1. FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD

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1 ANÁLISIS MATEMÁTICO 1. FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD 1. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Una función es una relación entre dos magnitudes de forma que a un valor cualquiera de una (variable independiente) le hacemos corresponder, como mucho, un único valor de la otra (variable dependiente). Para indicar que la variable (y) depende o es función de otra (x), se usa la notación y = f(x), que se lee y es la imagen de x mediante la función f. El dominio de una función es el conjunto de valores reales en el que está definida: Dom( f ) x / f (x) El recorrido (o imagen) de una función es el conjunto de valores reales que son imagen de algún elemento del dominio: Im( f ) y / x Dom( f ), y f (x) La gráfica cartesiana de una función es: Gf (x, y) 2 / x Dom( f ), y f (x) La ecuación funcional de una función, si existe, es la fórmula matemática mediante la cual se relaciona la variable independiente con la dependiente. 1

2 Clasificación de las funciones más conocidas: 2. ÁLGEBRA DE FUNCIONES Recordemos las operaciones con funciones: Debemos destacar la composición de funciones, dado su interés a la hora de manejar funciones inversas: 2

3 Mediante la composición de funciones, obtenemos una función a la que denominamos función inversa, y que representamos por f 1. Esta función verifica, en cuanto a la composición de funciones, la siguiente relación: f 1 f = f f 1 = 1 Las gráficas cartesianas de una función y de su inversa, son simétricas respecto de la recta y = x (bisectriz del 1º y 3º cuadrante). Cómo calcula la inversa de una función? 1. Escribimos y = f(x). 2. Despejamos la x, obteniendo una expresión del tipo x = g(y). 3. Intercambiamos x e y, quedando y = g(x). Ejemplo: Obtener la función inversa de f(x) = 3x 2: 1. y = 3x 2 2. x = (y + 2)/3 g(y) = (y + 2)/3 3. f -1 (x) = (x + 2)/3 Al final del tema encontrarás las funciones más importantes, de las cuales debes conocer sus propiedades, elementos destacados y gráficas. Nota: en la red existen numerosas páginas y programas para realizar gráficas: Geogebra( Mathe-fa( 3. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 3.1. DEFINICIÓN DE LÍMITE Se define entorno de centro a y radio, y se representa por E(a, ), al intervalo abierto (a -, a + ): Se define entorno reducido de centro a y radio, y se representa por E*( a, ), al entorno E(a, ) excepto el propio punto a: Una función f(x) tiene por límite L cuando x tiende a x0, y se representa por lím f(x) = L si para todo entorno E(L, ) existe un entorno E(x0, ), de modo que para todo x perteneciente al entorno reducido E*(x0, ) se cumple que f(x) pertenece al entorno E(L, ): o también: Si existe, el límite es único. 3

4 3.2. LÍMITES LATERALES Una función f(x) tiene por límite L cuando x tienda a x0 por la izquierda/derecha, y se representa como / si para todo entorno E(L, ) existe un entorno lateral a la izquierda (derecha) de x0, E (x0, )=(x0 -, x0), de modo que para todo x perteneciente a este entorno lateral, se verifica que f(x) pertenece al entorno E(L, ): o también: Es importante tener en consideración que, para que existan los límites laterales en x0, no es necesario que la función esté definida en ese punto. Diremos que existe el límite en x0 cuando los límites laterales coincidan. Un caso muy interesante es el llevado a cabo al estudiar las funciones dadas a trozos, ya que tendremos que considerar diferentes funciones según el intervalo en el que nos encontremos: 4

5 3.3. LÍMITES INFINITOS Diremos que una función tiende a infinito en x0 por la izquierda cuando: Del mismo modo, f(x) tenderá a infinito en x0 por la derecha si verifica: En ambos casos, se trata de situaciones en las que los valores de y se hacen tan grandes como se desee al aproximarse x a x0. Si ambos límites coinciden, podremos escribir: Al igual que esta tendencia a escaparse al infinito, la función puede tender a decrecer, acercándose los valores de y a - : Gráficamente, diremos que la recta x x0 es una ASÍNTOTA VERTICAL de f(x). OJO: No existe ni la división entre cero ni el logaritmo de cero. Hablamos de que el límite cuando el denominador o el argumento tienden a cero es infinito LÍMITES FINITOS EN EL INFINITO Una función f(x) tiene por límite un número real L, cuando x tiende a +, y se escribe: si para todo positivo, existe un número real K, de modo que, para cualquier valor de x mayor que K, se verifica que f(x) está en el entorno E(L, ): Del mismo modo, definimos, cuando x tiende a - : Si para todo positivo, existe un número real M, de modo que, para cualquier valor de x menor que M, se verifica que f(x) está en el entorno E(L, ): Gráficamente, estos límites se corresponden con ASÍNTOTAS HORIZONTALES: y = L. 5

