UNIDAD 2: ANALICEMOS LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

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1 UNIDAD 2: ANALICEMOS LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA FUNCIÓN EXPONENCIAL. Se llama función exponencial a la función de la forma y = a x en donde a R +, a y x es una variable. Existen muchos fenómenos y situaciones que pueden describirse a partir de funciones exponenciales. Por ejemplo, el crecimiento de poblaciones y el aumento de la madera que hay en un bosque, entre otros. Este tipo de fenómenos presenta la idea del llamado Crecimiento exponencial expresión que se usa para determinar que algo crece rápidamente.. Propiedades. La imagen de 0 siempre vale : f(0) = el cero es exponente = La imagen de siempre vale a: f() = el es exponente = a La funciones siempre creciente si a > La función es siempre decreciente si a <. Completar cada tabla teniendo en cuenta la función exponencial dada. y = 2 x x y y = x x y y = ( 2 ) x x y Representación gráfica de la función exponencial. Para representar gráficamente la función y = a x se deben tener en cuenta dos casos.

2 Caso. a > Cuando los valores de x aumentan, los valores de a x aumentan también. Es decir, cuanto mayor sea el valor de a más rápido es el crecimiento de la función.. Grafica la función y = 2 x Se determina la tabla de valores. x y = 2 x Caso 2. 0 < a < Cuando los valores de x aumentan, los valores de a x disminuyen. Es decir, cuando los valores de a están entre cero y uno, la función decrece.. Graficar la función y = ( 2 )x Se determina la tabla de valores dándole valores positivos y negativos a la variable x. Luego se sustituyen en la función exponencial para encontrar los valores de y. x y = ( 2 ) x x0

3 Los valores encontrados para x e y se trasladan a un sistema de coordenadas cartesianas como pares ordenados. Dominio: R Los valores de la función son siempre positivos (a > 0) por lo que su rango es R+= {x ε R / x 0} La función exponencial siempre pasa por el punto (0,), nunca toca el eje horizontal y es creciente cuando a > 0, pero decrece cuando 0 < a <. Características de la función exponencial. Las características más importantes de las funciones exponenciales de la forma y = a x con a > 0, a son: Al ser graficadas, todas cortan el eje y en el punto (0,) Los valores de x son números reales y los valores de y son solamente reales positivos. Si a>, la función es decreciente. Si 0<a< la función es decreciente. El eje x es una asíntota para la curva que describe la función exponencial en el plano. Se dice que una recta es asíntota de una función cuando la gráfica de la función se acerca cada vez más a ella, sin llegar a tocarla. No tiene ceros (raíces). Es decir, no tiene cortes el eje x Como la función es creciente o decreciente, para a > 0, a entonces a m = b n si y solo si m = n. Tabla de valores de las funciones. y = x y = ( ) x Ejemplo. Graficar en un mismo plano cartesiano las siguientes funciones exponenciales y verificar las características. y = x y = ( )x x Y x Y -2 / / / /9

4 4. Ecuación exponencial. Es aquella en la que la incógnita se encuentra en el exponente, por ejemplo, 2 x = 28 es una ecuación exponencial. Para solucionar una ecuación exponencial se utiliza la siguiente propiedad: Si a x = a y Entonces x = y. Hallar el valor de x en cada ecuación. a. 2 x = 28 2 x = 2 7 Escribiendo 28 como potencia con base 2. x = 7 Aplicando la propiedad. Luego, la solución de la ecuación es x = 7 b. x2 x = 9 x2 x = 2 Escribiendo 9 como potencia con base x 2 x = 2 Aplicando la propiedad. x 2 x 2 = 0 Planteando la ecuación cuadrática (x 2)(x + ) = 0 Factorizando x 2 = 0 ò x + = 0 Resolviendo las ecuaciones. x = 2 ò x = Luego, las soluciones de la ecuación son x = 2 e x = FUNCIÓN LOGARÍTMICA.. Concepto de logaritmo. Se denomina logaritmo de un número x de base a : al número y al cual se eleva la base a para obtener la potencia x Es decir: log a (x) = y Si y solo si a y = x. Notación exponencial y logarítmica. Para todo número real positivo a, con a y x > 0, y = log a (x) x = a y

5 . Escribir de forma logarítmica. a. 5 = 25 La expresión logarítmica de 5 = 25 es log 5 (25) = b. 2 = 9 2 = 9 Equivale a la expresión log ( 9 ) = 2 c. ( 5 ) = 25 La expresión logarítmica de ( 5 ) = 25 es log /5 (25) = 2. Expresar de forma exponencial. a. log 2 (2) = 5 Si log 2 (2) = 5 entonces 2 5 = 2 b. log ( 27 ) = Si log ( 27 ) = entonces = 27 c. log 7 (204) = 4 Si log 7 (204) = 4 entonces 7 4 = 240. Propiedades de los logaritmos. A partir de las propiedades de la potenciación se deducen las siguientes propiedades de los logaritmos: log a () = 0, pues a 0 =, a R y a 0 log a a =, pues a = a, a R 2. Logaritmo de un producto. Logaritmo de un producto de dos o más números reales positivos es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de los factores: log a (x y) = log a (x) + log a (y) Por ejemplo, para hallar el log (27x8) se procede así: Como log (27) = y log (8) = 4 Entonces, log (27x8) = log (27) + log (8) = + 4 = 7

