NÚMEROS COMPLEJOS. [1.1] Expresar en forma binómica: z 1 3i 1 3i. Solución: Teniendo en cuenta que 1 3i. [1.2] Calcular: a) 3 4 NÚMEROS COMPLEJOS

Transcripción

1 NÚMEROS COMPLEJOS NÚMEROS COMPLEJOS 9 9 [1.1] Expresar en forma bnómca: z 1 1 Tenendo en cuenta que 1 / 1 / / / z (cos sen ) (cos( ) sen( )) cos ( 1) 10 [1.] Calcular: z 1 a) b) z c) z z 1 a) Escuela Unverstara de Ingenería Técnca Industral Blbao 1

2 EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL z 1 ( ) arctg 1 Por tanto: k z k=0,1,, b) z Tenendo en cuenta que 1 y que 1 : z 1 (cos 5 sen 5 ) ( 1) c) z Comprobamos que es una progresón geométrca de razón r 1, por tanto: 0 0 ar n a1 1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) 1 z 1 (1) r Calculamos en prmer lugar : (1 ) Escuela Unverstara de Ingenería Técnca Industral Blbao

3 NÚMEROS COMPLEJOS ( ) (cos sen ) ( ) ( 1 ) Susttuyendo: z ( 1 ) (1 ) (1 ) 1 105( 1 ) Escuela Unverstara de Ingenería Técnca Industral Blbao

4 EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL [1.] Resolver las sguentes ecuacones algebracas: a) b) 7 x 10 7 x 9x 8x 0 1) x 1 0 x 1 x k k 0,1,,,,5, 6 7 Escuela Unverstara de Ingenería Técnca Industral Blbao

5 NÚMEROS COMPLEJOS ) x x x xx x x x 9x 80 Como x 6 9x 80 es una ecuacón bcuadrada, realzamos el cambo x t, obtenendo la ecuacón de segundo grado t 9t8 0, cuyas raíces son t 8 y t 1. Por tanto, obtenemos las ecuacones x 8 y x 1. x 8 x 8 k 0,1, Para k 0: x 0 0k Para k 1: x1 Para k : x1 0 0 k x 1 x 1 1 k 0,1, Para k 0: x1 Para Para 1 k 1: x 1 k : x Escuela Unverstara de Ingenería Técnca Industral Blbao 5

6 EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL [1.] Hallar los números reales ( a ) y ( b) de forma que el complejo número real y tenga módulo la undad. Determnar z. b a z, sea un b a (b a)( ) 1b6 a(9b8 a) 1b6a 9b8a z S 9b z : 9b8a0 a 8 S z 1 1b6a 1b6a z b 1b 5 8 5b 1b 5 8 Entonces: a, b a, b 1 6 1b6a 16 9 z b6a 16 9 z Escuela Unverstara de Ingenería Técnca Industral Blbao

7 NÚMEROS COMPLEJOS Otra forma de resolver: b b ba a a b a z 1 z 1 1 b b ba a a [1.5] Operando sólo con valores prncpales, resolver en la ecuacón: 1 log ( zz) 1 ln( z z) ln zln(1 ) 1log z ( zz) ln z ln z ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) 1 1 ln z ln z ln(1 ) ln z ln z z ln z ln( ) / ln z ln( ) k ln ln z ln( ) ln z ln z e Escuela Unverstara de Ingenería Técnca Industral Blbao 7

8 EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL [1.6] Resolver la ecuacón en números complejos: z ( ) z 0. Determnar el logartmo neperano de las raíces obtendas. ( ) z ( ) z 0 z En efecto: (1 ) 1 86 a b 86 ( a b) 86 a b ab De donde, dentfcando partes reales real e magnara: 6 ab 8 a b 9 b 8 a a 8a 90 a a a a1 b 9 (no es posble) El logartmo neperano de las raíces obtendas es: ln( ) ln 8 ln 8 k ln k 1 ln(1 ) ln ln k ln k 8 Escuela Unverstara de Ingenería Técnca Industral Blbao

9 NÚMEROS COMPLEJOS Escuela Unverstara de Ingenería Técnca Industral Blbao 9

10 EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL [1.7] Expresar en forma bnómca las solucones de la ecuacón: ( )( e ) 6 0 R ecuérdese que e (cos sen ) z. Luego se trata de resolver la ecuacón: ( z ) ( 6 ) 0 z 6 ( 6 )( ) ( ) 1 1 z z ( k 0,1) /k ( ) / 1 z ( ) 5 / 1 Otra forma de resolver (aplcando la defncón de raíz cuadrada): x y x y x y x y xy (, ) ( ) 1 y 1 x y 0 x y x xy 1 x 0 x 1 0 x 1 ( x ) 1 y x 10 Escuela Unverstara de Ingenería Técnca Industral Blbao

11 NÚMEROS COMPLEJOS [1.8] Descrbr el lugar geométrco de los puntos z, que verfcan la condcón: z z Sendo z x y se tene: z ( x) y ( x ) y ( x ) y z ( x) y ( x ) y 9[( x ) y ] 8x 0x 8y 0 Escuela Unverstara de Ingenería Técnca Industral Blbao 11

12 EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL 5 x 5x y 0 x y Crcunferenca de centro C ( 5/,0) y rado r / - - 5/ -1 [1.9] Determnar la ecuacón del lugar geométrco de los z x y del plano complejo tales que la razón de las dstancas de z a los puntos 1 y -1 tenen el valor constante k z 1 ( x1) y k ( k 0) k x x1 y k ( x x1 y z 1 ( x1) y ) 1 Escuela Unverstara de Ingenería Técnca Industral Blbao

13 NÚMEROS COMPLEJOS x ( k 1) y ( k 1) x( k 1) k 1 0 S k 1: k 1 k 1 k 1 k x y x 10 x y 1 k 1 k 1 k 1 ( k 1) Se trata de una crcunferenca, cuyo centro y rado son: k C k 1 k,0 r 1 k 1 S k 1: x 0 (eje de ordenadas) (1,5),7) [1.10] Los puntos y (1 son vértces opuestos de un octógono regular. Determnar los restantes vértces. (1,5) (1,7) S y son vértces opuestos, el centro del octógono regular está en su semsuma, es decr, en el punto (1,6), y el rado vector es (1,7) (1,6) (0,1). Grando este rado vector /8 radanes sucesvamente, se obtenen los restantes vértces. Utlzando números complejos se tene: V1 (1,7) V (1,6) (0,1) 1 (1,6) (0,1) ( /, /) (1,6) ( /, /) / (1 /, 6 / ) V (1,6) ( /, /) 1 (1,6) ( /, /) ( /, /) (1,6) ( 1,0) / (0,6) V (1,6) ( 1,0) 1 (1,6) ( 1,0) ( /, /) (1,6) ( /, /) / (1 /, 6 / ) Hacendo uso de la smetría de los vértces respecto del centro del octógono resulta: V5 (1,6) (0,1) (1,5) V6 (1,6) ( /, /) (1 /,6 /) Escuela Unverstara de Ingenería Técnca Industral Blbao 1

14 EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL V7 (1,6) ( 1,0) (,6) V8 (1,6) ( /, /) (1 /,6 /) 1 Escuela Unverstara de Ingenería Técnca Industral Blbao