6 3.5. LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO Existen 4 posibilidades:, la función tienda a + cuando x tienda a +. Esto implica que si para todo número real K, existe un número real M, tal que, para cualquier x mayor que M, f(x) es mayor que K., la función tienda a - cuando x tienda a +. Esto implica que si para todo número real K, existe un número real M, tal que x mayor que M, f(x) es menor que K., la función tienda a + cuando x tienda a -. Esto implica que si para todo número real K, existe un número real M, tal que x menor que M, f(x) es mayor que K., la función tienda a - cuando x tienda a -. Esto implica que si para todo número real K, existe un número real M, tal que x menor que M, f(x) es menor que K. 6

7 3.6. OPERACIONES CON LÍMITES Sean f(x) y g(x) dos funciones para las cuales existe el correspondiente límite cuando x tienda a x0: Se tiene: Además, estas expresiones son válidas para los límites en el infinito. Nota: Los casos que nos aparecen en la anterior tabla, serán estudiados como casos Indeterminados o Indeterminaciones. 7

8 3.7. CÁLCULO DE LÍMITES LÍMITES SENCILLOS El proceso de cálculo de un límite a partir de la definición es muy complejo, por lo que, en la práctica, bastará con sustituir la variable por el valor al que tiende y operar. El resultado podrá ser: finito, infinito o indeterminado LÍMITES EN LOS QUE SE ANULA EL DENOMINADOR En aquellos casos donde el denominador se anule, debemos realizar el estudio de los límites laterales en el punto al que tiende x. Recordemos que el límite existirá cuando ambos límites coincidan (ambos sean +, o ambos sean - ), en otro caso diremos que el límite no existe LÍMITES EN EL INFINITO Para resolver este tipo de límites, debemos conocer cómo se comportan las funciones más comunes cuando x toma valores muy grandes: - Funciones potenciales: son del tipo f(x) = x n, con n un número real 8

9 - Funciones exponenciales: son de la forma f(x) = a x - Función logarítmica: debemos conocer - Funciones trigonométricas: dado que son oscilantes, no se define un límite. NOTA 1: Las funciones se ordenan por su carácter dominante (por ejemplo, 2x tiende a infinito más rápidamente que x2+3x-1), por lo que debemos conocer su orden: NOTA 2: porque, aunque no existe el límite de la función seno, sabemos que es un número comprendido entre cero y uno, y el término del denominador tiende a infinito: INDETERMINACIONES - Indeterminación del tipo Estudiaremos el grado del numerador y del denominador: o Si grado(numerador) > grado(denominador) ± o Si grado(numerador) < grado(denominador) 0 o Si grado(numerador) = grado(denominador) división de los coeficientes que acompañan al monomio de mayor grado. 9

10 NOTA: Mucho cuidado en los casos en los que el denominador tenga raíces, recuerda que el grado se verá reducido dependiendo del tipo de raíz: - Indeterminación del tipo El caso más habitual es el que incluye radicales, aunque también puede darse como diferencia de polinomios. En el primer caso tendremos que multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión, y en el segundo tendremos que operar los polinomios para salvar la indeterminación: - Indeterminación del tipo Debemos factorizar numerador y denominador mediante métodos como el de Ruffini, hasta obtener factores que podamos eliminar, eliminando la condición de indeterminación: - Indeterminaciones del tipo Tendremos que convertirla en otro tipo: ó 10

11 - Indeterminaciones del tipo 11

12 CUIDADO: hay casos que pueden parecernos una indeterminación de este tipo pero que en realidad no lo son: REGLA DE L HÔPITAL Esta regla es aplicable para la resolución de Indeterminaciones de los tipos: Sean f y g dos funciones derivables en un entorno del punto x = a. Si, es: y existe el, entonces también existe el límite y Observaciones: 12

