Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.I

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1 Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.I Martes, 10 de mayo de hora y 15 minutos. NOMBRE Y APELLIDOS CALIFICACIÓN 1. La siguiente figura muestra un círculo de centro y radio, (La figura no está dibujada a escala). Los puntos pertenecen a la circunferencia del círculo, y. a) Halle la longitud del arco. (0,25 puntos) b) Halle la longitud del segmento. (0,5 puntos) c) Halle el área del triángulo AOB. (0,5 puntos) d) Halle la superficie del segmento circular sombreado. (0,5 puntos) 2. Dado el siguiente triángulo con longitudes de sus lados, y a) Calcule correctamente los tres ángulos del triángulo en grados minutos y segundos. (0,75 puntos) b) Calcule correctamente el área del triángulo. (0,5 puntos) 3. Sea y. Halle una expresión en función de y/o para cada uno de los siguientes elementos: (2 puntos) 4. Demuestre, sin utilizar la calculadora, las siguientes igualdades, (1 + 1 punto) 5. La siguiente figura muestra un círculo de centro O y radio r cm. (La figura no está a escala). Los puntos A y B pertenecen a la circunferencia del círculo y. El área del sector circular sombreado es igual a y la longitud del arco es igual a. a) Halle el valor de. (1 punto) b) Calcule correctamente el valor de (0,5 puntos) 6. Celia, Berta y Adrián se sitúan en un campo formando un triángulo. Entre Celia y Berta hay metros, y entre Berta y Adrián, metros. El ángulo formado en la esquina que forma Adrián es de. Calcula las distancias entre Celia y Adrián y los ángulos (en grados, minutos y segundos) que se forman en dicho triángulo en la posición de Berta y de Celia. (1,5 puntos)

2 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS DEL CONTROL NÚMERO 9 DE 1º MATEMÁTICAS NM 1. La siguiente figura muestra un círculo de centro y radio, (La figura no está dibujada a escala). Los puntos pertenecen a la circunferencia del círculo, y. a) Halle la longitud del arco. (0,25 puntos) b) Halle la longitud del segmento. (0,5 puntos) c) Halle el área del triángulo AOB. (0,5 puntos) d) Halle la superficie del segmento circular sombreado. (0,5 puntos) a) Halle la longitud del arco. (0,25 puntos) Puesto que el ángulo, Medida en radianes Longitud de arco Por lo tanto, la longitud del arco pedida mide. b) Halle la longitud del segmento. (0,5 puntos) Aplicando el teorema del coseno sobre el lado AB del triángulo AOB, Por lo tanto, En conclusión, el segmento mide aproximadamente. c) Halle el área del triángulo AOB. (0,5 puntos) Calculamos la altura sobre el lado OB, Por lo tanto, el área del triángulo es, En tal caso, el área pedida mide aproximadamente. 2

3 d) Halle la superficie del segmento circular sombreado. (0,5 puntos) Puesto que el área del segmento circular será la resta del área del secctor circular el área del triángulo, calculamos el área del sector circular, menos Medida en radianes Área sector circular Por lo tanto, el área del segmento circular pedido es, 2. Dado el siguiente triángulo con longitudes de sus lados, y a) Calcule correctamente los tres ángulos del triángulo en grados, minutos y segundos. (0,75 puntos) b) Calcule correctamente el área del triángulo. (0,5 puntos) a) Calcule correctamente los tres ángulos del triángulo en grados, minutos y segundos. (0,75 puntos) Por el teorema del coseno sobre el lado calculamos el ángulo En ese caso, tendremos que, en tal caso sustituyendo, 3

4 Por el teorema del coseno sobre el lado calculamos el ángulo En ese caso, tendremos que, en tal caso sustituyendo, El ángulo se puede calcular fácilmente mediante el teorema de la suma de los ángulos de un triángulo cualquiera. b) Calcule correctamente el área del triángulo. (0,5 puntos) Calculamos la altura sobre el lado, Por lo tanto, el área del triángulo es, 4

5 3. Sea y. Halle una expresión en función de y/o para cada uno de los siguientes elementos: (2 puntos) Mediante la igualdad fundamental de la trigonometría y sabiendo que el coseno de tendrá signo positivo al ser un ángulo del primer cuadrante, tendremos, Mediante la expresión, y sabiendo que el cuadrante, tendremos, tendrá signo positivo al ser un ángulo del primer Aplicando la fórmula de adición del seno de la suma Aplicando la fórmula de adición del coseno de la resta 5

6 Aplicando la fórmula del seno del ángulo doble, Aplicando la fórmula del coseno del ángulo doble, Aplicando la fórmula de la tangente, Aplicando la fórmula del coseno del ángulo mitad, 4. Demuestre, sin utilizar la calculadora, las siguientes igualdades, (1 + 1 punto) 6

7 5. La siguiente figura muestra un círculo de centro O y radio r cm. (La figura no está a escala) Los puntos A y B pertenecen a la circunferencia del círculo y. El área del sector circular sombreado es igual a y la longitud del arco es igual a. a) Halle el valor de. (1 punto) b) Calcule correctamente el valor de (0,5 puntos) a) Halle el valor de. (1 punto) Puesto que la longitud del arco es, Medida en radianes Longitud de arco Puesto que el área del sector circular es, Medida en radianes Área sector circular Por lo tanto, 7

8 b) Calcule correctamente el valor de (0,5 puntos) Para calcular el ángulo usamos la igualdad obtenida para la longitud de arco, 6. Celia, Berta y Adrián se sitúan en un campo formando un triángulo. Entre Celia y Berta hay metros, y entre Berta y Adrián, metros. El ángulo formado en la esquina que forma Adrián es de. Calcula las distancias entre Celia y Adrián y los ángulos (en grados, minutos y segundos) que se forman en dicho triángulo en la posición de Berta y de Celia. (1,5 puntos) Hay dos posibles soluciones para este problema, 1ª Hay un ángulo obtuso en el vértice que forma Berta. En ese caso, llamamos A al vértice de la posición de Adrián, B al vértice de la posición de Berta; y C al vértice de la posición de Celia. Aplicando el teorema del seno podemos calcular el ángulo sobre el vértice C (Celia). El ángulo sobre el vértice B (Berta) será, Calculamos ahora la distancia entre A (Adrián) y C (Celia) mediante el teorema del seno, 8

9 2ª Hay un ángulo obtuso en el vértice que forma Celia. En ese caso, llamamos A al vértice de la posición de Adrián, B al vértice de la posición de Berta; y C al vértice de la posición de Celia. Aplicando el teorema del seno podemos calcular el ángulo sobre el vértice C (Celia). El ángulo sobre el vértice B (Berta) será, Calculamos ahora la distancia entre A (Adrián) y C (Celia) mediante el teorema del seno, 9