ula, por lo que prescidimos de ella, quedádoos co u sistema triagularizado co meos filas () que ecuacioes (), por lo que se trata de u sistema compatible idetermiado, co ifiitas solucioes. Recostruimos el sistema resultate, para resolverlo. A la icógita que sobra (teemos ua icógita más que el úmero de ecuacioes), la llamamos t, siedo éste u valor libremete elegido por osotros (ha ifiitas formas de hacerlo: ua por cada úmero real), la pasamos al segudo miembro. Debemos elegir, para ello, ó z, pues si llamásemos t a, perderíamos la triagularizació al pasarla al segudo miembro: IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia de

9 IES Ferado de Herrera Curso 05 / Primer trimestre - Eame Global º Bach CT t t (ª ec.) 5 t t 5 5 t 5t Sustituimos e la ª: 0 t + t 0 t + t El esquema geeral de las ifiitas solucioes, e fució de t, es: 5t 5 t,, t Dado valores a t obteemos las diferetes solucioes. Nos pide. Por ejemplo: t 0: (5, /, 0) t : (,, ) t : (,, ) IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia de

10 IES Ferado de Herrera Curso 05 / Primer trimestre - Recuperació º Bach CT NOMBRE: Istruccioes: ) Todos los folios debe teer el ombre estar umerados e la parte superior. ) Todas las respuestas debe estar justificadas simplificadas. ) No se puede usar corrector i lápiz, el bolígrafo debe ser de tita ideleble. Se acoseja o usar borrador. ) Se puede alterar el orde de las respuestas, pero o se puede itercalar la respuesta a ua preguta co las de otras. 5) Desateder las istruccioes puede pealizarse co hasta puto o la aulació e caso de usar tita corregible. ) Desarrollar, usado el Biomio de Newto:. (,5 putos) ) Resolver la ecuació: 5 9 (,5 putos) ) Resolver la ecuació: (,5 putos) ) Dado el poliomio + m +, hallar m para que el poliomio sea divisible etre + que el resto de dividirlo etre sea 0. (,5 putos) 5 0 5) Resolver el sistema: 0 ( putos) ) Clasificar resolver el siguiete sistema. Si tuviera más de ua solució, decir solucioes cocretas: (Clasif: 0,5 + Resol: 0,5 + Sols cocr: ) z 5 5z 5 z 0

11 IES Ferado de Herrera Curso 05 / Primer trimestre - Recuperació º Bach CT SOLUCIONES ) Desarrollar, usado el Biomio de Newto: 0. (,5 putos) + ( ) ( ) + ( ) 5 9 ) Resolver la ecuació: (,5 putos) Factorizamos los deomiadores. Como ( + )( ). La ecuació, etoces, es: ( )( ) ( ) ( ) ( ) (5 9)( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 5 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) , siedo (aula el deomiador) Como o so los valores que aula el deomiador, ambas solucioes so válidas: 0 ó. 9 ) Resolver la ecuació: (,5 putos) ( ) ( ) Realizamos u cambio de icógita: t : IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia de

12 IES Ferado de Herrera Curso 05 / Primer trimestre - Recuperació º Bach CT t + 7t 0 9t + t t Deshacemos el cambio: t Imposible, pues > 0. t. ) Dado el poliomio + m +, hallar m para que el poliomio sea divisible etre + que el resto de dividirlo etre sea 0. (,5 putos) Si el poliomio P() es divisible etre +, segú el Teorema del Resto de Ruffii, se tiee: P( ) 0 ( ) + m( ) + ( ) 0 + m 0 m 0 m m (). Y si el resto es 0 al dividir P() etre P() 0 + m m m m + 5 (). Resolvemos el sistema formado por las ecuacioes () (). Sumádolas: m m. Sustituedo e (): ) Resolver el sistema: ( putos) 0 Resolvemos cada iecuació por separado. Para la primera, hallamos las raíces factorizamos umerador deomiador: o / ( ) o + 0 Por ello, la iecuació se trasforma e: ( ) ( ) Esto os dice que hemos de buscar los valores de que hace que la epresió aterior sea egativa o 0. Para ello, dividimos R mediate todas las raíces obteidas: / E cada itervalo resultate, la epresió matiee sigo. Creamos el siguiete cuadro vemos dichos sigos, por ejemplo tomado u puto cualquiera de cada itervalo evaluado el sigo de cada epresió: IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia de

13 IES Ferado de Herrera Curso 05 / Primer trimestre - Recuperació º Bach CT (, ) (, /) / ( /, ) (, +) / ( ) / Sirve? No No Si Si No Si Si Por lo que la solució so los putos de (, /] [, +). > 0 > >. El sistema se resuelve por los putos comues a ambas solucioes: Es decir: [, +). / ) Clasificar resolver el siguiete sistema. Si tuviera más de ua solució, decir solucioes cocretas: (Clasif: 0,5 + Resol: 0,5 + Sols cocr: ) z 5 5z 5 z 0 Por el método de Gauss, triagularizamos la matriz de los coeficietes, imersa e la matriz ampliada: F F F F F F El sistema está triagularizado. Como igua fila es toda de 0 salvo la última columa, el sistema es compatible. La última fila es ula, por lo que prescidimos de ella, quedádoos co u sistema triagularizado co meos filas () que ecuacioes (), por lo que se trata de u sistema compatible idetermiado, co ifiitas solucioes. Recostruimos el sistema resultate, para resolverlo. A la icógita que sobra (teemos ua icógita más que el úmero de ecuacioes), la llamamos t, siedo éste u valor libremete elegido por osotros (ha ifiitas formas de hacerlo: ua por cada úmero real), la pasamos al segudo miembro. Debemos elegir, para ello, ó z, pues si llamásemos t a, perderíamos la triagularizació al pasarla al segudo miembro: t 5 5 t (ª ec.) 7 t 5 7 Sustituimos e la ª ec: 5 t t t t 5 0 9t t 5 9t El esquema geeral de las ifiitas solucioes, e fució de t, es: IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia de

14 IES Ferado de Herrera Curso 05 / Primer trimestre - Recuperació º Bach CT 5 t 5 9t,, t 7 Dado valores a t obteemos las diferetes solucioes. Nos pide. Por ejemplo: t 0: (5/7, 5/, 0) t : (/7, /7, ) t : (,, ) IES Ferado de Herrera Prof. R. Mohigefer Págia de