13 LÍMITES SINGULARES Y LÍMITES QUE NO EXISTEN 4. CONTINUIDAD DE FUNCIONES 4.1. DEFINICIÓN IDEA INTUITIVA DE CONTINUIDAD: será continua toda función cuya gráfica pueda ser dibujada sin levantar el lápiz del papel. Una función f es continua en el punto de abscisa x = a si cumple las siguientes tres condiciones: 1) Existe f(a), es decir, a ϵ Dom(f(x)) 2) Existe el, es decir, 3) Los valores anteriores coinciden: Diremos además que f es continua por la izquierda/derecha: - si existe el límite lateral correspondiente - este límite coincide con el valor de la función en el punto estudiado PROPIEDADES: Si f y g son dos funciones continuas en x = a, 1) f ± g es continua en x = a 2) f g es continua en x = a 3) k f es continua en x = a, para cualquier k número real 13

14 4) f / g es continua en x = a, siempre que sea g(x) 0 Las funciones elementales son continuas en sus respectivos dominios de definición: - Las funciones polinómicas son continuas en todo R. - Las funciones racionales no son continuas en los puntos que anulan el denominador. - Las funciones radicales con índice par no existe en los valores en que hacen el radicando negativo. Si el índice es impar, son continuas en todo R. - Las funciones exponenciales son continuas en todo R. - Las funciones logarítmicas no son continuas en los puntos en los que la expresión para la que queremos hallar el logaritmo se convierte en cero o en un número negativo. - Las funciones trigonométricas no son continuas si implican un cociente: o La tangente y secante (fallan donde se anula el coseno: = /2 + k, k ϵ Z). o La cosecante y cotangente (fallan donde se anula el seno: = k, k ϵ Z) Aquellos puntos en los que la función no sea continua, recibirán el nombre de discontinuidad TIPOS DE DISCONTINUIDAD DISCONTINUIDAD EVITABLE Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto de abscisa x0 cuando se produce una de estas situaciones: - El límite de la función en x0 existe y es finito, pero no coincide con el valor de la función en x0. - La función no está definida en x0. Esta discontinuidad se evita redefiniendo la función en x0. Es un muro al que le falta un ladrillo DISCONTINUIDADES NO EVITABLES 14

15 - 1ª ESPECIE: o SALTO FINITO: los límites laterales en el punto no coinciden: SALTO = o SALTO INFINITO: uno, o ambos límites laterales, es infinito. - 2ª ESPECIE (también de tipo infinito): uno de los límites laterales es infinito, y el otro no existe ya que la función no está definida por ese lateral CONTINUIDAD EN INTERVALOS Una función f es continua en un intervalo (a,b) si es continua en todos los puntos de dicho intervalo. Una función f es continua en un intervalo [a,b] si es continua en (a,b) y además: - existe el límite por la derecha en x = a y coincide con f(a) - existe el límite por la izquierda en x = b y coincide con f(b) TEOREMAS DE CONTINUIDAD 1. Teorema de conservación del signo Si una función y = f(x) es continua en x = a y f(a) 0, entonces existe un entorno de x = a, en el cual la función tiene el mismo signo que f(a). 2. Teorema de la acotación Si una función y = f(x) es continua en x = a, entonces existe un entorno de x = a, en el cual la función está acotada. 3. Teorema de Bolzano Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] y en los extremos del mismo toma valores de signo contrario, entonces existe un punto en el interior de dicho intervalo en el cual la función se anula: a) f continua en [a,b] b) f(a) f(b) < 0 15

16 IDEA INTUITIVA: El ascensor de mi edificio nos permite llegar desde el ático hasta el sótano. Por tanto, y aunque yo no me baje, si quiero ir del 4º piso hasta el sótano 2, tendré que pasar por la planta baja. 4. Teorema de Darboux (consecuencia del Teorema de Bolzano) Si una función es continua en [a,b], entonces toma todos los valores intermedios entre f(a) y f(b), es decir, cualquiera que sea el número k comprendido entre f(a) y f(b), existe un número s, a< c <b, tal que f(c) = k. 5. Teorema de Weierstrass Si f es continua en [a,b], entonces tiene un máximo y un mínimo absolutos en ese intervalo, es decir, existe sendos números, c y d, del intervalo [a,b] para los cuales se cumple que: cualquiera que sea x ϵ [a,b] es f(d) f(x) f(c) 16

