MATEMÁTICA I GEOMETRÍA PLANA. POLÍGONOS DE MÁS DE CUATRO LADOS ING. SANTIAGO FIGUEROA LORENZO

Transcripción

1 MATEMÁTICA I GEOMETRÍA PLANA. POLÍGONOS DE MÁS DE CUATRO LADOS ING. SANTIAGO FIGUEROA LORENZO

2 LÍNEA POLIGONAL

3 POLÍGONOS Es la figura que esta formado por segmento de recta unido por sus extremos dos a dos.

4 PARTES INTEGRANTES DEL POLÍGONO

5 PARTES INTEGRANTES DEL POLÍGONO Medida del ángulo central B Vértice Diagonal A C Centro Medida del ángulo externo E D Medida del ángulo interno Lado

6 CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS: según su forma 01.-Polígono convexo.-las medidas de sus ángulos interiores son agudos. 0.-Polígono cóncavo.-la medida de uno o mas de sus ángulos interiores es cóncavo. 03.-Polígono equilátero.-sus lados son congruentes. 04.-Polígono equiángulo.-las medidas de sus ángulos interiores son congruentes.

7 CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS : según su forma 05.-Polígono regular.-es equilátero y a su vez equiángulo. 06.-Polígono irregular.-sus lados tienen longitudes diferentes.

8 CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS Triángulo : 3 lados Cuadrilátero: 4 lados Pentágono: 5 lados Hexágono: 6 lados Heptágono: 7 lados Octógono: 8 lados Eneágono : 9 lados Decágono: 10 lados Endecágono: 11 lados Dodecágono: 1 lados Pentadecágono:15 lados Icoságono: 0 lados

9 PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS PRIMERA PROPIEDAD Numéricamente: Lados, vértices, ángulos interiores, ángulos exteriores y ángulos centrales son iguales. Lados Vértices Ángulos interiores Ángulos exteriores Ángulos centrales

10 PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS SEGUNDA PROPIEDAD A partir de un vértice de un polígono, se pueden trazar (n-3 ) diagonales. Ejemplo: N D = (n-3) = (5-3) = diagonales

11 PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS TERCERA PROPIEDAD El número total de diagonales que se puede trazar en un polígono: N D n(n 3) Ejemplo: N D 5(5 3) 5 diagonales

12 PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS CUARTA PROPIEDAD Al trazar diagonales desde un mismo vértice se obtiene (n-) triángulos Ejemplo: 1 3 Ns. = ( n ) = 5 - = 3 triángulos

13 PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS QUINTA PROPIEDAD Suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono: S i =180 (n-) Ejemplo: Donde (n-) es número de triángulos Suma de las medidas de los ángulos interiores del triangulo 180º 180º 180º S i = 180º x número de triángulos = 180º(5-) = 540º

14 PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS SEXTA PROPIEDAD S e = 360 Suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono es 360º Ejemplo: = 360º

15 PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS SEPTIMA PROPIEDAD Al unir un punto de un lado con los vértices opuestos se obtiene (n-1) triángulos Ejemplo: Punto cualquiera de un lado Ns. = ( n 1 ) = 5-1 = 4 triángulos

16 PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS OCTAVA PROPIEDAD Al unir un punto interior cualquiera con los vértices obtiene n triángulos Ejemplo: Ns. = n = 5 = 6 triángulos

17 PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS Número de diagonales trazadas desde V vértices consecutivos, se obtiene con la siguiente fómula. (V 1)(V ) N D nv NOVENA PROPIEDAD Ejemplo: 1 y así sucesivamente

18 PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS REGULARES 1ra. Propiedad Medida de un ángulo interior de un polígono regular o polígono equiángulo. 180(n ) m i n da. Propiedad Medida de un ángulo exterior de un polígono regular o polígono equiángulo. me 360 n 3ra. Propiedad Medida de un ángulo central de un polígono regular. 4ta. Propiedad Suma de las medidas de los ángulos centrales. mc 360 n S c = 360

19 PROBLEMAS DE APLICACIÓN

20 PROBLEMA 1 RESOLUCIÓN Del enunciado: Se + S i = 1980 Luego, reemplazando por las propiedades: ( n - ) = 1980 Resolviendo: Número de diagonales: N D n(n 3) n = 11 lados N D 11 En un polígono, la suma de las medidas de los ángulos exteriores e interiores es Calcule el total de diagonales de dicho polígono. ( 11 3 ) N D = 44

21 PROBLEMA Cómo se denomina aquel polígono regular, en el cual la medida de cada uno de su ángulo interno es igual a 8 veces la medida de un ángulo externo RESOLUCIÓN Polígono es regular: Del enunciado: m i = 8(me ) Reemplazando por las propiedades: 180 ( n ) ( ) n n Resolviendo: n = 18 lados Luego polígono es regular se denomina: Polígono de 18 lados

22 PROBLEMA 3 Calcule el número de diagonales de un polígono convexo, sabiendo que el total de las diagonales es mayor que su número de lados en 75. RESOLUCIÓN Resolviendo: n = 15 lados Luego, el número total de diagonales: N D n(n 3) Del enunciado: N D = n + 75 Reemplazando la propiedad: n ( n 3 ) = n + 75 n - 5n = 0 N D 15 ( 15 3 ) N D = 90

23 PROBLEMA 4 En un polígono regular, se le aumenta un lado, la medida de su ángulo interno aumenta en 1 ; entonces el número de vértices del polígono es: RESOLUCIÓN Polígono es regular: Del enunciado: Polígono original: n lados Polígono modificado: (n+1) lados Reemplazando por la propiedad: 180( n n ) 1 180( n 1 n 1 ) Resolviendo: n = 5 lados Número de lados = Número de vértices N V = 5 vértices

24 PROBLEMA 5 El número total de diagonales de un polígono regular es igual al triple del número de vértices. Calcule la medida de un ángulo central de dicho polígono. RESOLUCIÓN n ( n 3 ) = 3n Polígono es regular: Del enunciado: N D = 3n Reemplazando por la propiedad: Resolviendo: Luego, la medida de un ángulo central: n = 9 lados m c 360 n m c m c = 40