6 2.2 Logaritmo de un cociente. El logaritmo del cociente de dos o más números reales positivos es igual a la diferencia de los logaritmos del dividendo y el divisor. log a ( x y ) = log a(x) log a (y) Por ejemplo, para hallar el log 5 ( 25 ) se procede así: 2 Como log 5 (25) = y log 5 (2) = 2.5 Entonces, log 5 ( 25 2 ) = log 5(25) log 5 (2) = 2.5 = Logaritmo de una potencia. Es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base. log a (x n ) = n log a (x) Por ejemplo, para hallar el log (9 4 ) se procede asi: log (9 4 ) = 4log (9) = 4x2 = Logaritmo de una raíz. Es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice de la raíz. n log a x = log a(x) n Por ejemplo, para determinar el log se realiza: log = Log 4(4096) = = 2.5 Cambio de base. Para cambiar la base de un logaritmo se utiliza la siguiente formula: log a (x) = log b(x) log b (a) Ejemplo: Utilizar las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión: log a x2 y 2 z

7 Aplicando los logaritmos de una raíz, de un cociente, de un producto y el de una potencia, se tiene: log a x2 y 2 z log a ( x2 y 2 z ) = = log a(x 2 y 2 ) log a (z) = log a(x 2 ) + log a (y 2 ) log a (z) = 2log a(x) + 2log a (y) log a (z). Expresar con un único logaritmo 5 log a(x) + 5 log a(y) 4 5 log a(z) 5 [log a(x) + log a (y) 4log a (z)] Factorizando. 5 [log a(x) + log a (y ) log a (z 4 )] Logaritmo de una potencia. 5 [log a(x y ) log a (z 4 )] Logaritmo de un producto. [log 5 a ( x y )] Logaritmo de un cociente. z 4 5 log a ( x y ) Logaritmo de una raíz. z 4 2. Función Logarítmica Se llama función logarítmica a la función de la forma y = log a (x), donde a es distinto de y a > Por ejemplo, y = log (x); y = log 4 (x); son funciones logarítmicas.. Características de la función logarítmica. La característica más importante de las funciones logarítmicas de la forma y = log a (x); donde a y a > 0 son: Al ser graficadas, todas cortan en el eje x en el punto (,0). Luego (,0) es el cero o raíz de la función. Los valores de x son números reales positivos y los valores de Y son todos los números reales. Si a > la funcion es creciente.

8 Si 0 < a < la función es decreciente. El eje y es asíntota de la curva que describe la función logarítmica, pues se acerca cada vez más a él sin llegar a tocarlo. No existen logaritmos de números negativos. Ejemplo.. Representar gráficamente las siguientes funciones logarítmicas. y = log (x) y = log (x). Representación gráfica de la función logaritmo. Para representar gráficamente la función y = log a (x) se deben tener en cuenta dos casos. Caso, a > Cuando los valores de x aumentan, los de log a (x) aumentan también, esta es la función creciente. Caso 2. 0 < a < Cuando los valores de x aumentan, los de log a (x) disminuyen. Esta es una función decreciente. Graficar las siguientes funciones logarítmicas. a. y = log 6 (x) y = log 6 (x) Tabla de valores de las funciones. x Y

9 y = log(x) y = log(x) x Y Dominio y recorrido de la función logarítmica. En la función logarítmica y = log a (x) se cumple que: El dominio es el intervalo (0, +a), pues el logaritmo solo existe para números positivos. La imagen de es 0: log a () = 0 La imagen de a es : log a (a) = La función es creciente cuando a > y es decreciente cuando 0 < a < 4. Ecuaciones logarítmicas. Una ecuación logarítmica es aquella en la cual la incógnita se encuentra en un logaritmo. Por ejemplo, log(x ) = 7 es una ecuación logarítmica. Para solucionar una ecuación logarítmica se transforma la ecuación dada en una más sencilla de forma exponencial. Luego se resuelve aplicando los procesos algebraicos conocidos.

10 . Resolver la ecuación log(x) + log(x + ) = Se tiene que: log(x) + log(x + ) = Ecuacion dada. log[x(x + )] = Logaritmo de un producto. 0 = x(x + ) Escribiendo el logaritmo de una potencia. 0 = x 2 + x Multiplicando los factores. x 2 + x 0 = 0 Planteando la ecuación cuadratica. (x + 5)(x 2) = 0 Factorizando. x = 5 o x = 2 Solucionando las ecuaciones. La solución x = 5 se descarta, pues log( 5) no existe, por tanto la solución es x = 2. El manejo de los logaritmos permite resolver algunas ecuaciones exponenciales. Resuelve 5 x 4 = 29 5 x 4 = 29 Ecuación dada. log(5 x 4 ) = log (29) (x 4) log(5) = log (29) x 4 = log(29) log(5) Aplicando logaritmo en ambos miembros. Logaritmo de una potencia. Despejando. Luego, x = log (29) log (5) + 4 Este resultado se puede hallar aproximadamente utilizando la calculadora.