17 2. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. Isaac Newton (1666) - Inglaterra Gottfried Leibniz (1674) - Alemania 1. DEFINICIÓN 1.1. DEFINICIÓN ANALÍTICA Empezaremos con la definición analítica: Si X es un intervalo abierto, f: X R una función continua en a ϵ X, se dice que f es derivable en a si existe el límite: y es un número real (es decir, no es infinito). El valor del límite lo denominamos derivada de f en x = a, y lo representamos por f (a), Df(a) o por (a): f (a) = DF(a) = (a) = = Hablaremos además de funciones derivables en un punto por la derecha, y por la izquierda. Si X es un intervalo, f: X R una función y a ϵ X, se dice que f es derivable por la derecha en a si existe el límite por la derecha y es finito: Al valor del límite lo llamamos derivada por la derecha de f en x = a, y lo representamos por f(a + ). Del mismo modo: Si X es un intervalo, f: X R una función y a ϵ X, se dice que f es derivable por la izquierda en a si existe el límite por la derecha y es finito: Al valor del límite lo llamamos derivada por la izquierda de f en x = a, y lo representamos por f(a - ). Para que exista la derivada de f en el punto a deben existir las derivadas laterales en dicho punto. 17

18 IMPORTANTE: Si f es derivable en un punto, entonces f es continua en dicho punto, pero no se cumple en el otro sentido. Ser continua no asegura ser derivable. La función f(x) = x es continua en x = 0 pero no es derivable, los límites laterales no coinciden (-1 y 1) 1.2. DEFINICIÓN GEOMÉTRICA. RECTA TANGENTE y = f(a) + f (a) (x a) 1.3. DEFINICIÓN FÍSICA Se puede definir la derivada como la tasa de variación media de una función f en un intervalo [a,x]: Puede ser positiva, nula o negativa. Es frecuente poner: Ejemplo: La velocidad es la derivada del espacio con respecto al tiempo, la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo 18

19 1.4. DERIVADAS SUCESIVAS 2. CÁLCULO DE DERIVADAS 2.1. REGLAS DE DERIVACIÓN 19

20 2.2. DERIVADAS ELEMENTALES 20

21 3. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 3.1. RECTAS TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA La obtención de una recta tangente a una curva en uno de sus puntos es la aplicación más inmediata de las derivadas. Los dos casos más habituales son los siguientes: CASO ELEMENTAL Hallar la tangente a y = f(x) en el punto de abscisa x = x0. Ordenada del punto: f(x0); pendiente de la recta: m = f (x0) La ecuación de la recta tangente es: y = f(x0) + f (x0)(x - x0) EJEMPLO: Hallar la ecuación de la recta tangente a en x0 = 3. - Calculamos la ordenada: f(x0) = f(3) = La curva pasa por (3, ½) - Pendiente: f (x) = ; f (3) = - La ecuación de la recta tangente en x0 = 3 es: y = FUNCIÓN DADA IMPLÍCITAMENTE Lo vemos con un ejemplo. Si nos piden la recta tangente a la curva en un punto x0 = 4, antes de nada debemos despejar la y para obtener la ecuación explícita y poder continuar como en el caso elemental. Tendremos y = Además de la recta tangente, podemos obtener la recta normal a una curva en uno de sus puntos. Para esto, la pendiente que debemos considerar es la inversa de la opuesta de la pendiente de la recta tangente: 3.2. MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN (Crecimiento y Decrecimiento) Veremos la monotonía en relación con el concepto de Derivada. Sea f es una función derivable en un punto x0: Si f (x0) > 0 f es creciente en x0 Si f (x0) < 0 f es decreciente en x0 Si f (x0) = 0 f tiene en x0 punto crítico (máximo, mínimo o punto de inflexión) 21

22 En el caso de los puntos críticos, debemos indicar si se trata de un máximo, un mínimo o punto de inflexión. Para esto, bastará con ver cómo actúa la derivada en un entorno del punto: - Si f (x0 a) > 0 y f (x0 + a) < 0 Se trata de un máximo. - Si f (x0 a) < 0 y f (x0 + a) > 0 Se trata de un mínimo. - Si f toma el mismo signo en (x0 a) y (x0 + a) Se trata de un punto de inflexión. Diferenciaremos además si estos máximos y mínimos son de tipo local (máximo o mínimo por definición) o absoluto/global (el mayor de los máximos o el menor de los mínimos): 3.3. CURVATURA (Concavidad y Convexidad) Definimos antes de nada los conceptos de convexidad y concavidad: Estudiaremos la curvatura de una función en un punto x0 en base a su derivada segunda, f : Si f (x0) > 0 f es convexa en x0 (cóncava hacia arriba) Si f (x0) < 0 f es cóncava en x0 (cóncava hacia abajo) Si f (x0) = 0 f tiene un punto de inflexión en x0 22

