Geometría Analítica. Ecuación de una recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada:

Transcripción

1 Geometría Analítica Definición de línea recta: Llamamos línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera y del lugar, el valor de la pendiente m calculado por medio de la fórmula Ecuación de una recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada: Ecuación de la recta dada su pendiente y su ordenada en el origen.

2 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Ecuación simétrica de la recta Forma general de la ecuación de una recta Casos particulares de la forma general de la ecuacion de una recta Caso I Caso II

3 Ecuación de la Circunferencia Definición de Circunferencia: Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. El punto fijo se llama centro de la circunferencia, y la distancia constante se llama radio. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (h,k) y cuyo radio r es constante Sea un punto cualquiera cuyas coordenadas satisfacen la ecuación anterior, de manera que se verifica la igualdad Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el origen y cuyo radio r es constante Ecuación general de la circunferencia

4 Definición de la parábola: Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola. La definición excluye el caso en que el foco está sobre la directriz. Ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje un eje coordenado Eje coincide con el eje X. En donde el foco es el punto (p,0) y la ecuación de la directriz es. Si, la parábola se abre hacia la derecha; si la parábola se abre hacia la izquierda. Eje coincide con el eje Y. En donde el foco es el punto (0,p), y la ecuación de la directriz es. Si, la parábola se abre hacia arriba; si, la parábola se abre hacia abajo.

5 Ecuación de una parábola de vértice (h,k) y eje paralelo a un eje coordenado Eje paralelo al eje X Siendo la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco y el vértice Eje paralelo al eje Y Ecuación general de la parábola La función cuadrática Está representada por la parábola Cuyo eje es paralelo al eje Y, y cuyo vértice es el punto. Si la parábola abre hacia arriba y su vértice es un punto mínimo y la función cuadrática tiene un valor mínimo igual a cuando Si la parábola abre hacia abajo y su vértice es un punto máximo, y la función cuadrática tiene un valor máximo igual a cuando Ecuación de la elipse Definición de elipse: Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.

6 Los dos puntos fijos F y F se llaman focos de la elipse. La definición de una elipse excluye el caso en que el punto móvil está sobre el segmento que une los focos. La recta l o eje focal corta a la elipse en dos puntos V y V, estos puntos son los llamados vértices de la elipse. La porción del eje focal comprendida entre los vértices, el segmento VV se llama eje mayor. El punto C del eje focal, punto medio del segmento que une los focos, se llama centro. La recta l o eje normal corta a la elipse en dos puntos A y A. El segmento AA se llama eje menor. Ecuación de la elipse de centro en el origen y ejes de coordenadas los ejes de la elipse. Eje focal coincide con el eje X Eje focal coincide con el eje Y Donde a es la longitud del semieje mayor y b es la longitud del semieje menor y a,b y c están ligados por la relación

7 Estas ecuaciones se llaman como primera ecuación ordinaria de la elipse de la forma canónica. La excentricidad está dada por la formula Ecuación de la elipse de centro (h,k) Eje focal paralelo al eje X Eje focal paralelo al eje Y Ecuación general de la elipse Hipérbola Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos. La definición de la hipérbola excluye el caso en que el punto m6vil se mueva sobre la recta que pasa por los focos a excepción del segmento comprendido entre ellos. La recta l se llama eje focal F y F son los focos de la hipérbola. V y V son los vértices. El segmento VV se llama eje transverso. El punto C se llama centro. La recta l se llama eje normal. El segmento AA se llama eje conjugado. Ecuación de la hipérbola de centro en el origen.

8 Eje focal coincidente con el eje X Eje focal coincidente con el eje Y Para cada hipérbola a es la longitud del semieje transverso y b la del semieje conjugado, c la distancia del centro a cada foco y a, b y c están ligados por la relación Estas ecuaciones se llaman como primera ecuación ordinaria de la hipérbola de la forma canónica. La excentricidad está dada por la formula Asíntotas de la hipérbola Ecuación de una hipérbola de centro (h,k) Eje focal paralelo a el eje X Eje focal paralelo a el eje Y Ecuación general de la hipérbole