23 Además, la segunda derivada nos permite confirmar si nuestros puntos críticos, obtenidos en el apartado de Monotonía, son en verdad máximos, mínimos o puntos de inflexión: - Si f (x0) > 0 f tiene un mínimo en x0 - Si f (x0) < 0 f tiene un máximo en x0 - Si f (x0) = 0 f tiene un punto de inflexión en x0 Punto de inflexión 3.4. OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES Optimizar nos permite hacer máximo un volumen, una población, unos beneficios, hacer mínimos unos costes, un área, etc. La dificultad de estos problemas, normalmente, no estriba en optimizar la función, sino en encontrar cuál es la expresión analítica de dicha función a optimizar. EJEMPLO : Descomponer el número 36 en dos sumandos positivos de modo que el producto del primer sumando y por el cuadrado del segundo sea máximo. La función a optimizar es f(x,y) = x y 2 pero, para nuestros conocimientos de derivación, necesitamos reescribirla en función de una sola variable. Sabemos que x + y = 36, por tanto, y = 36 x f(x) = x (36 - x) 2, puntos críticos? f (x) = 3x 2 144x , se anula en x = 12 y x = 36. Obviamente, este último resultado no nos sirve, por lo tanto x= 12, y = 24, pero de verdad x = 12 es un máximo? Calculamos f (x) = 6x-144, y sustituimos x, obteniendo f (12) = < 0 máximo 3.5. TEOREMAS TEOREMA DE ROLLE El teorema de Rolle nos indica bajo qué condiciones podemos asegurar que hay un punto con tangente horizontal. Sea f: [a,b] R una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b) entonces existe un punto c del intervalo abierto (a,b) en el que f (c)=0. 23

24 TEOREMA DEL VALOR MEDIO Sean f, g: [a,b] R dos funciones continuas en el intervalo cerrado [a,b] y derivables en el intervalo abierto (a,b). Existe un punto c del intervalo abierto (a,b) en el que: (f(b) f(a)) g (c) = (g(b) g(a))f (c) 4. DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN Al igual que realizamos el estudio de la continuidad de funciones, podremos estudiar en qué casos la función tiene derivada y, si corresponde, en qué puntos la tiene. Nota: Recuerda que para tener derivada en un punto es necesario, en primer lugar, que sea continua en dicho punto. Ejemplos: 1º Sea la función f(x) =.. Estudiar su continuidad y derivabilidad. Esta función es de tipo racional, por lo que debemos ver en qué casos se anula el denominador: x 2 1 = 0 x = ± 1. Por lo tanto, en esos dos puntos la función no está definida, así que no es continua ni derivable en ellos. La función, al ser de tipo racional, es continua en aquellos puntos que no anulan el denominador: f continua en R {±1}. Cuál es la función derivada? f (x) =, está función también es continua en R {±1}. Por tanto: f está definida en R {±1}. f es continua en R {±1}. f es derivable en R {±1}. 2º Estudiar la derivabilidad de la siguiente función definida a trozos: Estudiemos la continuidad de la función: f(x) = x = 0 (1/x) 1 (2x - 1) 2 (x - 2) Si x < 1, la función f(x) se define como 1/x, esta función es racional y su denominador se anula en x = 0, estando este punto en el dominio de definición (0 ϵ (-,1)), por tanto f no es continua en x = 0, y no será derivable en dicho punto Si x ϵ (1,2), la función f(x) se define por 2x 1, que es continua en R. Si x > 1, la función f(x) se define por x 2, que es continua en R. Y la derivabilidad? 24

25 Si x < 1, debemos ver si la función tiene derivadas laterales en x = 0, punto donde no estaba definida. Sí que las tiene, con derivada f (x) = (-1 / x 2 ) que fallaría de nuevo en 0, pero ya estamos evitando ese punto. Si x ϵ (1,2) o x > 1, la función es derivable, existiendo las derivadas: f (x)=2, f (x)=1, respectivamente. Entonces, dónde está el problema? EN LOS PUNTOS DE TRANSICIÓN DE LA FUNCIÓN x = 1: Estudiamos la continuidad mediante los límites laterales lim f(x) = lim 1/x = 1 x 1 - x 1 f es continua en x = 1 lim f(x) = lim (2x 1) = 1 = f(1) x 1 + x 1 Estudiamos la derivabilidad mediante los límites laterales de las derivadas: lim f (x) = lim (-1/x 2 ) = -1 x 1 - x 1 f no es derivable en x = 1 lim f (x) = lim 2 = 2 x 1 + x 1 x = 2: Estudiamos la continuidad mediante los límites laterales lim f(x) = lim (2x 1) = 3 = f(2) x 2 - x 2 f no es continua en x = 2 lim f(x) = lim (x 2) = 0 x 2 + x 2 Como no es continua, ya no puede ser derivable. En RESUMEN: f(x) está definida en R\{0}, es continua en R\{0,2}, y es derivable en R\{0,1,2}. 3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Dada una función f, podemos realizar la gráfica obtenida al aplicarse la función sobre su dominio de definición, representando así su recorrido: f(x). Cada punto de dicha gráfica vendrá dado por dos coordenadas, ya que estamos manejando funciones de una variable: (x,f(x)), donde x ϵ Dom(f). Para llevar a cabo la representación de la gráfica de una función, y en vista de los conceptos que ya conocemos, no nos limitaremos a una mera tabla de valores, sino que estudiaremos algunos conceptos que nos guiarán para la obtención de la gráfica. 1. DOMINIO Debemos saber para qué valores se define la función. Recordemos que el dominio puede no ser R para casos como: - Funciones racionales: no pertenecen al dominio los puntos que anulan el denominador. - Funciones radicales: no pertenecen al dominio los puntos que convierten en negativo el radicando de una raíz de índice par. - Funciones logarítmicas: no existe el logaritmo de valores negativos ó 0. 25

26 2. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES COORDENADOS Los puntos de corte con los ejes nos permiten situar la función en el plano, y en ocasiones nos permiten deducir si hay o no asíntotas. - Punto de corte con OX: y = 0 x / f(x) = 0 - Punto de corte con OY: x = 0 y / y = f(0) 3. ASÍNTOTAS: son rectas a las que se aproxima la función, sin nunca* llegar a tocarlas. (*Hay raras excepciones.) - VERTICALES: puntos k donde se anula el denominador, o donde el logaritmo se evalúa en 0: x = k - HORIZONTALES: lim f(x) = k ϵ R lim f(x) = k ϵ R: y = k X - X + - OBLICUAS: rectas de la forma y = mx + n, donde m = lim ϵ R n = lim [f(x) mx] x x 4. SIMETRÍA Y PERIODICIDAD La simetría y periodicidad nos permitirán limitarnos a estudiar una de las partes de la función. La función no tiene por qué tener estas propiedades. - f tiene simetría par si f(x) = f(-x) - f tiene simetría impar si f(x) = - f(-x) - Periodicidad: funciones trigonométricas, función parte entera 5. CONTINUIDAD Para poder trazar la gráfica, necesitamos saber los puntos en los que la función no es continua. - Si la función tiene una expresión única: son continuas las funciones polinómicas, exponenciales, trigonométricas (salvo la tangente), racionales con denominador no nulo, radicales con radicando no negativo, - Si la función viene dada a trozos: estudiamos la continuidad de forma independiente en cada trozo, y estudiamos el punto donde cambia de definición la función. 6. MONOTONÍA La monotonía se trata del crecimiento y decrecimiento de la función, así como los máximos y mínimos, tanto relativos como absolutos, que tiene la función en su recorrido. - Derivamos la función obteniendo f (x). - Igualamos la derivada a cero para obtener los posibles puntos críticos: f (x) = 0 - Estudiamos el crecimiento y decrecimiento de la función tomando valores en los intervalos obtenidos: 26

27 f (x) > 0 f (x) = 0 f (x) < 0 f creciente Posible extremo relativo f decreciente Si antes crece y luego decrece: máximo Si antes decrece y luego decrece: mínimo Si no cambia el crecimiento: punto de inflexión - Las conclusiones obtenida las daremos en forma de intervalo: o Crece en el intervalo o intervalos o Decrece en el intervalo o intervalos o Tiene por tanto un máximo en (x,f(x)) ó un mínimo (x,f(x)) ó un punto de inflexión en (x,f(x)). [Confirmaremos esta información en el siguiente apartado] 7. CURVATURA La curvatura de la función nos permitirá distinguir si la función toma valores por encima o por debajo de la tangente en los puntos críticos. Las posibles opciones son convexa o cóncava (también llamados cóncavo hacia arriba y cóncavo hacia abajo). - Obtenemos la segunda derivada: f (x) - Estudiamos la curvatura que toma, dando valores en los distintos apartados. f (x) > 0 f (x) = 0, f (x)? f (x) < 0 f convexa Extremo relativo f cóncava Si f (x) < 0: máximo Si f (x) > 0: mínimo Si f (x) = 0: punto de inflexión 27